3.2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的几何性质
学习目标 1.掌握双曲线的几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．
导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
一、根据双曲线方程研究几何性质
知识梳理
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
实半轴长＝a，虚半轴长＝b
离心率
e＝>1
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率e＝.
注意点：
(1)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
延伸探究
1．把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
解 把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为－＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0,2)，(0，－2)，
焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4，
虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
2．把本例方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
解 方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝，b2＝1，c2＝＋1＝.
所以顶点坐标为，.
焦点坐标为，.
实轴长2a＝，虚轴长2b＝2.
离心率e＝＝.
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为
－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
二、由几何性质求双曲线的标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
解 (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
反思感悟 由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)．
解 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵e＝＝，
∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)．
把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
三、求双曲线的离心率
知识梳理
离心率
(1)定义
焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e.由a2＋b2＝c2，可得e＝＝.
(2)范围
由c>a>0可知双曲线的离心率e>1.
(3)几何意义
由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝.
因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度．
例3 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
答案 或
解析 当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝.
当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝.
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值．
解 因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2.
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
跟踪训练3 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为__________．
答案 2＋
解析 如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－b)，
此时kPF2＝＝，
得到c＝(2＋)a，
即双曲线C的离心率e＝＝2＋.
1．知识清单：
(1)根据双曲线方程研究几何性质．
(2)由几何性质求双曲线的标准方程．
(3)求双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、分类讨论、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1.
(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8
B．虚轴长为4
C．焦距为6
D．离心率为
答案 ABD
解析 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
答案 B
解析 ∵e＝，∴＝，即＝3，
∴b2＝2a2，
∴渐近线方程为y＝±x.
3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 D
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
4．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
答案 2
解析 由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1，
所以e＝＝2.
课时对点练
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
答案 C
解析 双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
答案 C
解析 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，解得＝.
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
3．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )
A．y2－3x2＝36
B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36
D．3x2－y2＝36
答案 A
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )
A．2
B.
C．2
D．4
答案 B
解析 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a＝b.
所以渐近线方程为y＝±x，
因为顶点到一条渐近线的距离为1，
所以a＝1，
所以a＝b＝，
所以双曲线C的方程为－＝1，
焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝.
5．(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是
( )
A．C的方程为－＝1
B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3
D．PF的最小值为2
答案 AD
解析
双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝b＝4，C不正确；
PF的最小值为c－a＝2，D正确．
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A．2
B.
C.
D．5
答案 B
解析 e＝＝＝.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________________．
答案 －＝1
解析 由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.
8．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
答案
解析 不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，得PF1＝4a，PF2＝2a，F1F2＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cos
30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝.
9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．
解 (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
则＝4，解得k＝.
若双曲线焦点在x轴上，则＝，e＝；
若双曲线焦点在y轴上，则＝，e＝，
故所求双曲线的离心率为e＝或e＝.
(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
由PF1⊥PF2得·＝0.
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25，
所以a＝3，b＝4，
所以双曲线的方程为－＝1.
10．设双曲线－＝1(0
解 设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝.
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 B
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是－＝1.
12．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A.
B．2
C.
D.
答案 D
解析 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则BM＝AB＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a，a)．
∵M点在双曲线上，
∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
13.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3
B．2
C.
D.
答案 B
解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为
＋＝1(a>b>0)，
－＝1(m>0，n>0)，
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝，e2＝，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
即2m＝a，所以＝＝＝2.
14．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案 44
解析 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，
且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，点P，Q在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6.
∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，
∴△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
15．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为__________．
答案
解析 双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝，y＝－，所以B.
所以S△AFB＝AF|yB|＝(c－a)·|yB|
＝×(5－3)×＝.
16．已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．
解 (1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，
由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.
因为x1x2＝－，
·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2，
所以m2＝3，即m＝±.(共61张PPT)
第2课时 双曲线几何性质的综合问题
第3章
3.2.2 双曲线的几何性质
1.掌握与双曲线共渐近线的双曲线方程的设法.
2.理解双曲线离心率范围的求法.
3.掌握双曲线几何性质的综合应用.
学习目标
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
导语
随堂演练
课时对点练
一、共渐近线问题
二、双曲线离心率的取值范围
三、双曲线几何性质的综合应用
内容索引
一、共渐近线问题
反思感悟 利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为
＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性.
跟踪训练1 双曲线顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±
x.求双曲线的
方程.
二、双曲线离心率的取值范围
例2 已知点F是双曲线
＝1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是
解析 若△ABE是锐角三角形，则∠AEF<45°，
√
即2a2－c2＋ac>0，所以e2－e－2<0，
解得－11，
所以1反思感悟 求双曲线离心率范围的方法
(1)列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解.
(2)根据题意找出a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围.
跟踪训练2 设A1，A2分别为双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，
若双曲线上存在点M使得两直线斜率
·
<2，则双曲线C的离心率的
取值范围是
√
解析 设M(x，y)，由题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，
三、双曲线几何性质的综合应用
所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.
因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，
所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
解 因为F1(－4,0)，F2(4,0)，
因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，
③求△F1MF2的面积.
反思感悟 (1)解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算.
(2)双曲线的几何性质常与平面向量、正、余弦定理、不等式结合.
√
A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F2＝10，
解得a＝3，b＝4，则A(－3,0)，
1.知识清单：
(1)共渐近线求双曲线的方程.
(2)求双曲线离心率的取值范围.
(3)双曲线几何性质的综合应用.
2.方法归纳：化归思想、数形结合法.
3.常见误区：焦点所在坐标轴考虑不全.
课堂小结
随堂演练
√
1
2
3
4
2.已知F是双曲线C：x2－
＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为
√
解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2,0)，
1
2
3
4
√
1
2
3
4
∴4(c2－a2)<3c2，∴e<2，∵e>1，∴1(1,2)
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知双曲线的渐近线为y＝±
x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
∴c＝4，
c2＝a2＋b2＝4λ＝16?λ＝4，
故选C.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.过双曲线x2－
＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则PM2－PN2的最小值为
A.10
B.13
C.16
D.19
解析 由题可知，
√
＝(PC1－PC2)(PC1＋PC2)－3
＝2(PC1＋PC2)－3≥2C1C2－3＝13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.设F是双曲线
＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右两支均相交，则双曲线离心率的取值范围为
由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点，
且与双曲线左、右两支各有一个交点，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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6.已知点P为双曲线
＝1(a>0，b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有
≥
成立，则双曲线的离心率的取值范围是
A.(1,2]
B.(1,2)
C.(0,3]
D.(1,3]
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解析 设△PF1F2的内切圆半径为r，如图.
由双曲线的定义得PF1－PF2＝2a，F1F2＝2c.
∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3].
7.如果双曲线
＝1右支上总存在到双曲线的中心与到右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是__________.
解析 如图，
因为OA＝AF，F(c,0)，
(2，＋∞)
因为A在右支上且不在顶点处，
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8.已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为__________.
解析 由已知令8kx2－ky2＝0，
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9.已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在
双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，求双曲线的离心率e的最大值.
解 由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，又已知PF1＝4PF2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
因为cos∠F1PF2≥－1，
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(1)求双曲线的方程；
解 由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
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(2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求AB的值.
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解 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得3x2－12x＋10＝0，
由弦长公式可知，
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综合运用
11.(多选)双曲线C与椭圆
＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为
√
√
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∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.
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12.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且
＝0，则下列结论正确的是
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
√
√
√
解析 易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；
因此以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，选项B错误；
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解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
PF1＝r1，PF2＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
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设点P(x，y)，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
拓广探究
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15.(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为
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解析 方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，
如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示.
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方法二 根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，
渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
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当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
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16.如图，已知梯形ABCD中，AB＝2CD，点E分有向线段
所成的比为λ，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当
时，求双曲线离心率e的取值范围.
解 由题意可知CD⊥y轴.
∵双曲线经过点C，D，且以A，B为焦点，
由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称.
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∵点C，E在双曲线上，
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第1课时 双曲线的几何性质
第3章
3.2.2 双曲线的几何性质
1.掌握双曲线的几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
学习目标
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
导语
随堂演练
课时对点练
一、根据双曲线方程研究几何性质
二、由几何性质求双曲线的标准方程
三、求双曲线的离心率
内容索引
一、根据双曲线方程研究几何性质
1.双曲线的几何性质
知识梳理
标准方程
图形
?
?
性质
范围
_____________
_____________
对称性
对称轴：
，对称中心：_____
顶点
_
，_____
，_______
轴长
实轴长＝
，虚轴长＝___
实半轴长＝
，虚半轴长＝___
离心率
________
渐近线
y＝±
x
_________
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
坐标轴
原点
(－a,0)
(a,0)
(0，－a)
(0，a)
2a
2b
a
b
2.双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的
叫作双曲线的中心.
(2)等轴双曲线
的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率e＝
.
对称中心
实轴和虚轴等长
注意点：
(1)等轴双曲线的离心率为
，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图.
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
延伸探究
1.把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？
这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.
焦点在y轴上.
所以顶点坐标为(0,2)，(0，－2)，
2.把本例方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
二、由几何性质求双曲线的标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分.
解 由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，
即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，
反思感悟 由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0).
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
∴b＝6，c＝10，a＝8，
又∵焦点在x轴上，
把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.
三、求双曲线的离心率
离心率
(1)定义
知识梳理
(2)范围
由c>a>0可知双曲线的离心率e>1.
(3)几何意义
例3 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解.
跟踪训练3 过双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近
线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_______.
解析 如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，
1.知识清单：
(1)根据双曲线方程研究几何性质.
(2)由几何性质求双曲线的标准方程.
(3)求双曲线的离心率.
2.方法归纳：待定系数法、分类讨论、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
课堂小结
随堂演练
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∴b2＝2a2，
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3.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，
设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，
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4.已知点(2,3)在双曲线C：
＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为______.
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课时对点练
基础巩固
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1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
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3.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为
A.y2－3x2＝36
B.x2－3y2＝36
C.3y2－x2＝36
D.3x2－y2＝36
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a2＝64，c2＝64－16＝48，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
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4.设双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
√
所以a＝b.
所以渐近线方程为y＝±x，
因为顶点到一条渐近线的距离为1，
焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
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因为c＝5，所以b＝4，a＝3，
焦点到渐近线的距离为d＝b＝4，C不正确；
PF的最小值为c－a＝2，D正确.
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6.已知双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为
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8.设F1，F2是双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_____.
解析 不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，
又PF1＋PF2＝6a，得PF1＝4a，PF2＝2a，F1F2＝2c，
则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cos
30°，
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9.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切.
(1)求双曲线的离心率；
解 设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
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(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程.
解 由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
所以a＝3，b＝4，
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又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
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于是双曲线的离心率为2.
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综合运用
11.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为
√
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
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12.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
√
解析 不妨取点M在第一象限，如图所示，
则BM＝AB＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∵M点在双曲线上，
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13.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
√
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
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14.已知F为双曲线C：
＝1的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为_____.
解析 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，
且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，点P，Q在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，得PF－PA＝6，QF－QA＝6.
∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，
∴△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
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拓广探究
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15.双曲线
＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的
一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______.
代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
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(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，
)的双曲线C2的标准方程；
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解 双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.
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16第2课时 双曲线几何性质的综合问题
学习目标 1.掌握与双曲线共渐近线的双曲线方程的设法.2.理解双曲线离心率范围的求法.3.掌握双曲线几何性质的综合应用．
导语
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题．
一、共渐近线问题
例1 求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2)的双曲线方程．
解 方法一 当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1.
由题意，得
解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1.
由题意，得
解得a2＝－4，b2＝－(舍去)
综上所得，双曲线的方程为－＝1.
方法二 设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
将点(－3,2)代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝，即－＝1.
反思感悟 利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．
跟踪训练1 双曲线顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.求双曲线的方程．
解 设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝.
当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
二、双曲线离心率的取值范围
例2 已知点F是双曲线－＝1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C．(2,1＋)
D．(1,1＋)
答案 B
解析 若△ABE是锐角三角形，则∠AEF<45°，
在Rt△AEF中，AF＝，EF＝a＋c，所以即2a2－c2＋ac>0，所以e2－e－2<0，解得－11，所以1反思感悟 求双曲线离心率范围的方法
(1)列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解．
(2)根据题意找出a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．
跟踪训练2 设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率·<2，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，)
B．(1，)
C．(，＋∞)
D．(1,2)
答案 B
解析 设M(x，y)，由题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，则＝，＝，则·＝，
又∵点M在双曲线上，故－＝1?y2＝b2，
代入·＝中，
可得＝<2?＝e2－1<2?1三、双曲线几何性质的综合应用
例3 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上．
①求双曲线的方程；
②求·的值；
③求△F1MF2的面积．
解 ①因为e＝，
所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.
因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，
所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
②因为F1(－4,0)，F2(4,0)，
＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)，
所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2，
因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，
所以·＝12.
③△F1MF2的底F1F2＝8，由②知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以＝4.
反思感悟 (1)解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算．
(2)双曲线的几何性质常与平面向量、正、余弦定理、不等式结合．
跟踪训练3 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F2＝10，PF2⊥F1F2，PF2＝，O为坐标原点，则·等于( )
A．－
B.
C．15
D．－15
答案 D
解析 F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，F1F2＝10，PF2⊥F1F2，PF2＝，
可得c＝5，＝，a2＋b2＝c2，
解得a＝3，b＝4，则A(－3,0)，P，则·＝－15.
1．知识清单：
(1)共渐近线求双曲线的方程．
(2)求双曲线离心率的取值范围．
(3)双曲线几何性质的综合应用．
2．方法归纳：化归思想、数形结合法．
3．常见误区：焦点所在坐标轴考虑不全．
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 A
解析 由题意得c＝，＝，
则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2,0)，
将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以PF＝3.
又A的坐标是(1,3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.
3．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，]
B．(1,2]
C．[，＋∞)
D．[2，＋∞)
答案 D
解析 设O为坐标原点，由2|＋|≤||，得4||≤2c(2c为双曲线的焦距)，∴||≤c，又由双曲线的性质可得||≥a，于是a≤c，∴e≥2.
4．已知椭圆＋＝1的右焦点F到双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离小于，则双曲线E的离心率的取值范围是__________．
答案 (1,2)
解析 椭圆＋＝1的右焦点F为(2,0)，
不妨取双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0，
则焦点F到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝<，
即有2b∴4(c2－a2)<3c2，∴e<2，∵e>1，∴1课时对点练
1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2
B．2
C.
D．1
答案 A
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F到直线x－y＝0的距离为＝2.
2．已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 D
解析 双曲线的渐近线为y＝±x，焦点在x轴上，设双曲线方程为x2－＝λ(λ>0)，
即－＝1，a2＝λ，b2＝3λ.
∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
∴c＝4，
c2＝a2＋b2＝4λ＝16?λ＝4，
∴双曲线方程为－＝1.
3．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞)
B．(，2)
C．(1，)
D．(1,2)
答案 C
解析 由题意得双曲线的离心率e＝.
∴e2＝＝1＋.
∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，
∴1故选C.
4．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则PM2－PN2的最小值为( )
A．10
B．13
C．16
D．19
答案 B
解析 由题可知，
PM2－PN2＝(PC－4)－(PC－1)，
因此PM2－PN2＝PC－PC－3
＝(PC1－PC2)(PC1＋PC2)－3
＝2(PC1＋PC2)－3≥2C1C2－3＝13.
5．设F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右两支均相交，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，)
B．(1，)
C．(，＋∞)
D．(，＋∞)
答案 C
解析 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点，
且与双曲线左、右两支各有一个交点，
则>3，即b2>9a2，c2>10a2，可得e>.
6．已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有≥成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2]
B．(1,2)
C．(0,3]
D．(1,3]
答案 D
解析 设△PF1F2的内切圆半径为r，如图．
由双曲线的定义得PF1－PF2＝2a，F1F2＝2c.
＝·PF1·r，＝·PF2·r，
＝·F1F2·r＝·2c·r＝cr.
由题意得·PF1·r－·PF2·r≥cr，
故c≤(PF1－PF2)＝3a.
故e＝≤3，又e>1，
∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．
7．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与到右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是__________．
答案 (2，＋∞)
解析 如图，
因为OA＝AF，F(c,0)，
所以xA＝，
因为A在右支上且不在顶点处，
所以>a，所以e＝>2.
8．已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为________________．
答案 y＝±2x
解析 由已知令8kx2－ky2＝0，
得渐近线方程为y＝±2x.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，求双曲线的离心率e的最大值．
解 由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，又已知PF1＝4PF2，所以PF1＝a，PF2＝a，
在△PF1F2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
因为cos∠F1PF2≥－1，
所以cos∠F1PF2＝－e2≥－1，
解得e≤，即e的最大值为.
10．已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－3,4)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求AB的值．
解 (1)由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则设所求双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，
把(－3,4)代入方程，整理得9－＝λ，
解得λ＝1，即双曲线的方程为x2－＝1.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由整理得3x2－12x＋10＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝，
由弦长公式可知，
AB＝＝＝.
所以AB的值为.
11．(多选)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为( )
A.－y2＝1
B．y2－＝1
C．x2－＝1
D.－x2＝1
答案 AB
解析 由题意知c＝，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ，
∴－＝1，
∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5，
∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.
12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．△PF1F2的面积为1
答案 ACD
解析 易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；
由a＝b＝1得c＝，因此以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，选项B错误；
不妨设F1(－，0)，则F1到双曲线的一条渐近线的距离d＝＝1，选项C正确；
由·＝0得，PF1⊥PF2，因此点P在圆x2＋y2＝2上，由得，y2＝，∴|y|＝，因此，＝F1F2·|y|＝×2×＝1，选项D正确．
13．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝ab，则该双曲线的离心率为________．
答案
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
PF1＝r1，PF2＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝，r2＝.
又r1·r2＝ab，
所以·＝ab，
解得＝(负值舍去)，
故e＝＝
＝
＝
＝.
14．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________．
答案 2
解析 由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为
F1(－，0)，F2(，0)．
设点P(x，y)，
则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．
∵·＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
∴|＋|＝＝＝2.
15．(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )
A．2
B.
C.
D.
答案 AB
解析 方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，
即＝或＝.
又b2＝c2－a2，所以＝3或＝，
所以e2＝4或e2＝，所以e＝2或e＝.
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或＝，所以＝或＝，亦可得到e＝或e＝2.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
方法二 根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝＝或2.
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝＝2或.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
16．如图，已知梯形ABCD中，AB＝2CD，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．
解 由题意可知CD⊥y轴．
∵双曲线经过点C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称．
依题意，记A(－c,0)，C，E(x0，y0)，
其中c＝AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式得x0＝，y0＝，
设双曲线的方程为－＝1，则离心率e＝，
∵点C，E在双曲线上，
∴将点C的坐标代入双曲线方程得－＝1，①
将点E的坐标代入双曲线方程得
2－2＝1.②
再将e＝代入①得－＝1，
∴＝－1.③
将e＝代入②，
得2－2＝1.④
将③代入④式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，
∴λ＝1－.
由题设≤λ≤，得≤1－≤，
解得≤e≤.
∴双曲线离心率的取值范围是[，]．