§3.3 抛物线
3．3.1 抛物线的标准方程
学习目标 1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用．
导语
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当01时，点M的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
一、抛物线的定义与标准方程
问题1 利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示 点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．
知识梳理
抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线(directrix)．
问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
提示 过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，设焦点F到准线l的距离为p，则F，又设P(x，y)为抛物线上任意一点．过点P作PH⊥l，垂足为H，则PF＝PH，得＝，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
知识梳理
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点为直线x＋3y＋15＝0与坐标轴的交点．
解 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，
∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
反思感悟 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型．
(2)求参数p的值．
(3)确定抛物线的标准方程．
提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
跟踪训练1 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
答案 2 x＝－1
解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
答案 x2＝10y和x2＝－10y
解析 设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
答案 A
解析 ∵＋x0＝x0，
∴x0＝1.
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由题图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝.
延伸探究
1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求PA＋PF的最小值．
解 将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，
则PA＋PF＝PA＋d.
由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值是.
即PA＋PF的最小值是.
2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
PA1＋PQ＝PA1＋PF≥A1Fmin.
A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.
即所求最小值为1.
反思感悟
抛物线定义的应用
实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
跟踪训练2 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
答案 4
解析 把点A(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，
所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3.
三、抛物线的实际应用
例3 (1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60
cm，灯深40
cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25
cm
B．5.625
cm
C．20
cm
D．10
cm
答案 B
解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．
∵A(40,30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，
∴p＝，
∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625(cm)．
(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．
答案 3.84
解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一．
设点B的坐标为(2，yB)，解得yB＝－，点A的坐标为(2，－4)，
∴AB＝yB－(－4)＝－＋4＝3.84，
∴最长支柱的长为3.84米．
反思感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2
m时，小船开始不能通航．
1．知识清单：
(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程．
(3)抛物线的实际应用．
2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．
3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x
B．y2＝2x
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
答案 B
解析 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，
则(－)2＝a，解得a＝2，
因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为( )
A.
B.
C.
D．4
答案 C
解析 根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝.
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
答案 6
解析 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
答案 2
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．
课时对点练
1．已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝4y
B．x2＝－4y
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
答案 D
解析 ∵抛物线的焦点坐标是(－1,0)，
∴抛物线是焦点在x轴负半轴上的抛物线，且＝1，得p＝2.
∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
2．已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
3．抛物线y＝x2的准线方程是( )
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
答案 A
解析 因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
答案 B
解析 ∵抛物线的准线方程为x＝－，
∴－＝－1，∴＝1，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．
5．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为( )
A．y2＝x
B．x2＝8y
C．x2＝－8y
D．y2＝－8x
答案 AC
解析 若抛物线的焦点在x轴上，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，
所以抛物线的方程为y2＝x.
若抛物线的焦点在y轴上，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝－8y.
6．点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2
B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2
D．y＝x2或y＝－x2
答案 D
解析 当a>0时，开口向上，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为3＋＝6，所以a＝，所以抛物线方程为y＝x2；当a<0时，开口向下，准线方程为y＝－，点M到准线的距离为|3＋|＝6，所以a＝－或(舍去)，所以抛物线方程为y＝－x2.
综上，抛物线方程为y＝x2或y＝－x2.
7．已知抛物线的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，则抛物线方程为________________，双曲线方程为________．
答案 y2＝4x 4x2－y2＝1
解析 因为交点在第一象限，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程－＝1.
8．在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是________．
答案 (－6,6)，(－6，－6)
解析 由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x，又PF＝9，
∴3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.
∴所求点的坐标为(－6,6)，(－6，－6)．
9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．
解 不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，
AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n，
由△AOB的面积为16，
可得·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
10．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
解 设焦点为F，
M点到准线的距离为d，
则d＝MF＝10，
即9＋＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线的方程，
得y＝±6.∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
11．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2
m，镜深0.25
m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A．0.5
m
B．1
m
C．1.5
m
D．2
m
答案 B
解析 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25)
，
代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1)．
所以容器灶圈应距离集光板顶点1
m.
12．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则QF等于( )
A.
B.
C．3
D．2
答案 C
解析 过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图．
∵＝4，
∴PQ∶PF＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴QF＝QQ′＝3.
13．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 由题意知，F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.
14．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
答案 ②④
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则MF＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，
设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
15．已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a>0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为________.
答案 3－2
解析 抛物线y＝x2，
即x2＝8y的焦点为F(0,2)．
所以a2＝22－12＝3，
故双曲线的方程为－x2＝1.
设P(x，y)，
因为点P在x轴上方，
故由双曲线的性质可得y≥，＝(x，y)，
＝(x，y－2)，
·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y
＝＋y2－2y－1
＝y2－2y－1
＝－1
＝2－.
因为y＝<，
故函数t＝2－在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2.所以·的最小值为3－2.
16.一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解 以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
∵AB是OD的4倍，
∴点B的坐标为.
由点B在抛物线上，得2＝－2p·，
∴p＝.
∴抛物线方程为x2＝－ay.
设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴y0＝－，
∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，
令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．
∴a的最小整数值为13.(共67张PPT)
3.3.1 抛物线的标准方程
第3章
§3.3 抛物线
1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.
2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.
3.了解抛物线定义的实际应用.
学习目标
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当01时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
导语
随堂演练
课时对点练
一、抛物线的定义与标准方程
二、抛物线定义的应用
三、抛物线的实际应用
内容索引
一、抛物线的定义与标准方程
问题1 利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示 点M随着点H运动的过程中，
始终有MF＝MH，
即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，
点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离
的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点F叫作抛物线的
，定直线l叫作抛物线的_____(directrix).
知识梳理
相等
焦点
准线
问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
提示 过F作直线FN⊥直线l，垂足为N，
以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，
建立如图所示的直角坐标系xOy，
又设P(x，y)为抛物线上任意一点.
过点P作PH⊥l，垂足为H，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0).
知识梳理
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
?
____________
?
______________
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
?
____________
?
______________
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
解 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，
故抛物线的焦点在y轴的正半轴上，
设其方程为x2＝2py(p＞0).
∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)过点(3，－4)；
解 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
(3)焦点为直线x＋3y＋15＝0与坐标轴的交点.
解 令x＝0，得y＝－5；
令y＝0，得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
反思感悟 求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay
(a≠0)的形式，以简化讨论过程.
跟踪训练1 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝____，
准线方程为________.
解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
2
x＝－1
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_________
____________.
解析 设方程为x2＝2my(m≠0)，
由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，
所以满足条件的抛物线有两条，
它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
x2＝10y
和x2＝－10y
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝
x0，则x0等于
A.1
B.2
C.4
D.8
∴x0＝1.
√
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解 由抛物线的定义可知，
抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.
由题图可知，点P，
延伸探究
1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求PA＋PF的最小值.
解 将x＝3代入y2＝2x，
所以点A在抛物线内部.
则PA＋PF＝PA＋d.
2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋
＝0，求点P到直线3x－4y＋
＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
解 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
即所求最小值为1.
PA1＋PQ＝PA1＋PF≥A1Fmin.
反思感悟
抛物线定义的应用
实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
跟踪训练2 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________.
解析 把点A(2，－4)代入抛物线y2＝2px，
得16＝4p，即p＝4，
从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.
4
(2)设点A的坐标为(1，
)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1
的距离为d，则d＋PA的最小值为
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，
点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，
所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3.
√
三、抛物线的实际应用
例3 (1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60
cm，灯深40
cm，则光源到反光镜顶点的距离是
A.11.25
cm
B.5.625
cm
C.20
cm
D.10
cm
解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0).
∵A(40,30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，
√
(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为______米.
3.84
解析 如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一.
反思感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，
建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2
m时，小船开始不能通航.
1.知识清单：
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程.
(3)抛物线的实际应用.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归.
3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
课堂小结
随堂演练
1.准线与x轴垂直，且经过点(1，－
)的抛物线的标准方程是
A.y2＝－2x
B.y2＝2x
C.x2＝2y
D.x2＝－2y
解析 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，
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√
因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
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2.抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为
解析 根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，
√
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3.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是____.
再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
6
4.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽______米.
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，
所以x2＝－2y.
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课时对点练
基础巩固
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1.已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程为
A.x2＝4y
B.x2＝－4y
C.y2＝4x
D.y2＝－4x
解析 ∵抛物线的焦点坐标是(－1,0)，
√
∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
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2.已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为
√
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A.y＝－1
B.y＝－2
C.x＝－1
D.x＝－2
所以抛物线的准线方程是y＝－1.
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4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为
A.(－1,0)
B.(1,0)
C.(0，－1)
D.(0,1)
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5.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为
A.y2＝x
B.x2＝8y
C.x2＝－8y
D.y2＝－8x
√
√
解析 若抛物线的焦点在x轴上，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以抛物线的方程为y2＝x.
若抛物线的焦点在y轴上，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝－8y.
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6.点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是
A.y＝12x2
B.y＝12x2或y＝－36x2
C.y＝－36x2
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y2＝4x
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解析 因为交点在第一象限，其准线垂直于x轴，
所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，
8.在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是_________________________.
解析 由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，
准线为l：x＝3.
设所求点为P(x，y)，
则由抛物线的定义知PF＝3－x，又PF＝9，
∴3－x＝9，x＝－6，
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9.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.
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解 不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，
AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n，
由△AOB的面积为16，
解得m＝n＝4，p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
10.抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标.
M点到准线的距离为d，
则d＝MF＝10，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线的方程，
得y＝±6.∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6).
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综合运用
11.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2
m，镜深0.25
m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点
A.0.5
m
B.1
m
C.1.5
m
D.2
m
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解析 若使吸收太阳光的效果最好，
容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25)
，
代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1).
所以容器灶圈应距离集光板顶点1
m.
解析 过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图.
√
∴PQ∶PF＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴QF＝QQ′＝3.
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13.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为
A.y2＝4x或y2＝8x
B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x
D.y2＝2x或y2＝16x
√
又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，
解得p＝2或p＝8，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.
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14.对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是_____.(要求填写适合条件的序号)
②④
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解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，
若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，
则k＝－2，此时存在，所以④满足.
拓广探究
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即x2＝8y的焦点为F(0,2).
所以a2＝22－12＝3，
设P(x，y)，
因为点P在x轴上方，
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16.一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍.若拱口宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
解 以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示.
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
∵AB是OD的4倍，
∴抛物线方程为x2＝－ay.
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设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴a的最小整数值为13.
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