§4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值．
导语
同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列．
一、等比数列的概念
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.
②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
，，，，，…；
③－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…；
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于①我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②＝，…；对于③＝－，…；也有相同的取值规律．
知识梳理
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
注意点：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N
且n≥2)或＝q(n∈N
)；(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比．
(1)1，，，，，…；
(2)10,10,10,10,10，…；
(3)，2，3，4，…；
(4)1,0,1,0,1,0，…；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解 (1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4.
反思感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
跟踪训练1 (多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有( )
A．数列1,2,6,18，…
B．数列中，已知＝2，＝2
C．常数列a，a，…，a，…
D．数列中，＝q(q≠0)，其中n∈N
答案 ABC
解析 A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；
B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
C，当a＝0时，不是等比数列；
D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列．
二、等比数列中的基本计算
例2 (教材144页例2改编)求出下列等比数列中的未知项：
(1)4，a,9；
(2)1，b，c，－8.
解 (1)根据题意，得＝，
所以a2＝36，所以a＝6或a＝－6.
(2)根据题意，得解得所以b＝－2，c＝4.
反思感悟 一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列．
特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则我们把G称为a，b的等比中项，即G2＝ab，若G2＝ab，则三个数a，G，b不一定成等比数列，要考虑0的情况，但要注意的是a，b的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数．
跟踪训练2 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为( )
A．±
B.
C．1
D．±1
答案 D
解析 因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，
所以a＝＝2，b＝±＝±2，
所以的值为±1.
三、等比数列的判定与证明
例3 (教材144页例3改编)(1)已知数列是等比数列，则a＝a1·a3是否成立？
(2)若在数列中，有a＝a1·a3，那么数列一定是等比数列吗？
解 (1)因为数列是等比数列，所以＝，即a＝a1·a3成立．
(2)不一定，比如数列0,0,0，…或1,2,4,5,6,7…，虽然满足a＝a1·a3，但是它们不是等比数列．
反思感悟 若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有a＝an·an＋2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性．
跟踪训练3 判断下列数列是否为等比数列：
(1)an＝2n；(2)an＝n2；(3)an＝3×2n；(4)an＝2n＋1.
解 由等比数列的定义可知，＝q(n≥2，n∈N
)，若q是一个与n无关的常数，则数列是等比数列．
(1)＝＝2，是等比数列；
(2)＝，不是常数，故不是等比数列；
(3)＝＝2，是等比数列；
(4)＝，不是常数，故不是等比数列．
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)根据等比数列的定义进行简单的运算．
(3)等比数列的判定与证明．
2．方法归纳：定义法，方程(组)思想．
3．常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2＝ab；但G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列．
1．下列数列是等比数列的是(
)
A．10,100,1
000,1
000
0
B．4,6,9,12
C．－1,0,1,2
D．lg
2，lg
3，lg
6，lg
18
答案 A
解析 A满足等比数列的定义，其余均不满足．
2．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6
B．－6
C．－12
D．12
答案 AB
解析 ∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6，故选AB.
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为1
D．22,42,62,82，…成等比数列
答案 AC
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错误．
4．若数列an＝3n－1＋a－2是等比数列，则a＝__________.
答案 2
解析 由题意a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以有(a＋1)2＝(a－1)(a＋7)，解得a＝2.
课时对点练
1．下列数列是等比数列的是( )
A．1,11,111,1111
B．1，－2,4，－8
C．1,5,25，－125
D．22,32,42,52
答案 B
解析 由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不是．
2．若2，a,6成等比数列，则a等于( )
A．1
B．±2
C．2
D．－2
答案 B
解析 由等比中项的性质可得，
a2＝2×6＝12，
所以a＝±2.
3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16
B．16或－16
C．32
D．32或－32
答案 C
解析 根据等比数列的定义即解得a3＝32.
4．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108
B．54
C．36
D．18
答案 B
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
5．已知数列和满足bn＝，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 若数列为等比数列，公比为q，则＝＝|q|，
∴为等比数列，充分性成立，
若为等比数列，公比q＝2，
若数列为：2,4,8，－16，－32，…，满足＝2，但不是等比数列，
必要性不成立，
∴“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件．
6．(多选)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．－4
B．4
C．－
D.
答案 AB
解析 由题意a2＝，a3＝，a4＝1，a5＝2，a6＝4，a7＝8，a8＝16，设a4与a8的等比中项为x，则有x2＝16，所以x＝±4.
7．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
答案 1或－2
解析 由＝q，所以a3＝a2q＝2q，由＝q，所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.
8．在△ABC中，若sin
A，sin
B，sin
C成公比为的等比数列，则cos
B＝________.
答案
解析 由sin
A，sin
B，sin
C成公比为的等比数列，即sin
B＝sin
A，sin
C＝2sin
A，
由正弦定理可知b＝a，c＝2a，
所以cos
B＝＝＝.
9．已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列．
(1)an＝3n；(2)an＝5×32－n；(3)an＝n－1；(4)an＝3.
解 由等比数列的定义可知，＝q(n≥2，n∈N
)，若q是一个与n无关的常数，则数列是等比数列．
(1)＝，不是常数，故不是等比数列；
(2)＝＝，是等比数列；
(3)＝＝，不是常数，故不是等比数列；
(4)＝＝1，是等比数列．
10．已知在等比数列中，a2＝1，求a1＋a3的取值范围．
解 设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可知a1＝，a3＝q，
所以a1＋a3＝q＋，
当q>0时，a1＋a3＝q＋≥2＝2，当且仅当q＝1时，等号成立；
当q<0时，a1＋a3＝－≤－2＝－2，当且仅当q＝－1时，等号成立；
综上所述，a1＋a3的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
则由b2＝ac，可得＝，所以a，b，c成等比数列，
反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，
所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件．
12．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则等于( )
A．18
B．20
C．22
D．24
答案 D
解析 设这根木棰总长为1,
每天截取其一半，剩下的部分记为an，
则{an}构成a1＝，公比q＝的等比数列，
所以a1＝，a2＝，…，a5＝，
所以＝＝24.
13．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列的前三项，则数列的第四项是( )
A．8
B.
C．8或2
D．8或
答案 D
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为.
14．在等比数列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝________.
答案 －4
解析 由题意，得2＝a，解得a＝－4或a＝－1，
当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件．
当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件．
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及的值．
解 (1)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得cos
A＝＝＝
，∴∠A＝60°.
(2)在△ABC中，由正弦定理得：sin
B＝，
∵b2＝ac，∠A＝60°，
∴＝＝sin
A＝.(共51张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
第4章
§4.3 等比数列
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行
简单的求值.
学习目标
同学们，看这一张A4纸，大家也可以随便找一张纸，看看能折叠多少次，大约折叠上7次就折不动了吧，我们可以做一个假设，假如十张纸的厚度为1毫米，如果你能折叠50次的话，你就可以沿着它到达太阳了，因为每折一次，它的厚度就会变为原来的两倍，其厚度的变化为0.1毫米，0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，由其厚度产生的一组数，就是我们今天要研究的等比数列.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列的概念
二、等比数列中的基本计算
三、等比数列的判定与证明
内容索引
一、等比数列的概念
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.
②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第
项起，每一项与它的
一项的
都等于
常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的
，通常用字母q表示(q≠0).
注意点：(1)定义的符号表示：
＝q(n∈N
且n≥2)或
＝q(n∈N
)；
(2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
知识梳理
二
前
比
同一个
公比
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
解 不是等比数列；
(2)10,10,10,10,10，…；
解 是等比数列，公比为1；
c
(4)1,0,1,0,1,0，…；
解 不是等比数列；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解 是等比数列，公比为－4.
反思感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
跟踪训练1 (多选)以下数列中，不能判定数列是等比数列的有
A.数列1,2,6,18，…
√
解析 A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；
B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
C，当a＝0时，不是等比数列；
D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.
√
√
二、等比数列中的基本计算
例2 (教材144页例2改编)求出下列等比数列中的未知项：
(1)4，a,9；
所以a2＝36，所以a＝6或a＝－6.
(2)1，b，c，－8.
所以b＝－2，c＝4.
反思感悟 一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列.
特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则我们把G称为a，b的等比中项，即G2＝ab，若G2＝ab，则三个数a，G，b不一定成等比数列，要考虑0的情况，但要注意的是a，b的符号必须相同且非零，其等比中项有两个，且互为相反数.
解析 因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，
√
三、等比数列的判定与证明
解 不一定，比如数列0,0,0，…或1,2,4,5,6,7…，
反思感悟 若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有
＝an·an＋2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性.
跟踪训练3 判断下列数列是否为等比数列：
(1)an＝2n；
(2)an＝n2；
(3)an＝3×2n；
(4)an＝2n＋1.
1.知识清单：
(1)等比数列的概念.
(2)根据等比数列的定义进行简单的运算.
(3)等比数列的判定与证明.
2.方法归纳：定义法，方程(组)思想.
3.常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2＝ab；但G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列.
课堂小结
随堂演练
1.下列数列是等比数列的是
A.10,100,1
000,1
000
0
B.4,6,9,12
C.－1,0,1,2
D.lg
2，lg
3，lg
6，lg
18
解析 A满足等比数列的定义，其余均不满足.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于
A.6
B.－6
C.－12
D.12
∴ab＝±6，故选AB.
√
√
3.(多选)下列说法正确的有
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22,42,62,82，…成等比数列
解析 A显然正确；
等比数列的公比不能为0，故B错误；
C显然正确；
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
4.若数列an＝3n－1＋a－2是等比数列，则a＝____.
解析 由题意a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，
所以有(a＋1)2＝(a－1)(a＋7)，解得a＝2.
2
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.下列数列是等比数列的是
A.1,11,111,1111
B.1，－2,4，－8
C.1,5,25，－125
D.22,32,42,52
解析 由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不是.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.若2，a,6成等比数列，则a等于
解析 由等比中项的性质可得，
a2＝2×6＝12，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
解得a3＝32.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为
A.108
B.54
C.36
D.18
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
必要性不成立，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)在等比数列{an}中，a1＝
，q＝2，则a4与a8的等比中项为
设a4与a8的等比中项为x，则有x2＝16，所以x＝±4.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
1或－2
所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，
即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.在△ABC中，若sin
A，sin
B，sin
C成公比为
的等比数列，则cos
B
＝____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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(1)an＝3n；
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(2)an＝5×32－n；
(3)an＝n－1；
(4)an＝3.
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当且仅当q＝－1时，等号成立；
综上所述，a1＋a3的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
综合运用
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
√
反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，
所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件.
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12.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则
等于
A.18
B.20
C.22
D.24
√
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解析 设这根木棰总长为1,
每天截取其一半，剩下的部分记为an，
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1其中成等比数列的三个整数为1,2,4，
若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，
若数列前3项为4,2,1，
√
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14.在等比数列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝______.
解得a＝－4或a＝－1，
当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件.
当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件.
－4
拓广探究
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15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
275或8
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解析 设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，
①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，
②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.
由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，
a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
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16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及
的值.
解 (1)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴∠A＝60°.
∵b2＝ac，∠A＝60°，
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