第2课时 数列的递推公式
学习目标 1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系．
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1.
一、数列的通项公式的简单应用
例1 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N
.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
解 (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项．
反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练1 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N
，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解 (1)由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项．
二、数列的递推公式
问题1 如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
(1)每次只能移动一个金属片；
(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？
提示 其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.
知识梳理
一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．
注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．
例2 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N
，求a2
021.
解 a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
…
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2
021＝a4×505＋1＝a1＝2.
反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．
跟踪训练2 已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是( )
A．1
B.
C.
D.
答案 C
解析 a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
三、由递推公式求通项公式
例3 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为
an＝.
方法二 (迭代法) a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，
an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N
)．
方法三 (累加法) an＋1－an＝－，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N
)．
(2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于( )
A．n＋1
B．n
C.
D.
答案 D
解析 由题意，因为数列满足an＋1＝an，所以＝，
所以an＝··…···a1＝××…×××1＝.
反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
跟踪训练3 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
解 因为an＝an－1＋－(n≥2)，
所以an－an－1＝－.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1
＝－＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N
.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln
an－ln
an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln
an－ln
an－1＝1，
所以ln＝1，
即＝e(n≥2)．
所以an＝··…··a1
＝·1
＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N
.
四、数列的函数特征
问题2 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
提示 函数．
知识梳理
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
(或它的有限子集)为定义域的函数解析式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示．
例4 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)n，n∈N
.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
解 方法一 an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
则a1a11>a12>…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9.
方法二 根据题意，令
即
解得9≤n≤10.
又n∈N
，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9.
反思感悟 求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项．
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．
跟踪训练4 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 A
解析 因为an＝－4＝2－4，
所以当n＝3时，an取得最小值．
1．知识清单：
(1)数列的递推公式．
(2)由递推公式求数列的通项公式．
(3)数列的函数特征．
2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．
3．常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式．
1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N
)，则a4的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 D
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2．在数列中，an＝，则( )
A．是常数列
B．不是单调数列
C．是递增数列
D．是递减数列
答案 D
解析 在数列中，an＝＝1＋，
由反比例函数的性质得是递减数列．
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，则a2
021的值为( )
A．2
B．1
C.
D.
答案 C
解析 an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
所以a2
021＝a336×6＋5＝a5＝.
4．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．
课时对点练
1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N
)，且a1＝0，则此数列的第5项是( )
A．15
B．255
C．16
D．63
答案 B
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是( )
A．an＋1＝2an
B．an＋1＝－2an
C．an＋1＝an
D．an＋1＝－an
答案 D
3．在数列中，a1＝，an＋1＝1－，则a2
021等于( )
A.
B．－1
C．2
D．3
答案 B
解析 当n＝1时，a2＝1－＝－1；当n＝2时，a3＝1－＝2；
当n＝3时，a4＝1－＝＝a1；a5＝1－＝－1＝a2；a6＝2；…
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2
021＝a3×673＋2＝a2＝－1.
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项公式an等于( )
A．n2＋1
B．n＋1
C．1－n
D．3－n
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式．
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N
)．
5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N
B．an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C．an＋1＝an＋，n∈N
，n≥2
D．an＝an－1＋，n∈N
，n≥2
答案 B
解析 结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，
∴an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2.
6．已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N
)，则数列中最大项的值是( )
A．107
B．108
C．108
D．109
答案 B
解析 由已知得an＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108，由于n∈N
，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.∴数列{an}中最大项的值为a6＝108.
7．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N
)，则a9＝______.
答案
解析 a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
8．数列的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项是________．
答案 38
解析 数列的通项公式an＝n2－7n＋50＝2＋，
因为n∈N
，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38，
则数列中的最小项是38.
9．在数列中，a1＝1，an＋1＝(n∈N
)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想an(不用证明)．
解 (1)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.
(2)猜想：an＝.
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2
021.
解 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，
则有
解得
∴an＝4n－2，n∈N
.
(2)a2
021＝4×2
021－2＝8
082.
11．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1
B．a9
C．a10
D．不存在
答案 A
解析 因为a1>0，且an＋1＝an，
所以an>0，
所以＝<1，
所以an＋1所以此数列为递减数列，
故最大项为a1.
12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2
020等于( )
A．a2
021
B．a2
022
C．a2
023
D．a2
024
答案 A
解析 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，
则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2
020＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2
020＝a3＋a4＋a6＋…＋a2
020＝a5＋a6＋…＋a2
020＝a2
019＋a2
020＝a2
021.
13．已知an＝，则数列{an}中相等的连续两项是( )
A．第9项，第10项
B．第10项，第11项
C．第11项，第12项
D．第12项，第13项
答案 B
解析 假设an＝an＋1，则有＝，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N
)，则它的通项公式an＝________.
答案
解析 方法一 (累乘法)
把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＋an>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，
∴···…·
＝×××…×＝(n≥2)，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
又a1＝1也适合上式，
∴an＝，n∈N
.
方法二 (迭代法)
同方法一，得＝，
∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2
＝···an－3＝
…
＝···…·a1＝a1.
又∵a1＝1，∴an＝.
方法三 (构造特殊数列法)
同方法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，
∴an＝(n∈N
)．
15．在一个数列中，如果对任意n∈N
，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
答案 28
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)，
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.(共67张PPT)
第2课时 数列的递推公式
第4章
§4.1 数 列
1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.
3.进一步理解数列与函数的关系.
学习目标
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1.
导语
随堂演练
课时对点练
一、数列的通项公式的简单应用
二、数列的递推公式
三、由递推公式求通项公式
内容索引
四、数列的函数特征
一、数列的通项公式的简单应用
例1 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N
.
(1)写出数列的前3项；
解 在通项公式中依次取n＝1,2,3，
可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.
解 令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，
反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
跟踪训练1 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N
，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
解 由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)判断－81是否为此数列中的项.
解 当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项.
二、数列的递推公式
问题1 如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片；
(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？
提示 其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，
第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；
第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；
第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.
一般地，如果已知一个数列
的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用
来表示，那么这个公式就叫作这个数列的
.
注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项.
知识梳理
一个公式
递推公式
例2 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝
，n∈N
，求a2
021.
…
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2
021＝a4×505＋1＝a1＝2.
反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性.
√
三、由递推公式求通项公式
√
解析 方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
又a1＝1，
a1＝1，
…
√
反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
又a1＝1也符合上式，
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln
an－ln
an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln
an－ln
an－1＝1，
·1
＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N
.
四、数列的函数特征
问题2 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
提示 函数.
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.
注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
(或它的有限子集)为定义域的函数解析式.(2)数列还可以用列表法、图象法表示.
知识梳理
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1则a1a11>a12>…，
解得9≤n≤10.
又n∈N
，则n＝9或n＝10.
故数列{an}有最大项，
反思感悟 求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足
(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组
(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值.
所以当n＝3时，an取得最小值.
跟踪训练4 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是
A.3
B.4
C.5
D.6
√
1.知识清单：
(1)数列的递推公式.
(2)由递推公式求数列的通项公式.
(3)数列的函数特征.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式.
课堂小结
随堂演练
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N
)，则a4的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
A.是常数列
B.不是单调数列
C.是递增数列
D.是递减数列
√
1
2
3
4
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，则a2
021的值为
√
解析 an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
1
2
3
4
1
2
3
4
4.323是数列{n(n＋2)}的第_____项.
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.
17
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N
)，且a1＝0，则此数列的第5项是
A.15
B.255
C.16
D.63
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
√
1
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√
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14
15
16
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2
021＝a3×673＋2＝a2＝－1.
√
4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项公式an等于
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N
).
√
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15
16
5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是
A.an＋1＝an＋n，n∈N
B.an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
解析 结合图象易知，
a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，
∴an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2.
√
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16
6.已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N
)，则数列中最大项的值是
∴数列{an}中最大项的值为a6＝108.
√
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3
4
5
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16
7.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N
)，则a9＝______.
解析 a1a2…a8＝82，
①
a1a2…a9＝92，
②
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8.数列
的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项是_____.
因为n∈N
，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38，
则数列中的最小项是38.
38
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16
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想an(不用证明).
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10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 设an＝kn＋b(k≠0)，
∴an＝4n－2，n∈N
.
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(2)求a2
021.
解 a2
021＝4×2
021－2＝8
082.
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16
综合运用
A.a1
B.a9
C.a10
D.不存在
√
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所以an>0，
所以an＋1所以此数列为递减数列，
故最大项为a1.
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16
12.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2
020等于
A.a2
021
B.a2
022
C.a2
023
D.a2
024
解析 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，
则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2
020＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2
020＝a3＋a4＋a6＋…＋a2
020＝a5＋a6＋…＋a2
020＝a2
019＋a2
020＝a2
021.
√
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16
A.第9项，第10项
B.第10项，第11项
C.第11项，第12项
D.第12项，第13项
解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项.
√
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解析 方法一 (累乘法)
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＋an>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
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又a1＝1也适合上式，
方法二 (迭代法)
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方法三 (构造特殊数列法)
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，
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拓广探究
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15.在一个数列中，如果对任意n∈N
，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝______.
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
28
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16
16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
若a4＝4，求m所有可能的取值.
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
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若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
故m所有可能的取值为4,5,32.(共60张PPT)
第1课时 数列的概念及通项公式
第4章
§4.1 数 列
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项，
并结合数列的函数特征画出数列的图象.
学习目标
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列.
导语
随堂演练
课时对点练
一、数列的概念与分类
二、数列的通项公式
三、数列的图象
内容索引
一、数列的概念与分类
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2
401,16
807；
②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，
③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2
023,2
023，…，2
023；
④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；
⑤－
的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：
…；你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
问题1 观察以下几列数：
提示 共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.
不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；
从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化.
1.一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的
.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第
项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第
项，用a2表示……，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用
表示.其中第1项也叫作
.
2.
数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为
.
知识梳理
项
1
2
an
首项
{an}
3.
分类标准
名称
含义
按项的
个数
有穷数列
项数
的数列
无穷数列
项数
的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
常数列
各项都
的数列
周期数列
项呈现周期性变化
摆动数列
从第2项起，有些项
它的前一项，有些项____它的前一项
有限
大于
无限
小于
相等
大于
小于
注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3)
表示一个数列，an表示数列中的第n项.
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；
(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；
(2)是递增数列；
(1)(4)(5)是递减数列；
(3)是常数列；
(6)是摆动数列.
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2
017,2
018,2
019,2
020,2
021；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；
(2)(3)(4)(5)是无穷数列；
(1)(2)是递增数列；
(3)是递减数列；
(6)是常数列；
(5)是周期数列.
二、数列的通项公式
问题2 我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
提示 对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，
一般地，如果数列{an}的第n项与
之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的
.
注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一.
知识梳理
序号n
通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，
偶数项为正，
解 数列中的项，有的是分数，有的是整数，
解 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，
(3)0,1,0,1；
解 各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，
此数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
(4)9,99,999,9
999.
解 由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，
延伸探究
1.试写出前4项为：1,11,111,1111，…的一个通项公式.
解 由上式中的每一项乘7即可，
2.试写出前4项为7,77,777,7777，…的一个通项公式.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)1,3,7,15,31，…；
解 由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…
可得an＝2n－1.
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，…；
可得an＝(n＋1)(n＋2).
三、数列的图象
例3 已知数列
的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
(1)an＝(－1)n·n；(2)an＝n2.
解 列表法给出这两个数列的前5项：
n
1
2
3
4
5
an＝(－1)n·n
－1
2
－3
4
－5
an＝n2
1
4
9
16
25
它们的图象为：
反思感悟 基于数列的函数特点，数列可以看成以正整数n为自变量的函数，其通项公式可以看成解析式，则数列也可用列表与图象来进行表示.
跟踪训练3 已知数列
的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它
的图象：
(1)an＝3n＋1；(2)an＝2n－1.
解 列表法给出这两个数列的前5项：
n
1
2
3
4
5
an＝3n＋1
4
7
10
13
16
an＝2n－1
1
3
7
15
31
它们的图象为：
1.知识清单：
(1)数列的概念与分类.
(2)数列的通项公式.
(3)数列的图象.
2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.
3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
课堂小结
随堂演练
1.下列说法正确的是
A.数列中不能重复出现同一个数
B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C.1,1,1,1不是数列
D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
解析 由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；
B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；
由数列的定义可知，D正确.
1
2
3
4
√
2.已知数列{an}的通项公式为an＝
，n∈N
，则该数列的前4项依次为
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
√
1
2
3
4
1
2
3
4
3.数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x的值是
A.4
B.5
C.6
D.7
解析 数列1,1,2,3，x,8,13,21，…
各项满足从数列第三项开始，每一项都等于前两项的和，故x＝2＋3＝5.
√
1
2
3
4
4.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是_________________.
an＝2n＋1，n∈N
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)下列说法正确的是
A.数列可以用图象来表示
B.数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等
D.数列可以用一群孤立的点表示
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是
A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N
B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N
C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N
D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，
又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，
所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N
.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
4.数列0.3,0.33,0.333,0.333
3，…的通项公式为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.已知an＋1－an－3＝0，则数列
是
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.常数列
解析 因为an＋1－an－3＝0，所以an＋1－an＝3>0.
√
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6.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列.
√
√
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7.已知数列{an}的通项公式为an＝2
021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为______.
又因为n∈N
，
所以正整数n的最大值为673.
673
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8.数列：2，－5,8，－11，…，(－1)n－1(3n－1)，(－1)n(3n＋2)的第2n项为_______.
解析 由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，
即可表示(－1)n－1，又首项为2，
故数列的通项公式为an＝(－1)n－1(3n－1)，
可知第2n项为a2n＝(－1)2n－1(6n－1)＝－(6n－1)＝1－6n.
1－6n
1
2
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9.写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
解 各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N
.
解 每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，
分子分别比分母少1，
解 通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.
则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.
分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.
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10.已知数列
的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
解 列表法给出这两个数列的前5项：
n
1
2
3
4
5
an＝2
2
2
2
2
2
1
－4
3
－16
5
它们的图象为：
1
2
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综合运用
√
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12.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0,3,6,12,
24,48,96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,
10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律，新数列的第8项为
A.14.8
B.19.2
C.19.6
D.20.4
√
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解析 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起，
每一项是前一项的两倍，
故该数列的第8项是192,0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可.
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13.数列{an}中，an＝
，则a5等于
A.3
333
B.7
777
C.33
333
D.77
777
√
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14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____.
61
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解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
拓广探究
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15.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为
√
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(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
所以0故数列的各项都在区间(0,1)内.
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