4．2.2 等差数列的通项公式
学习目标 1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算.2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题．
导语
同学们，前面我们学习过数列的通项公式，我们是根据一个数列的前几项猜测或归纳出的这个数列的通项公式，但对于等差数列，就像是“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花”一样富有规律性和连续性，我们今天就一起来探讨等差数列的通项公式．
一、等差数列的通项公式
问题 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
知识梳理
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一．
二、等差数列中的基本计算
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
解 (1)由题意知
解得
(2)设等差数列的公差为d，由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N
.
反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________.
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________.
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.
答案 (1)10 (2)－ (3)58
解析 (1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×，
故a1＝10.
(2)设首项为a1，公差为d，
则
解得
(3)由题意得，d＝6－2＝4，
把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴a15＝4×15－2＝58.
三、等差数列的实际应用
例2 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N
)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
反思感悟 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
跟踪训练2 一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2
m，以后每秒都比前一秒多滑行4
m，又知离地前一秒滑行了58
m，则这架飞机起飞所用的时间为____秒．
答案 15
解析 飞机起飞前每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，所以n＝15(秒)．
1．知识清单：
(1)等差数列通项公式的推导．
(2)等差数列基本量的运算．
(3)等差数列的实际应用．
2．方法归纳：定义法，累加法，公式法．
3．常见误区：实际问题中项数的确定．
1．在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，则a10等于( )
A．25
B．28
C．31
D．34
答案 B
解析 因为在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，
所以2a1＋10d＝32，a1＋d＝4，
解得a1＝1，d＝3，
所以a10＝a1＋9d＝28.
2．设{an}是公差为正数的等差数列，若a2＝5，a1a3＝16，则数列{an}的通项公式为( )
A．－3n＋1
B．3n－1
C．－2n＋9
D．2n＋1
答案 B
解析 设公差为d，∴d>0，
则
解得a1＝2，d＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
3．2
020是数列2,4,6,8，…的第( )
A．1
008项
B．1
009项
C．1
010项 D．2
020项
答案 C
解析 数列2,4,6,8，…为等差数列，
设等差数列为，由等差数列2,4,6可知其首项为2，公差为2，通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n，令2n＝2
020，n＝1
010.
4．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费________元．
答案 23.2
解析 根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14
km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
课时对点练
1．数列中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是( )
A．3n－1
B．3n＋2
C．3n－2
D．3n＋1
答案 B
解析 因为an＋1－an＝3，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，
则an＝5＋3＝3n＋2，n∈N
.
2．《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
A.斤
B.斤
C.斤
D．3斤
答案 B
解析 依题意，得金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
3．已知在等差数列中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于( )
A．90
B．96
C．98
D．100
答案 D
解析 由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.
4．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d等于( )
A．0
B.
C．1
D．2
答案 AB
解析 根据题意知，a4＋a8＝a?a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.
又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，
解得d＝或d＝0.
5．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2(n＋1)2
B．an＝4(n＋1)
C．an＝8n2
D．an＝4n(n＋1)
答案 A
解析 由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2.
6．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 对an＋1＝取倒数得＝＋3，
∴－＝3，
∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3＝3n－＝，
∴an＝，∴a20＝.
7．在等差数列中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________.
答案 0
解析 由题意知，解得
∴a6＝a1＋5d＝0.
8．体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数．如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有____人．
答案 20
解析 由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，
设末项为第n项，则17＋7(n－1)＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人．
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
解 (1)a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
10．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
解 设数列{an}的公差为d，
则解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，
解得28所以n的取值为29,30，…，38，共10项．
11．数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2
021等于( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 D
解析 设等差数列的公差为d，
又a1＝1，a3＝－，∴＝1，＝3，∴3＝1＋2d，
解得d＝1.∴＝1＋n－1＝n，∴an＝－1.
那么a2
021＝－1＝－.
12．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设an＝－24＋(n－1)d，n∈N
，
由解得13．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2
021这2
021个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则a10等于( )
A．190
B．211
C．232
D．253
答案 A
解析 由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，
则an－1是21的倍数，即an－1＝21，
即an＝21n－20，∴a10＝21×10－20＝190.
14．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
答案 (n∈N
)
解析 由a－a＝4，知数列{a}成等差数列，且a＝1，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3(n∈N
)．
又∵an>0，∴an＝(n∈N
)．
15．意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用，该数列an满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N
)，则该数列的前1
000项中，为奇数的项共有( )
A．333项
B．334项
C．666项
D．667项
答案 D
解析 因为a1＝a2＝1为奇数，a3＝2为偶数，a4＝3，a5＝5为奇数，a6＝8为偶数，依此类推，a9，a12，…，a999为偶数．由999＝3＋3(n－1)＝3n，可得为偶数的项共有333项，那么为奇数的项共有667项．
16．某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元．设an为购买n件这类上衣所花费的金额(元)，求an.
解 设购买n件商品时，每件的单价为bn元，则数列组成以b1＝265为首项，－15为公差的等差数列．
又单价不能低于160元，则265＋(n－1)·(－15)≥160.解得n≤8.所以当n>8时，bn＝160.
综上所述，得bn＝n∈N
.
从而an＝n∈N
.(共47张PPT)
4.2.2 等差数列的通项公式
第4章
§4.2 等差数列
1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本
的运算.
2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题.
学习目标
同学们，前面我们学习过数列的通项公式，我们是根据一个数列的前几项猜测或归纳出的这个数列的通项公式，但对于等差数列，就像是“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花”一样富有规律性和连续性，我们今天就一起来探讨等差数列的通项公式.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差数列的通项公式
二、等差数列中的基本计算
三、等差数列的实际应用
内容索引
一、等差数列的通项公式
问题 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，
故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝
_
.
注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.
知识梳理
a1＋(n－1)d
二、等差数列中的基本计算
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N
.
反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题：
故a1＝10.
10
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝______.
解析 设首项为a1，公差为d，
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝______.
解析 由题意得，d＝6－2＝4，
把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴a15＝4×15－2＝58.
58
三、等差数列的实际应用
例2 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N
)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
反思感悟 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.
跟踪训练2 一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2
m，以后每秒都比前一秒多滑行4
m，又知离地前一秒滑行了58
m，则这架飞机起飞所用的时间为____秒.
解析 飞机起飞前每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，
其中a1＝2，d＝4，an＝58，
代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，
所以n＝15(秒).
15
1.知识清单：
(1)等差数列通项公式的推导.
(2)等差数列基本量的运算.
(3)等差数列的实际应用.
2.方法归纳：定义法，累加法，公式法.
3.常见误区：实际问题中项数的确定.
课堂小结
随堂演练
A.25
B.28
C.31
D.34
所以2a1＋10d＝32，a1＋d＝4，
解得a1＝1，d＝3，
所以a10＝a1＋9d＝28.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.设{an}是公差为正数的等差数列，若a2＝5，a1a3＝16，则数列{an}的通项公式为
A.－3n＋1
B.3n－1
C.－2n＋9
D.2n＋1
解析 设公差为d，∴d>0，
√
解得a1＝2，d＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
1
2
3
4
3.2
020是数列2,4,6,8，…的第
A.1
008项
B.1
009项
C.1
010项
D.2
020项
解析 数列2,4,6,8，…为等差数列，
√
由等差数列2,4,6可知其首项为2，公差为2，
通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n，
令2n＝2
020，n＝1
010.
4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费______元.
解析 根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，
每增加1
km，乘客需要支付1.2元.
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
23.2
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
A.3n－1
B.3n＋2
C.3n－2
D.3n＋1
3为公差的等差数列，
√
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16
2.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是
解析 依题意，得金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，
设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，
√
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3.已知在等差数列
中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于
A.90
B.96
C.98
D.100
解析 由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.
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又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，
√
√
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16
A.an＝2(n＋1)2
B.an＝4(n＋1)
C.an＝8n2
D.an＝4n(n＋1)
√
故an＝2(n＋1)2.
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16
∴a6＝a1＋5d＝0.
0
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8.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有____人.
解析 由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，
其中首项为17，公差为7，末项为150，
设末项为第n项，则17＋7(n－1)＝150，
解得n＝20，则队伍里一共有20人.
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9.在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
解 a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
解 由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
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10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
解 设数列{an}的公差为d，
a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)问112是数列{an}的第几项？
解 an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项.
所以n的取值为29,30，…，38，共10项.
(3)在80到110之间有多少项？
解 由80<3n－5<110，
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综合运用
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解得d＝1.
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12.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是
解析 设an＝－24＋(n－1)d，n∈N
，
√
13.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2
021这2
021个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则a10等于
A.190
B.211
C.232
D.253
√
解析 由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，
即an＝21n－20，∴a10＝21×10－20＝190.
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拓广探究
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15.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用，该数列an满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N
)，则该数列的前1
000项中，为奇数的项共有
A.333项
B.334项
C.666项
D.667项
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解析 因为a1＝a2＝1为奇数，
a3＝2为偶数，a4＝3，a5＝5为奇数，a6＝8为偶数，
依此类推，a9，a12，…，a999为偶数.
由999＝3＋3(n－1)＝3n，可得为偶数的项共有333项，
那么为奇数的项共有667项.
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16.某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(元)，求an.
解 设购买n件商品时，每件的单价为bn元，
则数列组成以b1＝265为首项，－15为公差的等差数列.
又单价不能低于160元，则265＋(n－1)·(－15)≥160.
解得n≤8.
所以当n>8时，bn＝160.
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