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第1课时 双曲线的标准方程
第3章
3.2.1 双曲线的标准方程
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题.
学习目标
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见.如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容.
导语
随堂演练
课时对点练
一、双曲线的定义
二、双曲线的标准方程
三、双曲线在生活中的应用
内容索引
一、双曲线的定义
问题1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹.
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数.
双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之
等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作
.这两个定点叫作双曲线的
，两焦点间的距离叫作双曲线的
.
知识梳理
差的绝对值
双曲线
焦点
焦距
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在.
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，PA－PB＝2a，当a＝3，a＝5时，P点的轨迹分别为
A.双曲线，一条直线
B.双曲线，两条直线
C.双曲线一支，一条直线
D.双曲线一支，一条射线
解析
当a＝3时，2a＝6，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
√
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
跟踪训练1 已知F1(－6,0)，F2(6,0)，动点P满足PF1－PF2＝10，则P点的轨迹是
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.直线
D.一条射线
解析 F1，F2是定点，且F1F2＝12，
所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为双曲线的一支.
√
二、双曲线的标准方程
问题2 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，
而且直线F1F2是它的一条对称轴，
所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系xOy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2
(c,0)，
焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则
|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，
所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，
问题3 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1－PF2＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
双曲线的标准方程
知识梳理
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
?
?
标准方程
焦点
________________
___________________
a，b，c的关系
b2＝______
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
c2－a2
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
(2)a与b没有大小关系.
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
解 方法一 由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5,6)在双曲线上，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
解得a2＝16，b2＝20.
反思感悟 求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(
)的双曲线
的标准方程为
______
.
解得a2＝8，b2＝4，
三、双曲线在生活中的应用
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角.
解 如图所示，
以直线AB为x
轴，
线段AB的垂直平分线为y
轴建立直角坐标系，
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又PB－PA＝4＜6＝AB，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
且a＝2，c＝3，
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4
km处，C地在B地的北偏东30°方向2
km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的
距离远2
km，则曲线PQ的轨迹方程是
________
_
；现要在曲线PQ上
选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是
km.
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
则DA－DB＝2，根据双曲线定义知，
轨迹为双曲线的右支.
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，
b2＝c2－a2＝4－1＝3，
当A，M，C共线时等号成立.
1.知识清单：
(1)双曲线定义的应用.
(2)双曲线方程的求法.
(3)双曲线在实际生活中的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
课堂小结
随堂演练
1.“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 当方程表示双曲线时，一定有ab<0，
反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线.
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√
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解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1.
√
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A.(1,2)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，－2)
D.(－2,2)
√
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4.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是
A.双曲线的一支
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
解析 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
√
课时对点练
基础巩固
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A.9
B.6
C.5
D.3
即c＝5，
则有a2＋16＝25，解得a＝3.
√
2.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为
又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
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3.设F1，F2分别是双曲线x2－
＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于
在△PF1F2中，PF1＝8，PF2＝6，F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，
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4.已知双曲线
＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为
A.3或7
B.6或14
C.3
D.7
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解析 设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∵|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6，
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5.已知双曲线
＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为
A.4a
B.4a－m
C.4a＋2m
D.4a－2m
解析 由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，
所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，
所以△ABF2的周长l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
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6.(多选)双曲线
＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为
A.17
B.7
C.22
D.2
√
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∴点P可能在左支，也可能在右支，
由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，
∴PF2＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
7.若双曲线以椭圆
＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，
则双曲线的标准方程为
_____.
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8.已知方程
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为4，则n的取值范围是
.
则(m2＋n)(3m2－n)>0，
所以－m2
由双曲线性质知，c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，
其中c是半焦距，所以焦距2c＝2·2|m|＝4，
解得|m|＝1，所以－1(－1,3)
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解 当焦点在x轴上时，
当焦点在y轴上时，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
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10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100
km，PB＝150
km，BC＝60
km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意知，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
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∵a＝25，
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综合运用
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
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A.2
B.4
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D.9
√
所以m＋n＝1(m>0，n>0)，
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13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是
A.双曲线的一支
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，
圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得MO1＝r＋1，MO2＝r＋2.
∴MO2－MO1＝1，
又O1O2＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
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14.已知F1，F2是双曲线
＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为
.
由双曲线定义，得PF2－PF1＝8，QF2－QF1＝8，
所以PF2＋QF2－PQ＝(PF2－PF1)＋(QF2－QF1)＝16.
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拓广探究
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15.已知P为双曲线
＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若
＝
＋8，则△MF1F2的面积为
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解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为
＝
＋8，
所以R＝2，
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16§3.2 双曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
第1课时 双曲线的标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题．
导语
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．
一、双曲线的定义
问题1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹．
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数．
知识梳理
双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，PA－PB＝2a，当a＝3，a＝5时，P点的轨迹分别为( )
A．双曲线，一条直线
B．双曲线，两条直线
C．双曲线一支，一条直线
D．双曲线一支，一条射线
答案 D
解析
当a＝3时，2a＝6，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．
当a＝5时，2a＝10，此时AB＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．
跟踪训练1 已知F1(－6,0)，F2(6,0)，动点P满足PF1－PF2＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．直线
D．一条射线
答案 B
解析 F1，F2是定点，且F1F2＝12，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为双曲线的一支．
二、双曲线的标准方程
问题2 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2
(c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则
|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
因为PF1＝，PF2＝，
所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)．
问题3 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1－PF2＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示 －＝1(a>0，b>0)．
知识梳理
双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝c2－a2
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)．
解 (1)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为－＝1,0又因为过点(－5,2)，所以－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)方法一 由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝－＝13－5＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
方法二 因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为－＝1.
由题意知
解得a2＝16，b2＝20.
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟 求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为
．
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
三、双曲线在生活中的应用
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角．
解 如图所示，
以直线AB为x
轴，线段AB的垂直平分线为y
轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又PB－PA＝4＜6＝AB，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥3)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝，因此P在A的北偏东30°上．
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4
km处，C地在B地的北偏东30°方向2
km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2
km，则曲线PQ的轨迹方程是
；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是
km.
答案 x2－＝1(x>0) 2－2
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则DA－DB＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－＝1(x>0)．
根据题意知C(3，)，MB＋MC＝MA＋MC－2≥AC－2＝2－2.
当A，M，C共线时等号成立．
1．知识清单：
(1)双曲线定义的应用．
(2)双曲线方程的求法．
(3)双曲线在实际生活中的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．
2．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.
B．1或－2
C．1或
D．1
答案 D
解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1.
3．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．(1,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2,2)
答案 C
解析 由题意，方程可化为－＝3，
∴解得m＜－2.
4．相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．双曲线的一支
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
答案 B
解析 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
课时对点练
1．已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为(5,0)，则a的值为( )
A．9
B．6
C．5
D．3
答案 D
解析 根据题意，双曲线－＝1(a>0)的一个焦点为(5,0)，即c＝5，
则有a2＋16＝25，解得a＝3.
2．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 2a＝|－|＝4，
所以a＝2，
又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A．4
B．8
C．24
D．48
答案 C
解析 由解得PF1＝8，PF2＝6.
在△PF1F2中，PF1＝8，PF2＝6，F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴＝PF1·PF2＝24.
4．已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A．3或7
B．6或14
C．3
D．7
答案 A
解析 设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∴ON＝PF2，
∵|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6，
∴ON＝PF2＝7或3.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a
B．4a－m
C．4a＋2m
D．4a－2m
答案 C
解析 由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，
所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，
所以△ABF2的周长l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
6．(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17
B．7
C．22
D．2
答案 CD
解析 设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则a＝5，b＝3，c＝，
设P为双曲线上一点，不妨令PF1＝12(12>a＋c＝5＋)，
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，
∴PF2＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
7．若双曲线以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为
.
答案 －＝1
解析 椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝，所以焦点为(±，0)，左、右顶点为(±4,0)．于是双曲线经过点(±，0)，焦点为(±4,0)，则a′＝，c′＝4，所以b′2＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1.
8．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
答案 (－1,3)
解析 －＝1表示双曲线，
则(m2＋n)(3m2－n)>0，
所以－m2由双曲线性质知，c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，
其中c是半焦距，所以焦距2c＝2·2|m|＝4，
解得|m|＝1，所以－19．已知双曲线中，a＝4，经过点A，求该双曲线的标准方程．
解 当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100
km，PB＝150
km，BC＝60
km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意知，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为－＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25，
2c＝AB＝
＝50，
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3
750，
故双曲线的标准方程为－＝1，
注意到点C的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，y≥0)．
11．双曲线－＝1的焦距是( )
A．16
B．4
C．8
D．2
答案 C
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
则c2＝a2＋b2＝16，焦距为2c＝2×＝8.
12．已知双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．9
答案 D
解析 椭圆＋＝1是焦点在x轴上的椭圆，且c2＝5－4＝1.
因为双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，
所以m＋n＝1(m>0，n>0)，
所以＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．
所以＋的最小值为9.
13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线的一支
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
答案 A
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
MO1＝r＋1，MO2＝r＋2.
∴MO2－MO1＝1，
又O1O2＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．
14．已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为
．
答案 16
解析 在双曲线－＝1中，2a＝8，
由双曲线定义，得PF2－PF1＝8，QF2－QF1＝8，
所以PF2＋QF2－PQ＝(PF2－PF1)＋(QF2－QF1)＝16.
15．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2
B．10
C．8
D．6
答案 B
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为＝＋8，
所以(PF1－PF2)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝·2c·R＝10.
16.已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，
则y1＝±.
又·＝m，
即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝c，
所以||＝＝≥＝2，
当且仅当c＝4时取等号，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为－＝1.第2课时 双曲线标准方程的综合应用
学习目标 1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.2.了解直线与双曲线的位置关系．
一、双曲线方程的设法
例1 (1)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(2)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
解 (1)方法一 ∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，
∴－＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟 (1)若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＋＝1(－a2<λ<－b2)．
与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ跟踪训练1 已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解 方法一 已知双曲线－＝1，
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，所以c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为－＝1.
因为点P在所求双曲线上，
所以－＝1，化简得4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝.
当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，
不符合题意，舍去，所以a2＝1，b2＝24，
所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
方法二 设所求双曲线的标准方程为－＝1(－16<λ<9)，因为点P在双曲线上，则－＝1，解得λ＝－15，所以双曲线的方程为x2－＝1.
二、
双曲线定义的应用
例2 已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.试求△F1PF2的面积．
解 因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，两边平方得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，所以PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以＝PF1·PF2＝×32＝16.
延伸探究
1．若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．
解 由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得|PF1－PF2|＝2a＝6，
∴|10－PF2|＝6，
解得PF2＝4或PF2＝16.
2．若本例条件“PF1·PF2＝32”改成“PF1∶PF2＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解 由PF1∶PF2＝2∶5，
PF2－PF1＝6，
可知PF2＝10，PF1＝4，PF1上的高为＝4，
∴＝×4×4＝8.
3．本例中，将条件“PF1·PF2＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解 由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得PF1－PF2＝－6，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos
60°，
∴102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝64，
∴＝PF1·PF2·sin
∠F1PF2
＝×64×＝16.
反思感悟 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式＝×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式＝×F1F2×|yP|求得面积．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则等于( )
A.
B．±
C．－
D．±
答案 D
解析 在△ABC中，sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)．
∴＝＝.
又∵BC－AC＝±8，
∴＝±＝±.
(2)已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则PA＋PB的最小值为( )
A．9
B．2＋6
C．10
D．12
答案 C
解析 设点C(1,4)，点B在圆上，
则PB≥PC－r＝PC－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知PA＝PA′＋2a＝PA′＋6，
所以PA＋PB＝PA′＋PB＋6≥PA′＋PC＋6－1≥A′C＋5＝5＋5＝10.
三、直线与双曲线的位置关系
例3 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由得－此时方程(
)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
反思感悟 判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解一个公共点；两解两个公共点，相交．
跟踪训练3 已知双曲线C：x2－＝1，直线l：y＝x，求直线l与双曲线C的交点坐标．
解 将直线l与双曲线方程联立，得解得或∴交点坐标为，.
1．知识清单：
(1)双曲线定义的应用．
(2)求双曲线的标准方程．
(3)直线与双曲线的位置关系．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则P2F1－P1F1的值是( )
A．3
B．4
C．6
D．8
答案 C
解析 如图所示，设双曲线的右焦点为F2，连接P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，根据双曲线的对称性，可得P1F1＝P2F2，所以P2F1－P1F1＝P2F1－P2F2＝2×3＝6.
2．已知动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤3)
D.－＝1(x≥3)
答案 D
解析 由题意知，动点P的轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支，由c＝5，a＝3，知b2＝16，所以P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
3．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2等于____________．
答案 4
解析 在△PF1F2中，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos
60°＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，即(2)2＝22＋PF1·PF2，
解得PF1·PF2＝4.
4．直线y＝2x＋1与双曲线x2－＝1有______个交点．
答案 2
解析 联立消去y，得9x2－(2x＋1)2＝9，整理得5x2－4x－10＝0，Δ＝16＋4×5×10>0，
∴直线y＝2x＋1与双曲线x2－＝1有2个交点．
课时对点练
1．与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 方法一 由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，－3)，
所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，－3)，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以
解得
所以双曲线的方程为－＝1.
方法二 设双曲线的方程为＋＝1(－25<λ<－16)，
又因为双曲线过点(－2，)，
可得＋＝1，
解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.
所以双曲线的方程为－＝1.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且AF1＝2AF2＝4，则双曲线的方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 A
解析 由题意，根据双曲线的定义及AF1＝2AF2＝4，
可得AF1－AF2＝2＝2a，解得a＝1，
因为∠F1AF2＝90°，
所以F1F＝AF＋AF＝20，
即(2c)2＝20，即c2＝5，
又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，
所以双曲线的方程为x2－＝1.
3．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x<－1)
B．x2－＝1(x>1)
C．x2＋＝1(x>0)
D．x2－＝1(x>1)
答案 B
解析 PM－PN＝BM－BN＝2<6＝MN，
所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去点(1,0))，且a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，所以P点的轨迹方程是x2－＝1(x>1)．
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由双曲线的定义知，PF1－PF2＝2，
又PF1＝2PF2，
所以PF2＝2，PF1＝4，F1F2＝2c＝2＝4.
所以cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5
B．6
C．8
D．9
答案 D
解析 对于双曲线－＝1，a＝2，b＝2，c＝4，如图所示，
设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，
由双曲线的定义可得PF－PM＝4，
则PF＝4＋PM，
所以PF＋PA＝PM＋PA＋4≥AM＋4＝＋4＝9，
当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立．
因此PF＋PA的最小值为9.
6.若A，B，C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6
km，C在A的北偏东30°，两地相距4
km，在某一时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1
km/s,4
s后A，C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P的坐标是( )
A．(8,5)
B．(－8,5)
C．(8，－5)
D．(－8，－5)
答案 B
解析 由题意知，点A(3,0)，B(－3,0)，C(5,2)，
则线段AC的中点为(4，)，
直线AC的斜率kAC＝＝，
所以线段AC的垂直平分线的斜率k＝－，
所以线段AC的垂直平分线的方程为y－＝－(x－4)，
即y＝－x＋，
设P(x，y)，由PA＝PC可得点P在线段AC的垂直平分线上，
又PA－PB＝4所以点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，
且a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，
所以该双曲线的方程为－＝1(x≤－2)，
所以
解得
所以点P的坐标为(－8,5)．
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
8．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为________．
答案 (－2,2)
解析 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－29．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，
所以设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以PN＝12，PM＝16，MN＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由PM－PN＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由MN＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
故所求方程为－＝1(x>2)．
10．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解 双曲线方程可化为x2－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴AB＝
＝·＝6.
11．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设PF1＝d1，PF2＝d2，
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝.
12．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 C
解析 设P(8，y0)在第一象限，－＝1?y0＝3，
PF2＝＝6，
PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，cos∠F1PF2＝＝.
13．(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P到x轴的距离为
B．PF1＋PF2＝
C．△PF1F2为钝角三角形
D．∠F1PF2＝
答案 BC
解析 因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为＝·2c|yP|＝·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；
将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知PF2＝＝.由双曲线定义可知PF1＝PF2＋2a＝＋8＝，所以PF1＋PF2＝＋＝，所以选项B正确；
由对称性，对于点P，在△PF1F2中，PF1＝>2c＝10>PF2＝.且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝≠，∠F1PF2≠，所以选项D错误．
14．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF1＋PF2＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．1
B.
C．2
D．4
答案 A
解析 设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2，已知PF1＋PF2＝2，
解得PF1＝＋，PF2＝－，
PF1·PF2＝2.又F1F2＝2，
则PF＋PF＝F1F，
所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
于是＝PF1·PF2＝×2＝1.
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线C′：－＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N
)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
答案 2k(a－m)
解析 光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
BF2＝2m＋BF1，
BF1＋BA＋AF1＝BF2－2m＋BA＋AF1＝AF2＋AF1－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N
)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．
16．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解 设顶点A的坐标为(x，y)，则
kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，
即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．(共68张PPT)
第2课时 双曲线标准方程的综合应用
第3章
3.2.1 双曲线的标准方程
1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
2.了解直线与双曲线的位置关系.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、双曲线方程的设法
二、
双曲线定义的应用
三、直线与双曲线的位置关系
内容索引
一、双曲线方程的设法
解 方法一 ∵焦点相同，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.
①
由①②得a2＝12，b2＝8，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去).
解 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
反思感悟 (1)若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
跟踪训练1 已知与双曲线
＝1共焦点的双曲线过点P
求该双曲线的标准方程.
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，所以c＝5.
依题意知b2＝25－a2，
不符合题意，舍去，所以a2＝1，b2＝24，
二、
双曲线定义的应用
例2 已知F1，F2分别是双曲线
＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.试求△F1PF2的面积.
解 因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得|PF1－PF2|＝2a＝6，
∴|10－PF2|＝6，
解得PF2＝4或PF2＝16.
延伸探究
1.若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离.
解 由PF1∶PF2＝2∶5，
PF2－PF1＝6，
2.若本例条件“PF1·PF2＝32”改成“PF1∶PF2＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
3.本例中，将条件“PF1·PF2＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
由定义和余弦定理得PF1－PF2＝－6，
∴102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝64，
反思感悟 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值；
√
又∵BC－AC＝±8，
√
解析 设点C(1,4)，点B在圆上，
则PB≥PC－r＝PC－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知PA＝PA′＋2a＝PA′＋6，
所以PA＋PB＝PA′＋PB＋6≥PA′＋PC＋6－1≥A′C＋5＝5＋5＝10.
三、直线与双曲线的位置关系
例3 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(
)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
反思感悟 判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解一个公共点；两解两个公共点，相交.
跟踪训练3 已知双曲线C：x2－
＝1，直线l：y＝x，求直线l与双曲线C的交点坐标.
1.知识清单：
(1)双曲线定义的应用.
(2)求双曲线的标准方程.
(3)直线与双曲线的位置关系.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
课堂小结
随堂演练
1.如图，双曲线C：
＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则P2F1－P1F1的值是
A.3
B.4
C.6
D.8
解析 如图所示，
设双曲线的右焦点为F2，连接P2F2，
因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，
根据双曲线的对称性，可得P1F1＝P2F2，
所以P2F1－P1F1＝P2F1－P2F2＝2×3＝6.
1
2
3
4
√
2.已知动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是
解析 由题意知，动点P的轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支，
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
√
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4
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3
4
3.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2等于_____.
解析 在△PF1F2中，
4
解得PF1·PF2＝4.
1
2
3
4
4.直线y＝2x＋1与双曲线x2－
＝1有____个交点.
整理得5x2－4x－10＝0，Δ＝16＋4×5×10>0，
2
课时对点练
基础巩固
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√
解析 方法一 由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，－3)，
所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，－3)，
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解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.
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2.已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且AF1＝2AF2＝4，则双曲线的方程为
√
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解析 由题意，根据双曲线的定义及AF1＝2AF2＝4，
可得AF1－AF2＝2＝2a，解得a＝1，
因为∠F1AF2＝90°，
即(2c)2＝20，即c2＝5，
又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，
3.已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为
解析 PM－PN＝BM－BN＝2<6＝MN，
所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去点(1,0))，
且a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，
√
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4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2等于
√
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又PF1＝2PF2，
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5.已知F是双曲线
＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为
A.5
B.6
C.8
D.9
√
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如图所示，
设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，
由双曲线的定义可得PF－PM＝4，
则PF＝4＋PM，
当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立.
因此PF＋PA的最小值为9.
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6.若A，B，C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6
km，C在A的北偏东30°，两地相距4
km，在某一时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1
km/s,4
s后A，C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P的坐标是
√
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设P(x，y)，由PA＝PC可得点P在线段AC的垂直平分线上，
又PA－PB＝4所以点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，
且a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，
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解析 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
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8.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为_________.
解析 易知k≠±2，
将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－2(－2,2)
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9.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝
，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程.
所以设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以PN＝12，PM＝16，MN＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示.
由PM－PN＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由MN＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
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10.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
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故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
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综合运用
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解析 设PF1＝d1，PF2＝d2，
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12.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C
上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是
√
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PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，
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所以|yP|＝4，所以选项A错误；
所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；
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√
解析 设点P在双曲线的右支上，
所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
PF1·PF2＝2.
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拓广探究
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15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：
＝1(a>b>0)与双曲线C′：
＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N
)次反射后回到
左焦点所经过的路径长为_________.
2k(a－m)
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解析 光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，
光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，
反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
BF2＝2m＋BF1，
BF1＋BA＋AF1＝BF2－2m＋BA＋AF1＝AF2＋AF1－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N
)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m).
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16.已知△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
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当m>0时，轨迹是中心在原点，
焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，
以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，
其中当－1当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).