第2课时 椭圆的标准方程的综合问题
学习目标 了解椭圆方程的常见设法，掌握椭圆定义的应用，能用椭圆定义解决一些实际应用问题．
一、椭圆方程的设法
例1 求下列椭圆的方程．
(1)过(－3,2)且与＋＝1有相同的焦点；
(2)经过点P，Q.
解 (1)方法一 由方程＋＝1可知，其焦点的坐标为(±，0)，即c＝.
设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为＋＝1(a＞b＞0)，
解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 设椭圆方程为＋＝1(m>－4)．
将点(－3,2)代入方程得＋＝1，解得m＝6.
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)方法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，
设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
依题意，有解得
因为a＞b＞0，所以方程组无解．
②当椭圆的焦点在y轴上时，
设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
依题意，有解得
所以所求方程为＋＝1.
方法二 设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
依题意得解得
故所求方程为5x2＋4y2＝1，即＋＝1.
反思感悟 求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)；
如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)；
如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解 (1)方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
则a2
b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 (待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)方法一 因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 设椭圆方程为＋＝1(m>－9)，
将(，－)代入方程，解得m＝－5，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
二、椭圆定义的应用
例2 设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝∴c2＝，
∴c＝，2c＝5.
在△PF1F2中，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos
60°，
即25＝PF＋PF－PF1·PF2.①
由椭圆的定义，得10＝PF1＋PF2，
即100＝PF＋PF＋2PF1·PF2.②
由②－①，得3PF1·PF2＝75，
所以PF1·PF2＝25，
所以＝PF1·PF2·sin
60°＝.
延伸探究
1．将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”，其余条件不变，求△F1PF2的面积．
解 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，
∴c2＝，
∴c＝，2c＝5.
在△PF1F2中，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos
30°，
即25＝PF＋PF－PF1·PF2.①
由椭圆的定义得10＝PF1＋PF2，
即100＝PF＋PF＋2PF1·PF2.②
由②－①，得(2＋)PF1·PF2＝75，
所以PF1·PF2＝75(2－)，
所以＝PF1·PF2·sin
30°＝(2－)．
2．将椭圆的方程改为“＋＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积．
解 PF1＋PF2＝2a＝20，又F1F2＝2c＝12.
由余弦定理知，
(2c)2＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos
60°，
即144＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝，
所以＝PF1·PF2·sin
60°＝.
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于( )
A．3∶5
B．3∶4
C．5∶3
D．4∶3
(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
答案 (1)C (2)
解析 (1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有PF－PF＝4c2＝16，又根据椭圆定义知PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，
从而PF1＝5，PF2＝3，即PF1∶PF2＝5∶3.
(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而F1F2＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得PF＝PF＋F1F22－2PF1·F1F2cos∠PF1F2，即PF＝PF＋4＋2PF1.①
由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4.②
由①②联立可得PF1＝.
所以＝PF1·F1F2sin∠PF1F2＝××2×＝.
三、与椭圆有关的轨迹问题
例3 点B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得
?
即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)．
又点B(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，从而有＋＝1.
整理得动点M的轨迹方程为＋＝1.
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)．
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程．
(4)化简方程得所求方程．
跟踪训练3 已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程．
解 (1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
∴?
又P是＋＝1上的动点，
∴＋＝1，
即Q点的轨迹方程是＋＝1.
1．知识清单：
(1)椭圆方程的设法．
(2)椭圆定义的应用．
(3)与椭圆有关的轨迹．
2．方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法．
3．常见误区：漏掉验证曲线方程的完备性．
1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋x2＝1
答案 A
解析 由椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)可知，
椭圆的焦点在x轴上，且c＝1.
又点P(2,0)在椭圆上，
∴a＝2.
由a2＝b2＋c2可得，b＝＝＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．直线
答案 B
解析 设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知PO＝MF2，PF1＝MF1，
又MF1＋MF2＝2a，
所以PO＋PF1＝a>F1O＝c，
故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．
3．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大值为12，则椭圆方程为____________________．
答案 ＋＝1
解析 如图，当P在y轴上时
△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝________.
答案 120°
解析 由椭圆的定义知a2＝9，b2＝2，
∴a＝3，c2＝a2－b2＝7，即c＝，
∴F1F2＝2.
∵PF1＝4，
∴PF2＝2a－PF1＝2.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝－，
又0°<∠F1PF2<180°.
∴∠F1PF2＝120°.
课时对点练
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
答案 C
解析 设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，BA＋BF＝2，CA＋CF＝2，便可求得△ABC的周长为4.
2．已知m>0，则“m＝3”是“椭圆＋＝1的焦距为4”的( )
A．充要不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由题意知2c＝4，∴c＝2.
若焦点在x轴上，则c2＝m2－5＝4，
又m>0，∴m＝3；
若焦点在y轴上，则c2＝5－m2＝4，
又m>0，∴m＝1.
因此“m＝3”是“椭圆＋＝1的焦距为4”的充分不必要条件，故选A.
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(x≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(x≠0)
答案 B
解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得AB＋AC＝12>BC，所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，所以a＝6，c＝4.所以b2＝a2－c2＝20，方程为＋＝1.因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x≠0，故点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．
4．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
答案 A
解析 设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
由题意得解得
所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
5．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±
B．±
C．±
D．±
答案 D
解析 如图，当点P在x轴上方时，OM为△PF1F2的中位线，所以P，所以M.同理，当点P在x轴下方时，M，故选D.
6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝＝＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.
7．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
答案 ＋＝1
解析 设Q(x，y)，
∵＝＋，
∴＝－＝，
∵P是椭圆＋＝1上的任意一点，
∴＋＝1，∴＋＝1.
8.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8
米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．
答案 32
解析 设椭圆方程为＋＝1，
当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，
∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米．
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解 (1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝2a＝2×2＝4.又PF1－PF2＝1，所以PF1＝，PF2＝.又F1F2＝2c＝2，所以由余弦定理得cos
∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值等于.
10．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程．
解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，
因为AD＝AC，所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以EB＝ED，
故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，
所以EA＋EB＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)．AB＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
11．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9
B．12
C．10
D．8
答案 A
解析 ∵·＝0，∴PF1⊥PF2.
∴PF＋PF＝F1F且PF1＋PF2＝2a.
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
由②2－①，得2PF1·PF2＝36，
∴PF1·PF2＝18，
∴△F1PF2的面积为S＝·PF1·PF2＝9.
12．已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为C上一点，A，则PA＋PF的最小值为( )
A.
B.
C．4
D.
答案 D
解析 由椭圆的方程可知，a＝3，c＝＝2.如图所示，设F2是椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，PF＋PF2＝2a＝6，所以PA＋PF＝PA＋6－PF2＝6－(PF2－PA)，所以求PA＋PF的最小值，也就是求PF2－PA的最大值．由图易知，当P，A，F2三点共线时，PF2－PA取得最大值，此时(PF2－PA)max＝AF2＝，所以PA＋PF的最小值为6－＝.
13．(多选)已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是( )
A．MF2的最大值大于3
B．MF1·MF2的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满足PA·PB＝2的点，则点P的轨迹方程为＋＝1或＋＝1
答案 BCD
解析 由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，∴c2＝1，
因此F1(－1,0)，F2(1,0)．
选项A中，(MF2)max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，MF1·MF2≤2＝4，当且仅当MF1＝MF2时取等号，B正确；
选项C中，当点M在y轴上时，∠F1MF2取得最大值，取M(0，)，则tan＝，
∴＝30°，
∴∠F1MF2的最大值为60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)，
∵PA·PB＝2，
∴|x－x1|·|x＋x1|＝2，
∴|x2－x|＝2，即x2＝x＋2或x2＝x－2.
又由题意知＋＝1，
∴＋＝1或＋＝1，
化简得＋＝1或＋＝1，D正确．
14．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则
AN＋BN＝________.
答案 12
解析 取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有GF1＝AN，GF2＝BN，所以AN＋BN＝2(GF1＋GF2)＝4a＝12.
15．若点P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值为( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 B
解析 由椭圆的定义，可得PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝
＝－1.
又PF1＋PF2＝6≥2，
∴PF1·PF2≤9，
∴－1≥－1＝－，当且仅当PF1＝PF2＝3时等号成立，
∴cos∠F1PF2的最小值为－，故选B.
16．(1)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1·PF2的最大值；
(2)已知A(1,1)，F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PA＋PF1的最大值和最小值．
解 (1)∵a＝10,20＝PF1＋PF2≥2，当且仅当PF1＝PF2时取等号，
∴PF1·PF2≤100，当且仅当PF1＝PF2时取等号，
∴PF1·PF2的最大值为100.
(2)设F2为椭圆的右焦点，5x2＋9y2＝45可化为＋＝1，由已知，得PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF1＝6－PF2，
∴PA＋PF1＝6－(PF2－PA)．
①当PA>PF2时，有0②当PA综上，可知PA＋PF1的最大值为6＋，最小值为6－.(共79张PPT)
第2课时 椭圆的标准方程的综合问题
第3章
3.1.1 椭圆的标准方程
了解椭圆方程的常见设法，掌握椭圆定义的应用，能用椭圆定义解决一些实际应用问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、椭圆方程的设法
二、椭圆定义的应用
三、与椭圆有关的轨迹问题
内容索引
一、椭圆方程的设法
例1 求下列椭圆的方程.
解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，
因为a＞b＞0，所以方程组无解.
解 方法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，
②当椭圆的焦点在y轴上时，
方法二 设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
解 方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上，
则a2b>0矛盾，舍去.
方法二 (待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.
①
由①②得b2＝4，a2＝20，
二、椭圆定义的应用
例2 设P是椭圆
＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝
60°，求△F1PF2的面积.
在△PF1F2中，
由椭圆的定义，得10＝PF1＋PF2，
由②－①，得3PF1·PF2＝75，所以PF1·PF2＝25，
延伸探究
1.将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”，其余条件不变，求△F1PF2的面积.
在△PF1F2中，
由椭圆的定义得10＝PF1＋PF2，
2.将椭圆的方程改为“
＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积.
解 PF1＋PF2＝2a＝20，又F1F2＝2c＝12.
由余弦定理知，
即144＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
跟踪训练2 (1)已知椭圆
＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于
A.3∶5
B.3∶4
C.5∶3
D.4∶3
解析 依题意知，线段PF1的中点在y轴上，
又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，
√
又根据椭圆定义知PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，
从而PF1＝5，PF2＝3，即PF1∶PF2＝5∶3.
(2)已知椭圆
＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且
∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________.
由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4.
②
三、与椭圆有关的轨迹问题
例3 点B是椭圆
＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点
M的轨迹方程.
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，
则由M为线段AB的中点，
即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y).
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简方程得所求方程.
跟踪训练3 已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
解 设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
1.知识清单：
(1)椭圆方程的设法.
(2)椭圆定义的应用.
(3)与椭圆有关的轨迹.
2.方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法.
3.常见误区：漏掉验证曲线方程的完备性.
课堂小结
随堂演练
1.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为
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4
√
解析 由椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)可知，
椭圆的焦点在x轴上，且c＝1.
又点P(2,0)在椭圆上，
∴a＝2.
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2.已知椭圆
＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.直线
解析 设椭圆的右焦点为F2，
√
又MF1＋MF2＝2a，
所以PO＋PF1＝a>F1O＝c，
故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆.
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3.椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积
最大值为12，则椭圆方程为____________.
解析 如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
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4.已知椭圆
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝________.
120°
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解析 由椭圆的定义知a2＝9，b2＝2，
∵PF1＝4，
∴PF2＝2a－PF1＝2.
又0°<∠F1PF2<180°.
∴∠F1PF2＝120°.
课时对点练
基础巩固
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1.已知△ABC的顶点B，C在椭圆
＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
解析 设在BC边上的另一个焦点为F，
√
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A.充要不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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解析 由题意知2c＝4，∴c＝2.
若焦点在x轴上，则c2＝m2－5＝4，
又m>0，∴m＝3；
若焦点在y轴上，则c2＝5－m2＝4，
又m>0，∴m＝1.
故选A.
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3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是
√
解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，
可得AB＋AC＝12>BC，
所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，
所以a＝6，c＝4.
因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x≠0，
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解析 设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
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5.椭圆
＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为
√
解析 如图，当点P在x轴上方时，OM为△PF1F2的中位线，
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6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2
，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为
√
焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示.
由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.
由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，
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解析 设Q(x，y)，
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8.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为
米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是_____米.
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解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，
∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米.
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9.已知椭圆
＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2
＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
解 依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
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(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值.
解 由于点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝2a＝2×2＝4.
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10.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程.
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解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，
如图所示，
因为AD＝AC，所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以EB＝ED，
故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，
所以EA＋EB＝4.
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由题设得A(－1,0)，B(1,0).
AB＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
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综合运用
√
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
由②2－①，得2PF1·PF2＝36，
∴PF1·PF2＝18，
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如图所示，设F2是椭圆的右焦点，
由椭圆的定义可知，PF＋PF2＝2a＝6，
所以PA＋PF＝PA＋6－PF2＝6－(PF2－PA)，
所以求PA＋PF的最小值，也就是求PF2－PA的最大值.
由图易知，当P，A，F2三点共线时，PF2－PA取得最大值，
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13.(多选)已知F1，F2为椭圆
＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是
A.MF2的最大值大于3
B.MF1·MF2的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满足PA·PB＝2的
√
√
√
解析 由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，∴c2＝1，
因此F1(－1,0)，F2(1,0).
选项A中，(MF2)max＝a＋c＝3，A错误；
当且仅当MF1＝MF2时取等号，B正确；
选项C中，当点M在y轴上时，∠F1MF2取得最大值，
∴∠F1MF2的最大值为60°，C正确；
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选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)，
∵PA·PB＝2，
∴|x－x1|·|x＋x1|＝2，
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14.已知椭圆C：
＝1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则
AN＋BN＝_____.
解析 取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
12
所以AN＋BN＝2(GF1＋GF2)＝4a＝12.
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∴PF1·PF2≤9，
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16.(1)已知F1，F2是椭圆
＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1·PF2的最大值；
当且仅当PF1＝PF2时取等号，
∴PF1·PF2≤100，当且仅当PF1＝PF2时取等号，
∴PF1·PF2的最大值为100.
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(2)已知A(1,1)，F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PA＋PF1的最大值和最小值.
由已知，得PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF1＝6－PF2，
∴PA＋PF1＝6－(PF2－PA).
①当PA>PF2时，有0此时点P是射线AF2与椭圆的交点，
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②当PA1
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第1课时 椭圆的标准方程
第3章
3.1.1 椭圆的标准方程
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
4.会判断直线与椭圆的位置关系.
学习目标
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
导语
随堂演练
课时对点练
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程
三、直线与椭圆的位置关系
内容索引
一、椭圆的定义
问题1 在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于
的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点F1，F2叫作椭圆的
(focus)，两焦点间的距离叫作椭圆的
(focal
distance).
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在.
知识梳理
常数(大于F1F2)
焦点
焦距
例1 命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
解析 利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a>0，常数)，
∴甲是乙的必要条件.
反过来，若PA＋PB＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.
这是因为仅当2a>AB时，P点轨迹才是椭圆；
而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；
当2a综上，甲是乙的必要不充分条件.
反思感悟 如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出a，b，直接写出其方程.
跟踪训练1 (多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且PA＋PB＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的是
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
解析 当a＝2时，2a＝4当a＝4时，2a＝8>AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.
√
√
二、椭圆的标准方程
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，
建立直角坐标系xOy，如图，
则F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0).
设P(x，y)为椭圆上任意一点，
根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，
将这个方程移项后两边平方，
两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2).
因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)，
由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，
可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上.
类似地，在如图所示的直角坐标系中，
我们可以得到焦点F1(0，－c)，
以上两种方程都叫作椭圆的标准方程.
椭圆的标准方程
知识梳理
焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
图形
?
?
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝______
(a>b>0)
(a>b>0)
b2＋c2
注意点：
焦点位置由a2，b2的大小确定.
例2 根据下列条件，求椭圆的标准方程.
(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26；
解 ∵椭圆的焦点在y轴上，
∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.
∴b2＝a2－c2＝144.
∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
反思感悟 利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程.
提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论.
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；
解 ∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12，
由椭圆的定义，
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
三、直线与椭圆的位置关系
知识梳理
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
解
Δ
0
相切
解
Δ
0
相离
解
Δ
0
两
>
一
无
＝
<
注意点：
设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.
例3 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：
＝1.试问当m取何值时，直
线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，
③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
可知原方程组有两组不同的实数解.
这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
可知原方程组有两组相同的实数解.
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，
即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)没有公共点？
方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.
这时直线l与椭圆C没有公共点.
反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.
跟踪训练3 已知椭圆
＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l
与椭圆的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
解析 由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
√
所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.
1.知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用.
(2)椭圆的标准方程.
(3)直线与椭圆的位置关系.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
课堂小结
随堂演练
1.设P是椭圆
＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋
PF2等于
A.4
B.5
C.8
D.10
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上都不对
解析 MF1＋MF2＝F1F2＝4，
∴点M的轨迹为线段F1F2.
√
1
2
3
4
3.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆
＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离.
√
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4.在椭圆
＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为______.
课时对点练
基础巩固
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A.(±5,0)
B.(0，±5)
C.(0，±12)
D.(±12,0)
解析 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
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A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
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即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.
方法二 联立直线与椭圆的方程，
Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交.
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3.设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件PF1＋PF2＝m＋
(m>2)，则点P的轨迹是
A.椭圆
B.线段
C.椭圆或线段
D.不存在
√
又F1F2＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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5.若椭圆
＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为
A.6
B.7
C.8
D.9
解析 根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝2×5＝10，
因为PF1＝3，所以PF2＝7.
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6.如果方程
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
A.a>3
B.a<－2
C.a>3或a<－2
D.a>3或－6√
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7.设P为椭圆
＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则PF1·
PF2的最大值是_____.
解析 PF1＋PF2＝2a＝6，
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当且仅当PF1＝PF2＝3时取等号.
8.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距
为
，则此椭圆的标准方程为___________.
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
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9.如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程.
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解 由垂直平分线的性质可知MQ＝MA，
∴CM＋MA＝CM＋MQ＝CQ，∴CM＋MA＝5.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，
焦点为C(－1,0)，A(1,0)，
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综合运用
11.椭圆
＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON
(O为坐标原点)的值为
解析 由椭圆定义知MF1＋MF2＝2a＝10，
又MF1＝2，所以MF2＝8，由于N为MF1的中点，
所以ON为△F1MF2的中位线，
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12.已知F1，F2是椭圆
＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B
两点，若AB＝5，则AF1＋BF1等于
A.9
B.10
C.11
D.12
解析 根据椭圆定义，AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝16，
所以AF1＋BF1＝16－AB＝11.
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解析 易知sin
α≠0，cos
α≠0，
即sin
α>cos
α>0.
解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∴BC＋AB＝2a＝10，
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拓广探究
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15.设P是椭圆
＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：
(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为
A.9,12
B.8,11
C.8,12
D.10,12
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解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，
由椭圆的定义知PA＋PB＝2a＝10，
连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，
此时PM＋PN最小，最小值为PA＋PB－2r＝8.
延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，
此时PM＋PN最大，最大值为PA＋PB＋2r＝12，
即最小值和最大值分别为8,12.
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16.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
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解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0(a≠4)，
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
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