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4.2.1 等差数列的概念
第4章
§4.2 等差数列
1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.
2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列.
学习目标
同学们，上节课我们学习了数列的概念，并根据数列的递推关系求数列的通项公式，实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属鸡的居多一些，同样是属鸡的，要么和你同岁，要么和你相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差数列的概念
二、等差数列中的基本计算
三、等差数列的判定与证明
内容索引
一、等差数列的概念
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,
1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生
1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
提示 对于①，我们发现1
758－1
682＝76,1
834－1
758＝76,1
910－1
834＝76,1
986－1
910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1
986＋76＝2
062.
对于②有270－275＝－5…；
对于③，10－10＝0，有同样的取值规律.
一般地，如果一个数列从第
项起，每一项减去它的前一项所得的
都等于
，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的
，公差通常用字母
表示.
注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列.
知识梳理
差
同一个常数
公差
d
二
例1 判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9，…；
解 是，a1＝1，d＝2；
②9,6,3,0，－3，…；
解 是，a1＝9，d＝－3；
③1,3,4,5,6，…；
解 不是；
④7,7,7,7,7，…；
解 是，a1＝7，d＝0；
解 不是.
反思感悟 利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是
A.1,1,1,1,1
B.4,7,10,13,16
解析 由等差数列的定义得，
A项d＝0，故是等差数列；
B项d＝3，故是等差数列；
√
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
√
√
二、等差数列中的基本计算
(2)若－1，a，b，c,7成等差数列，求a，b，c的值.
反思感悟 若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量.
跟踪训练2 若m,4,2n成等差数列，2m,5，n也成等差数列，试求m，n的值.
三、等差数列的判定与证明
例3 数列
满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N
.证明：数列
是等差数列.
证明 ∵nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
反思感悟 (1)一般地，数列
中，如果对于任意的n≥2，都有2an＝an－1
＋an＋1，则我们称数列
是等差数列，反之也能成立，我们把an称为an－1与an＋1的等差中项.
1.知识清单：
(1)等差数列的概念.
(2)等差数列的基本运算.
(3)利用定义证明等差数列.
2.方法归纳：定义法，列方程组法.
3.常见误区：等差数列的下标与n的取值范围易出错.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列数列中，是等差数列的是
A.1,4,7,10
B.lg
2，lg
4，lg
8，lg
16
C.25,24,23,22
D.10,8,6,4,2
解析 A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
1
2
3
4
√
√
√
1
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2.已知数列
是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列
也一定是等差数列的是
√
1
2
3
4
D中，bn＝anan＋1＝n(n＋1)＝n2＋n，不是等差数列.
1
2
3
4
3.若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为
A.26
B.29
C.39
D.52
√
1
2
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4
4.已知数列
是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d
＝____.
解析 由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，
所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.
2
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)下列数列中，是等差数列的有
A.4,5,6,7,8，…
B.3,0，－3,0，－6，…
解析 A是以4为首项，以1为公差的等差数列；
B后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；
C是常数列，所以是等差数列；
√
√
√
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2.已知( )，5,9成等差数列，则括号内应填的数字是
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 设括号内的数字为x，则有5－x＝9－5，故x＝1.
√
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3.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N
)，则它的公差d为
A.2
B.3
C.－2
D.－3
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
√
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A.0
B.1
C.2
D.
4
解析 ∵an为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2，
∴a1＋a3＝2a2，
√
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5.(多选)已知an＋1－an＝0，则数列
一定是
A.等差数列
B.常数列
C.递增数列
D.递减数列
解析 因为an＋1－an＝0，
所以由等差数列的定义得：数列
是等差数列.
因为公差为0，所以是常数列.
√
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6.(多选)已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是
A.an＝1－3n
B.an＝2n－3
C.an＝2n
D.an＝3
解析 当n≥2时，
对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3(n－1)]＝－3是等差数列；
对于B，an－an－1＝2n－3－[2(n－1)－3]＝2是等差数列；
对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；
对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列.
√
√
√
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7.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为___.
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(1)如果a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；
解 由定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以a2＝4，d＝4.
(2)如果a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；
解 由定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以d＝3，a1＝0.
(3)如果a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.
解 a2－a1＝d＝2，所以a7＝13.
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解 因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N
)，
说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13.
综合运用
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
必须满足对任何的n∈N
，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，
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解析 ∵b是x,2x的等差中项，
√
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
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14.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是_______________.
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
a＝－b或a＝3b
拓广探究
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15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，b＝2，则a＋c的取值范围是
√
解析 在△ABC中，由A，B，C成等差数列，
可得2B＝A＋C，
由A＋B＋C＝π，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos
B，
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解得－4≤a＋c≤4，
又a＋c>b＝2，
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16§4.2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
学习目标 1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列．
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念，并根据数列的递推关系求数列的通项公式，实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属鸡的居多一些，同样是属鸡的，要么和你同岁，要么和你相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列．
一、等差数列的概念
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
提示 对于①，我们发现1
758－1
682＝76,1
834－1
758＝76,1
910－1
834＝76,1
986－1
910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1
986＋76＝2
062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律．
知识梳理
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列．
例1 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9，…；
②9,6,3,0，－3，…；
③1,3,4,5,6，…；
④7,7,7,7,7，…；
⑤1，，，，，….
解 ①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是．
反思感悟 利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．
跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1
B．4,7,10,13,16
C.，，1，，
D．－3，－2，－1,1,2
答案 ABC
解析 由等差数列的定义得，
A项d＝0，故是等差数列；
B项d＝3，故是等差数列；
C项d＝，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
二、等差数列中的基本计算
例2 (教材130页例2改编)(1)若，a，成等差数列，则a＝________.
答案
解析 由等差数列的定义可知a－＝－a，解得a＝.
(2)若－1，a，b，c,7成等差数列，求a，b，c的值．
解 由等差数列的定义解得
反思感悟 若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量．
跟踪训练2 若m,4,2n成等差数列，2m,5，n也成等差数列，试求m，n的值．
解 由等差数列的定义可知解得
三、等差数列的判定与证明
例3 数列满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N
.证明：数列是等差数列．
证明 ∵nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
∴＝＋1，
∴－＝1，
∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列．
反思感悟 (1)一般地，数列中，如果对于任意的n≥2，都有2an＝an－1＋an＋1，则我们称数列是等差数列，反之也能成立，我们把an称为an－1与an＋1的等差中项．
(2)常见的等差数列变形有：－＝d；－＝d；a－a＝d；lg
an－lg
an－1＝d；－＝d等，其中d为任意的常数．
跟踪训练3 设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.求证：数列为等差数列．
证明 根据题意a1＝及递推关系知an≠0.因为an＝.取倒数得＝＋4，
即－＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．
1．知识清单：
(1)等差数列的概念．
(2)等差数列的基本运算．
(3)利用定义证明等差数列．
2．方法归纳：定义法，列方程组法．
3．常见误区：等差数列的下标与n的取值范围易出错．
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1,4,7,10
B．lg
2，lg
4，lg
8，lg
16
C．25,24,23,22
D．10,8,6,4,2
答案 ABD
解析 A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．
2．已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是( )
A．bn＝a－a
B．bn＝a－
C．bn＝－
D．bn＝anan＋1
答案 A
解析 A中，设数列的公差为d，由bn＝a－a＝＝d，又由bn＋1－bn＝d(an＋2＋an＋1)－d＝d＝2d2，故数列也一定是等差数列．
取an＝n，则
B中，bn＝a－a＝(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，不是等差数列，
C中，bn＝－＝－＝－，不是等差数列，
D中，bn＝anan＋1＝n(n＋1)＝n2＋n，不是等差数列．
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26
B．29
C．39
D．52
答案 C
解析 由等差数列的定义可知：解得x＋y＋z＝39.
4．已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝_______.
答案 2
解析 由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.
课时对点练
1．(多选)下列数列中，是等差数列的有( )
A．4,5,6,7,8，…
B．3,0，－3,0，－6，…
C．0,0,0,0，…
D.，，，，…
答案 ACD
解析 A是以4为首项，以1为公差的等差数列；B后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；C是常数列，所以是等差数列；D是以为首项，以为公差的等差数列．
2．已知( )，5,9成等差数列，则括号内应填的数字是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 设括号内的数字为x，则有5－x＝9－5，故x＝1.
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N
)，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
4．已知在各项均不为零的等差数列中，满足a1＋a3＝a，则a2等于( )
A．0
B．1
C．2
D.
4
答案 C
解析 ∵an为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2，
∴a1＋a3＝2a2，
∴2a2＝a，解得a2＝2(a2＝0舍去)．
5．(多选)已知an＋1－an＝0，则数列一定是( )
A．等差数列
B．常数列
C．递增数列
D．递减数列
答案 AB
解析 因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得：数列是等差数列．
因为公差为0，所以是常数列．
6．(多选)已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是( )
A．an＝1－3n
B．an＝2n－3
C．an＝2n
D．an＝3
答案 ABD
解析 当n≥2时，
对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3(n－1)]＝－3是等差数列；对于B，an－an－1＝2n－3－[2(n－1)－3]＝2是等差数列；对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列．
7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
答案 3
解析 由等差数列的定义可知解得所以d＝3.
8．已知数列满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则a3＝__________.
答案 3
解析 由等差数列的定义可知a－a＝4，故是以4为公差的等差数列，所以a＝a＋4＝5，a＝a＋4＝9，所以a3＝3.
9．已知数列是等差数列．
(1)如果a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；
(2)如果a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；
(3)如果a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.
解 (1)由定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以a2＝4，d＝4.
(2)由定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以d＝3，a1＝0.
(3)a2－a1＝d＝2，所以a7＝13.
10．已知数列中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N
)，试判断数列是否为等差数列，若是，求数列的首项和公差，若不是，请说明理由．
解 因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N
)，说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，所以数列是等差数列．
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13.
11．已知数列是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若“数列为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列为等差数列”成立，必须满足对任何的n∈N
，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列为等差数列”的必要不充分条件．
12．在数列中，＝＋且a2
020＝，a2
022＝，则a2
023等于( )
A.
B.
C.
D．3
答案 C
解析 由＝＋知，数列是等差数列，则其公差d＝＝.
因此＝＋d＝＋＝3，所以a2
023＝.
13．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵b是x,2x的等差中项，
∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
14．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是________．
答案 a＝－b或a＝3b
解析 由等差中项的定义知，x＝，x2＝，
∴＝2，
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，b＝2，则a＋c的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 在△ABC中，由A，B，C成等差数列，
可得2B＝A＋C，
由A＋B＋C＝π，
得3B＝π，B＝，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos
B，
可得4＝a2＋c2－2ac·cos?，
即4＝a2＋c2－ac＝2－3ac，
则2－4＝3ac≤2，
解得－4≤a＋c≤4，
又a＋c>b＝2，
∴a＋c的取值范围是.
16．数列中，a1＝－1，an＋1＝，证明：是等差数列．
证明 ∵an＋1＝，
∴＝＝＝－1，即－＝－1，
又a1＝－1，则＝－，
∴是首项为－，公差为－1的等差数列．
