(共72张PPT)
3.1.2 椭圆的几何性质
第3章
§3.1 椭 圆
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.
2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，
并能画出相应的曲线.
学习目标
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有).所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、椭圆的几何性质
二、利用几何性质求椭圆的标准方程
三、求椭圆的离心率
内容索引
一、椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆
＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
1.椭圆的简单几何性质
知识梳理
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
?
?
标准方程
(a>b>0)
范围
____________________
____________________
对称性
对称轴为
，对称中心为_____
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长B1B2＝
，长轴长A1A2＝___
焦点
________________
____________________
焦距
F1F2＝___
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
坐标轴
原点
2b
2a
F1(0，－c)，F2(0，c)
F1(－c,0)，F2(c,0)
2c
2.离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比
称为椭圆的
.
(2)性质：离心率e的范围是
.当e越接近于1时，椭圆
；当e越接近于
时，椭圆就越接近于圆.
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
离心率
(0,1)
越扁
0
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为
，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质.
跟踪训练1 已知椭圆C1：
＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短
轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
二、利用几何性质求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
解 若焦点在x轴上，则a＝3，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
若焦点在y轴上，则b＝3，
反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝
等.
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且OF＝c，A1A2＝2b,
2c＝6，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
三、求椭圆的离心率
问题2 椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？
假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则b→a，
所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁.
问题3 已知
的值能求出离心率吗？
提示 可以.
解 由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即在圆x2＋y2＝c2上.
连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，
所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.
延伸探究
1.本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率.
解 当△PF1F2为等腰直角三角形时，∠F1PF2＝90°，
2.把本例中条件“使
＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围.
解 由题意，知c＞b，
∴c2＞b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2.
反思感悟 求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝
求解.若已知a，b或b，c可借助
于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝
求解.
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率.
焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).
1.知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质.
(2)由椭圆的几何性质求标准方程.
(3)求椭圆的离心率.
2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).
3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系.
课堂小结
随堂演练
1.椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是
√
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
√
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.
依题意可知，△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中，OF2＝c，
BF2＝a，∠OF2B＝60°，
1
2
3
4
1
2
3
4
①
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 当0
所以c2＝a2－b2＝2－m，
当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，
所以c2＝a2－b2＝m－2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
A.有相等的焦距，相同的焦点
B.有相等的焦距，不同的焦点
C.有不等的焦距，不同的焦点
D.以上都不对
但焦点所在的坐标轴不同.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是
A.椭圆C的长轴长为10
B.椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)
C.椭圆C的离心率等于
D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝
√
√
√
则a＝5，b＝4，∴c＝3.
长轴长为2a＝10，A正确；
两焦点为(3,0)，(－3,0)，B错误；
将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 如图，
△F2PF1是底角为30°的等腰三角形?PF2＝F2F1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m
km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n
km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R
km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则
√
√
√
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
由(
)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(
)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又△F1F2M的周长为2a＋2c＝16t＝16，
∴t＝1，
∴a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知F1为椭圆
＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长的最大值
为5b，则该椭圆的离心率为_____.
解析 设椭圆的左焦点为F2，
则有AF1＋BF1＋AB≤AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a＝5b，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.求该探测器的运行轨道方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35
028.
10.如图，已知椭圆
＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
解 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
又c2＝1，所以b2＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝
，则椭圆的标准方程为
√
√
解析 当焦点在x轴上时，
因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2
π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为
√
解析 因为△ABF2的周长为8，
所以AB＋AF2＋BF2＝8，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝8，
即(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝8，
由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，
所以2a＋2a＝8，解得a＝2，
因为椭圆的焦点在x轴上，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.椭圆
＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且PF1＝5PF2，则此椭圆离心率的取值范围是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由题意可知PF1＋PF2＝2a，PF1＝5PF2，
∵PF1－PF2≤F1F2，
14.如图，把椭圆
＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为______.
28
解析 设椭圆的另一个焦点为F′，
由椭圆的几何性质可知P1F＝P7F′，
∴P1F＋P7F＝P7F′＋P7F＝2a，
同理可得P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2P4F＝2a，又a＝4，
故P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F＝7a＝28.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
当点P在椭圆的上顶点或下顶点时，
△PF1F2的面积最大，
以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当且仅当x＝3时，(PA2)min＝a2－6a＋9＝1，
解得a＝2或a＝4(舍去)，
综上可得a＝2.3．1.2 椭圆的几何性质
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．
导语
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)．所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
一、椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
知识梳理
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长B1B2＝2b，长轴长A1A2＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
F1F2＝2c
2.离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解 椭圆方程可化为＋＝1.
①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m＞4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解 (1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝.
二、利用几何性质求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
解 (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，
∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)方法一 由题意知e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
方法二 设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，
故＋＝或＋＝，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解 (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5，e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且OF＝c，A1A2＝2b,2c＝6，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
三、求椭圆的离心率
问题2 椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？
提示 离心率e＝，假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁．
问题3 已知的值能求出离心率吗？
提示 可以．e＝＝＝.
例3 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．
解 由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点．
连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，
所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.
所以≤c2＜a2，所以≤e＜1.所以e∈.
延伸探究
1．本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率．
解 当△PF1F2为等腰直角三角形时，∠F1PF2＝90°，这时F1F2＝PF1，即2c＝a，
∴离心率e＝＝.
2．把本例中条件“使·＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围．
解 由题意，知c＞b，
∴c2＞b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2.
∴e2＝＞，
∴e＞.故椭圆的离心率的取值范围为.
反思感悟 求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
跟踪训练3 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
解 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．依题意设A点坐标为，
则B点坐标为，∴AB＝.
由△ABF2是正三角形，得2c＝·，
即b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，
两边同除以a2得2＋2·－＝0，
解得e＝＝.
1．知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的几何性质求标准方程．
(3)求椭圆的离心率．
2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．
3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．
1．椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为( )
A．2，
B.，2
C．4,2
D．2，4
答案 C
解析 把3x2＋4y2＝12化成标准形式为＋＝1，得a2＝4，b2＝3，则长轴长为4，短轴长为2.
2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D．x2＋＝1
答案 A
解析 依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，OF2＝c，
BF2＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos
60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.
4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)
答案 ①
解析 把x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，离心率e1＝＝，又＋＝1的离心率e2＝＝，则e2＜e1，故①更扁．
课时对点练
1．(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是( )
A．1
B.
C.
D.
答案 CD
解析 当0所以c2＝a2－b2＝2－m，
所以e2＝＝＝，
解得m＝，符合题意；
当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，
所以c2＝a2－b2＝m－2，
所以e2＝＝＝，
解得m＝，符合题意．
故正数m的值可以是或.
2．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为( )
A．6
B．15
C．6
D．3
答案 D
解析 由椭圆方程＋＝1得A(0,3)，F1(－，0)，F2(，0)，
∴F1F2＝2.
∴＝F1F2·yA＝×2×3＝3.
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
答案 B
解析 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(04．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于
D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝
答案 ACD
解析 由题意知椭圆标准方程为＋＝1，则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确；
两焦点为(3,0)，(－3,0)，B错误；
离心率为e＝＝，C正确；
将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，
解得y＝±，∴PQ＝，D正确．
5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形?PF2＝F2F1?2＝2c?e＝＝.
6．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m
km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n
km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R
km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则( )
A．a－c＝m＋R
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
答案 ABD
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得
∴(
)．故A，B正确；
由(
)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(
)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
∴b＝，故D正确．
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为__________．
答案 ＋＝1
解析 ∵e＝＝，
∴＝，
设＝＝t(t>0)，则a＝5t，c＝3t.
又△F1F2M的周长为2a＋2c＝16t＝16，
∴t＝1，
∴a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝16.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
8．已知F1为椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长的最大值为5b，则该椭圆的离心率为________.
答案
解析 设椭圆的左焦点为F2，则有AF1＋BF1＋AB≤AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a＝5b，
则c＝＝a，因此所求离心率为.
9．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．求该探测器的运行轨道方程．
解 设探测器的运行轨道方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35
028.
∴探测器的运行轨道方程为＋＝1.
10.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程．
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
设B(x，y)，由＝2，
解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，
得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
11．(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 BD
解析 当焦点在x轴上时，
cos∠OFA＝＝＝＝.
因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.所以椭圆方程为＋＝1，
同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
12．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 C
解析 因为△ABF2的周长为8，
所以AB＋AF2＋BF2＝8，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝8，即(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝8，
由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，
所以2a＋2a＝8，解得a＝2，
由题意可得abπ＝2π，
解得b＝，
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以C的标准方程为＋＝1.
13．椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且PF1＝5PF2，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意可知PF1＋PF2＝2a，PF1＝5PF2，
则PF1＝，PF2＝，
∵PF1－PF2≤F1F2，
∴≤2c，e≥.
又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是.
14．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为________．
答案 28
解析 设椭圆的另一个焦点为F′，
由椭圆的几何性质可知P1F＝P7F′，
∴P1F＋P7F＝P7F′＋P7F＝2a，
同理可得P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2P4F＝2a，又a＝4，
故P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F＝7a＝28.
15．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．PF1＋PF2＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
答案 AD
解析 由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，
∴PF1＋PF2＝2a＝2，因此A正确；
e＝＝＝≠，因此B错误；
当点P在椭圆的上顶点或下顶点时，
△PF1F2的面积最大，且()max＝×2c×b＝×2×1≠，因此C错误；
以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
且＝1，因此D正确．
16．已知定点A(a,0)，其中0解 设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
则PA2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2)
＝2＋4－a2，
当0所以当x＝a时，(PA2)min＝4－a2＝1，
解得a＝>(舍去)；
当当且仅当x＝3时，(PA2)min＝a2－6a＋9＝1，
解得a＝2或a＝4(舍去)，
综上可得a＝2.