第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
学习目标 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．
一、等差数列前n项和的实际应用
问题1 请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．
提示 我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等．
例1 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1
150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解 因购房时付150万元，则欠款1
000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1
000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1
000－50×3)×1%＝58.5，
所以an＝50＋[1
000－50(n－1)]×1%
＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N
)．
所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列．
所以a10＝60－9×＝55.5，
a20＝60－19×＝50.5.
所以S20＝×(a1＋a20)×20
＝10×(60＋50.5)＝1
105.
所以实际共付1
105＋150＝1
255(万元)．
反思感悟 (1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
跟踪训练1 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．
答案
解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加尺．
二、等差数列中前n项和的最值问题
问题2 根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
提示 由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N
，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn.
知识梳理
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
注意点：(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
解 方法一 因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d＝18×25＋d，
解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
由得
又因为n∈N
，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法三 因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值．由a13＋a14＝0，得
a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以S13＝13×25＋×(－2)＝169，
所以Sn的最大值为169.
方法四 设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以二次函数图象的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
所以当n＝13时，Sn取得最大值．
由题意得
解得
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
或来寻找；
②运用二次函数求最值．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
解 (1)设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以
解得
所以an＝3n－12，n∈N
.
(2)因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
所以当n＝3或4时，
前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
三、等差数列中的片段和问题
问题3 等差数列的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示 S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
知识梳理
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
例3 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
解 方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×＝－110.
方法二 ∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法三 由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝，
则d＝(b10－b1)＝＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1，
所以S110＝－110.
方法四 直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.
反思感悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2)
等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
跟踪训练3 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
解 方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用．
(2)等差数列前n项和的最值问题．
(3)等差数列中的片段和问题．
2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12
B．12
C．13
D．12或13
答案 D
解析 ∵an＝26－2n，
∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N
)，
∴数列{an}为等差数列．
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n
＝－2＋.
∵n∈N
，
∴当n＝12或13时，Sn最大．
2．等差数列中，S3＝3，S6＝9，则S12等于( )
A．12
B．18
C．24
D．30
答案 D
解析 根据题意，得在等差数列中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，
又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，
则S9－S6＝9，S12－S9＝12，
则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.
3．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为( )
A.两
B.两
C.两
D.两
答案 C
解析 设10个兄弟由大到小依次分得an两银子，由题意可得
设数列的公差为d，其前n项和为Sn，
则由题意得即
解得所以长兄分得两银子．
4．已知Sn是等差数列的前n项和，若a1＝－2，－＝2，则＝________.
答案 2
018
解析 ∵Sn是等差数列的前n项和，
∴是等差数列，设其公差为d.
∵－＝2，∴2d＝2，d＝1.
∵a1＝－2，∴＝－2.
∴＝－2＋(n－1)×1＝n－3.
∴＝2
018.
课时对点练
1．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于( )
A．10
B．100
C．110
D．120
答案 B
解析 ∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴也是等差数列且首项为＝1.
又－＝2，
∴的公差是1，
∴＝1＋(10－1)×1＝10，
∴S10＝100.
2．若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为( )
A．30
B．70
C．50
D．60
答案 C
解析 ∵等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，
∴S2m＝50.
3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn( )
A．有最大值且是整数
B．有最小值且是整数
C．有最大值且是分数
D．无最大值和最小值
答案 B
解析 易知数列{2n－19}的通项公式为an＝2n－19，
∴a1＝－17，d＝2.
∴该数列是递增的等差数列．
令an＝0，得n＝.
∴a1
∴该数列前n项和有最小值，为S9＝9a1＋d＝－81.
4．已知在等差数列中，前n项和为Sn，a1>0，a1
010＋a1
011＝0，则当Sn取最大值时，n等于( )
A．1
010
B．1
011
C．2
020
D．2
021
答案 A
解析 在等差数列中，a1>0，a1
010＋a1
011＝0，故公差d<0，所以a1
010>0，a1
011<0，所以当Sn取最大值时，n＝1
010.
5．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为( )
A．45
B．36
C．28
D．21
答案 D
解析 由题意分析可得a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，则“三角形数”的通项公式an＝，a6＝＝21.
6．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
答案 ABD
解析 ∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0.
∴d<0.
∴S6与S7均为Sn的最大值．
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S97．已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.
答案 －13
解析 由性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.
8．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
答案 5
解析 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，
∴S9－S6＝5.
9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.
∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
10．已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)方法一 a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，
则11－2n≥0，
解得n≤.
∵n∈N
，
∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
11．已知等差数列的前n项和为Sn，若＝，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
设S3＝k，S6＝4k，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，
所以＝.
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，－＝－8，则Sn取最大值时的n为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
答案 B
解析 设数列{an}是公差为d的等差数列，
则是公差为的等差数列．
因为－＝－8，
故可得8×＝－8，
解得d＝－2；
则a1＝a2－d＝13，
则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
故当n＝7时，Sn取得最大值．
13．等差数列的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于( )
A．6
B．7
C．6或7
D．13
答案 C
解析 因为S4＝S9，所以4a1＋d＝9a1＋d，化简得a1＋6d＝0，
所以a1＝－6d，
因为a1>0，所以d<0，
所以Sn＝na1＋d＝－6dn＋d＝n2－dn，
它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n＝，
因为n∈N
，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值．
14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
答案 10
解析 由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
15．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 C
解析 设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12)，
则S＝1＋2＋…＋(n－2)＋2[1＋2＋…＋(12－n)]
＝＋2×
＝＋157＝2－＋157，
开口向上，对称轴为n＝≈9，
故S在n＝9时取最小值Smin＝＝40.
16．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d.
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即解得
∴＝a1＋d＝－2＋，
∴－＝，
∴数列是等差数列，且其首项为－2，公差为.
∴Tn＝n2－n.(共70张PPT)
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
第4章
4.2.3 等差数列的前n项和
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
3.理解并应用等差数列前n项和的性质.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、等差数列前n项和的实际应用
二、等差数列中前n项和的最值问题
三、等差数列中的片段和问题
内容索引
一、等差数列前n项和的实际应用
问题1 请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.
提示 我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；
工地上的一堆钢管等.
例1 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1
150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解 因购房时付150万元，则欠款1
000万元，依题意知分20次付款，
则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1
000×1%＝60，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1
000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1
000－50×3)×1%＝58.5，
所以an＝50＋[1
000－50(n－1)]×1%
＝10×(60＋50.5)＝1
105.
所以实际共付1
105＋150＝1
255(万元).
反思感悟 (1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.
跟踪训练1 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月
(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织_____尺布(不作近似计算).
解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，
其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，
二、等差数列中前n项和的最值问题
问题2 根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.
该函数的定义域是n∈N
，
公差的符号决定了该二次函数的开口方向，
通项简记为Sn＝An2＋Bn.
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最
值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________
确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最
值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________
确定.
知识梳理
大
小
(2)Sn＝
，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最
值；当d<0时，Sn有最
值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
注意点：(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
小
大
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
解 方法一 因为S8＝S18，a1＝25，
解得d＝－2.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
又因为n∈N
，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法三 因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值.
由a13＋a14＝0，得
a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以Sn的最大值为169.
方法四 设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以当n＝13时，Sn取得最大值.
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
②运用二次函数求最值.
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以an＝3n－12，n∈N
.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
解 因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以当n＝3或4时，
前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
三、等差数列中的片段和问题
问题3 等差数列
的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示 S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，
同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，
S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列
也是等差数列，且公差
为
.
3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
知识梳理
例3 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
解 方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
方法二 ∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，
解得d＝－22，
所以S110＝－110.
方法四 直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，
可知S110＝－110.
反思感悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.
(2)
等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
跟踪训练3 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
解 方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用.
(2)等差数列前n项和的最值问题.
(3)等差数列中的片段和问题.
2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法.
3.常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.
课堂小结
随堂演练
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
1
2
3
4
√
解析 ∵an＝26－2n，
∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N
)，
∴数列{an}为等差数列.
又a1＝24，d＝－2，
1
2
3
4
∵n∈N
，
∴当n＝12或13时，Sn最大.
1
2
3
4
2.等差数列
中，S3＝3，S6＝9，则S12等于
A.12
B.18
C.24
D.30
S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，
又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，
则S9－S6＝9，S12－S9＝12，
则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.
√
1
2
3
4
3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为
√
1
2
3
4
由题意可得
1
2
3
4
2
018
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若
＝2，则S10等于
A.10
B.100
C.110
D.120
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 ∵{an}是等差数列，a1＝1，
∴S10＝100.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为
A.30
B.70
C.50
D.60
解析 ∵等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，
∴S2m＝50.
√
3.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn
A.有最大值且是整数
B.有最小值且是整数
C.有最大值且是分数
D.无最大值和最小值
解析 易知数列{2n－19}的通项公式为an＝2n－19，
∴a1＝－17，d＝2.
∴该数列是递增的等差数列.
√
∴a11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知在等差数列
中，前n项和为Sn，a1>0，a1
010＋a1
011＝0，则当Sn
取最大值时，n等于
A.1
010
B.1
011
C.2
020
D.2
021
故公差d<0，所以a1
010>0，a1
011<0，
所以当Sn取最大值时，n＝1
010.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…).若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为
A.45
B.36
C.28
D.21
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由题意分析可得a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是
A.d<0
B.a7＝0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 ∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0.
∴d<0.
∴S6与S7均为Sn的最大值.
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S91
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝______.
解析 由性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.
－13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝______.
解析 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，
∴S9－S6＝5.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
而需要完成的工作量为24×20＝480.
∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 方法一 a1＝9，d＝－2，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列.
令an≥0，
则11－2n≥0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵n∈N
，
∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
解析 由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，
＝－8，则Sn取最大值时的n为
A.6
B.7
C.8
D.9
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 设数列{an}是公差为d的等差数列，
解得d＝－2；
则a1＝a2－d＝13，
则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
故当n＝7时，Sn取得最大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.等差数列
的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于
A.6
B.7
C.6或7
D.13
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
化简得a1＋6d＝0，
所以a1＝－6d，
因为a1>0，所以d<0，
因为n∈N
，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为______.
解析 由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，
最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.
10
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层
A.7
B.8
C.9
D.10
√
解析 设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12)，
则S＝1＋2＋…＋(n－2)＋2[1＋2＋…＋(12－n)]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，
求数列
的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
164.2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
导语
同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和．
一、等差数列前n项和公式的推导
问题1 请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
花，
花．
深浅，
芬葩．
凝为雪，
错为霞．
莺和蝶到，
苑占宫遮．
已迷金谷路，
频驻玉人车．
芳草欲陵芳树，
东家半落西家．
愿得春风相伴去，
一攀一折向天涯．
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
提示 诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案．
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？
提示 方法一 对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究．通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝，可见，结果与项数的奇偶无关．
方法二 (如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，
即S＝1＋2＋3＋…＋n，
S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，
避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和．
问题3 对于一般的等差数列，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
提示 倒序相加法
?
两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
知识梳理 等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数．
二、等差数列中与前n项和有关的基本运算
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解 (1)
解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
反思感悟 等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
跟踪训练1 在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)S17＝＝＝＝340.
(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
所以d＝－，
所以n＝15，d＝－.
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题4 等差数列前n项和Sn＝na1＋d是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？
提示 Sn＝n2＋n.
例2 若数列的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由．
解 当n＝1时，S1＝a1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以数列是等差数列．
延伸探究 若数列的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
解 ∵Sn＝2n2－3n－1，①
当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝22－3－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[22－3－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，
故an＝
故数列不是等差数列，数列是从第二项起以4为公差的等差数列．
反思感悟 由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
解 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列．
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和公式的推导过程．
(2)等差数列前n项和有关的基本运算．
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．
2．方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N
，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．－n2＋
B．－n2－
C.n2＋
D.n2－
答案 A
解析 ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
∴Sn＝＝－n2＋.
2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18
B．27
C．36
D．45
答案 C
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为( )
A．1
B.
C．2
D．3
答案 C
解析 因为S3＝＝6，而a3＝4，
所以a1＝0，所以d＝＝2.
4．数列的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝________.
答案 an＝－2n＋2
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2且n∈N
时，an＝Sn－Sn－1＝－[－2＋]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式．故an＝－2n＋2.
课时对点练
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )
A．49
B．42
C．35
D．28
答案 B
解析 2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝7，am＋am－1＝73(m≥3)，Sm＝2
020，则m的值为( )
A．100
B．101
C．200
D．202
答案 B
解析 a1＋am＋a2＋am－1＝80，由等差数列的性质可知，a1＋am＝a2＋am－1，
故a1＋am＝40.
Sm＝＝20m＝2
020，
故m＝101.
3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于( )
A．18
B．20
C．22
D．24
答案 B
解析 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
4．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于( )
A．160
B．180
C．200
D．220
答案 B
解析 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.
5．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 B
解析 由S13＝＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.
6．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．－1
B．3
C．5
D．7
答案 AB
解析 由题意知a1＋(n－1)×2＝11，①
Sn＝na1＋×2＝35，②
由①②解得a1＝3或a1＝－1.
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________.
答案 5
解析 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
8．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________.
答案
解析 设数列{an}的公差为d，
由题意得10a1＋×10×9d＝4，
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
所以10a1＝5d，
所以＝.
9．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，
即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．
故n＝11.
10．设等差数列的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.
(1)求的通项公式；
(2)求等差数列的前n项和Sn.
解 (1)设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，
得5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，
∴a1＝－1，d＝3.
∴的通项公式为an＝3n－4.
(2)由(1)知an＝3n－4，
得的前n项和为
Sn＝＝＝，
则Sn＝n2－n.
11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
12．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 B
解析 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，
∴a1＋an＝70.又Sn＝＝·70＝210，
∴n＝6.
13．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N
)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝
＝.
14．把形如M＝mn(m，n∈N
)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________．
答案 35
解析 设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
则由解得
15．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是( )
答案 ABC
解析 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N
)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．
16．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
解 (1)∵S4＝28，
∴＝28，a1＋a4＝14，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴a2＝5，a3＝9，
∴解得
∴an＝4n－3，n∈N
.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．(共54张PPT)
第1课时 等差数列的前n项和
第4章
4.2.3 等差数列的前n项和
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中
三个求另外两个.
学习目标
同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差数列前n项和公式的推导
二、等差数列中与前n项和有关的基本运算
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
内容索引
一、等差数列前n项和公式的推导
问题1 请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
花，
花.
深浅，
芬葩.
凝为雪，
错为霞.
莺和蝶到，
苑占宫遮.
已迷金谷路，
频驻玉人车.
芳草欲陵芳树，
东家半落西家.
愿得春风相伴去，
一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
提示 诗中文字有对称性；
S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，
根据对称性，可先取其一半来研究.
其数的个数较少，大家很容易求出答案.
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？
提示 方法一 对项数分奇数、偶数讨论，
认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，
转化成项数为偶数来研究.
通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，
方法二 (如图)在原式的基础上，
再加一遍1＋2＋3＋…＋n，
即S＝1＋2＋3＋…＋n，
S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，
避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，
其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.
问题3 对于一般的等差数列
，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，
公差为d.
提示 倒序相加法
上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.
等差数列的前n项和公式
知识梳理
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝_________
Sn＝_____________
注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
二、等差数列中与前n项和有关的基本运算
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
反思感悟 等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝
结合使用.
跟踪训练1 在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
解 设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
(2)a3＋a15＝40，求S17；
解得n＝15.
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题4 等差数列前n项和Sn＝na1＋
是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？
例2 若数列
的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列
的通项公式，并判断数列
是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
解 当n＝1时，S1＝a1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
延伸探究 若数列
的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列
的通项公式，并判断数列
是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
解 ∵Sn＝2n2－3n－1，
①
当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2，
①－②得an＝Sn－Sn－1
经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，
反思感悟 由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
解 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和公式的推导过程.
(2)等差数列前n项和有关的基本运算.
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
2.方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法.
3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
课堂小结
随堂演练
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N
，则{an}的前n项和Sn
等于
解析 ∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于
A.18
B.27
C.36
D.45
√
1
2
3
4
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为
√
4.数列
的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝
_________________.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2且n∈N
时，
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于
A.49
B.42
C.35
D.28
√
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝7，am＋am－1＝73(m≥3)，Sm＝2
020，则m的值为
A.100
B.101
C.200
D.202
解析 a1＋am＋a2＋am－1＝80，
由等差数列的性质可知，a1＋am＝a2＋am－1，
故a1＋am＝40.
√
故m＝101.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于
A.18
B.20
C.22
D.24
解析 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于
A.160
B.180
C.200
D.220
解析 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，
√
5.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为
A.7
B.8
C.9
D.10
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于
A.－1
B.3
C.5
D.7
解析 由题意知a1＋(n－1)×2＝11，
①
√
由①②解得a1＝3或a1＝－1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝_____.
解析 因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d
＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，
所以k＝5.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则
＝____.
解析 设数列{an}的公差为d，
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
所以10a1＝5d，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若Sn＝242，求n.
即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去).
故n＝11.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 设公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，
∴a1＝－1，d＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 由(1)知an＝3n－4，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为
A.765
B.665
C.763
D.663
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为
A.5
B.6
C.7
D.8
解析 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，∴a1＋an＝70.
√
∴n＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N
)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.把形如M＝mn(m，n∈N
)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是_____.
解析 设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
35
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N
)，
则其对应函数为y＝ax2＋bx.
当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；
当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；
选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 ∵S4＝28，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴a2＝5，a3＝9，
∴an＝4n－3，n∈N
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若bn＝
(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值.
解 由(1)，知Sn＝2n2－n，
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16