4.3.2 等比数列的通项公式
第1课时 等比数列的通项公式
学习目标 1.能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式.2.掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算．
导语
同学们，前面我们学习了等比数列的概念，和等差数列一样，我们也希望有一个式子来表示我们昨天提到的折纸每一次，其厚度是多少，或者当其厚度为多少时，我们折了多少次，这就是我们今天要研究的等比数列的通项公式．
一、等比数列的通项公式
问题 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N
且n≥2)．
方法一 an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
知识梳理
等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N
)．
例1 写出下列等比数列的一个通项公式：
(1)－1,1，－1,1，－1…；(2)1，，，…；(3)5,10,20,40….
解 (1)数列的首项为－1，公比为－1，所以an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n；
(2)数列的首项为1，公比为，所以an＝n－1；
(3)数列的首项为5，公比为2，所以an＝5×2n－1.
反思感悟 写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，若公比是负数或分数时，需加括号．
跟踪训练1 已知等比数列的通项公式是an＝7×21－n，试写出它的首项和公比．
解 当n＝1时，a1＝7×21－1＝7，当n＝2时，a2＝7×21－2＝，所以q＝＝，所以该等比数列的首项和公比分别是7，.
二、等比数列中的基本计算
例2 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.
(3)
因为
由，得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练2 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
解 (1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，
所以a5＝405.
(2)因为
所以
由得q3＝4，
从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
三、等比数列通项公式的简单应用
例3 已知数列为等比数列，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1·a2·a3·…·an的最大值为( )
A．5
B．512
C．1
024
D．2
048
答案 C
解析 a2·a3＝a1q·a1q2＝2a1，
∴a4＝2.
a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2×，
∴q＝，a1＝＝16.
故an＝16×n－1＝24×21－n＝25－n，
所以a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝<1，
所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16×8×4×2＝1
024.
反思感悟 会用基本量，即首项和公比来解决和等比数列有关的问题，仔细审题，抓住题目中的关键信息或限制条件．
跟踪训练3 在首项为1，公比不为1的等比数列中，am＝a1a2…a7，则m的值为( )
A．20
B．22
C．24
D．28
答案 B
解析 a1＝1，am＝qm－1＝q1＋2＋…＋6，q≠1，
m－1＝1＋2＋…＋6＝21，故m＝22.
1．知识清单：
(1)等比数列通项公式的推导．
(2)等比数列中的基本运算．
(3)等比数列通项公式的简单应用．
2．方法归纳：定义法，通项公式法．
3．常见误区：当公比用分数、负数表示时，易忽略需对公比加括号．
1．已知等比数列的通项公式为an＝3n＋2(n∈N
)，则该数列的公比是( )
A.
B．9
C.
D．3
答案 D
解析 设公比为q，等比数列的通项公式为an＝3n＋2(n∈N
)，
则a1＝33＝27，a2＝34＝81，∴＝q＝3.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．8
C．6
D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
3．在数列中，对任意
n∈N
，都有
an＋1－2an＝0，则
等于(
)
A.
B.
C.
D．1
答案 A
解析 由an＋1－2an＝0得＝2，即数列是以2为公比的等比数列，
∴＝＝＝.
4．设等比数列满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10，若Tn为数列的前n项积，则Tn的最大值为________．
答案 1
024
解析 设等比数列的公比为q，
由a1＋a3＝20，a2＋a4＝10可得q＝＝，
则a1＋a3＝a1＋a1q2＝a1＝20，
所以a1＝16，
因此an＝16×＝，
当n≥5时，an＝≤1，
所以为使数列的前n项积Tn最大，只需n＝4或n＝5，
此时Tn的最大值为T4＝T5＝····＝21＋2＋3＋4＝1
024.
课时对点练
1．数列1，－，，－，，…的一个通项公式为( )
A.n－1
B.n
C.nn－1
D.n＋1n－1
答案 D
解析 根据数列可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列，
所以该数列的通项公式为1×n－1＝2×n－1×n－1＝n＋1×n－1.
2．已知为等比数列，若＝4，则公比q的值为( )
A．±2
B．2
C．±
D.
答案 C
解析 设等比数列的公比为q，
∴＝＝＝4，则q2＝，解得q＝±.
3．已知等比数列满足a1＝－1，a4＝8，则a7等于( )
A．32
B．－32
C．64
D．－64
答案 D
解析 根据题意，设等比数列的公比为q，
若a1＝－1，a4＝8，则有q3＝＝－8，解得q＝－2，
故a7＝a1·q6＝－64.
4．数列是各项为负数的等比数列，若2a1＋a2>a3，则公比q的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(2，＋∞)
答案 D
解析 因为数列是各项为负数的等比数列，则首项a1<0，公比q>0，
∵2a1＋a2>a3，即2a1＋a1q>a1q2，
两边同时除以a1，得q2－q－2>0，即>0，解得q>2或q<－1(舍去)．
故公比q的取值范围是q>2.
5．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an.若am≤128，则正整数m的最大值是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 B
解析 由a1＝1，an＋1＝2an，可得＝2，
所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1，
若am≤128，则2m－1≤128，解得m－1≤7，
所以m≤8，
正整数m的最大值是8.
6．(多选)已知正项等比数列满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则( )
A．q＝2
B．an＝2n
C．18是数列中的项
D．an＋an＋1
答案 ABD
解析 由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；
an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；
an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，选项D正确．
7．数列中，a1＝，am＋n＝aman，则a6＝____________.
答案
解析 由于?m，n∈N
，有am＋n＝aman，且a1＝，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝×n－1＝n，
故a6＝6＝.
8．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4×n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，所以an＝4×n－1.
9．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
解 (1)∵＝＝q4＝4，
∴q2＝2，又q>0，∴q＝，
∴an＝a3·qn－3＝4·()n－3＝(n∈N
)．
(2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，
an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝，n∈N
.
11．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A．31.5
B．160
C．79.5
D．159.5
答案 C
解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1＝5·2n－1，
∴1＋2a6＝5×25，∴a6＝＝79.5.
12．已知数列是等比数列，则方程组的解的情况为( )
A．唯一解
B．无解
C．无穷多组解
D．不能确定
答案 C
解析 由题意，数列是等比数列，可得＝＝，
所以直线a1x＋a2y＝a3与a4x＋a5y＝a6重合，
所以方程组的解的个数为无数组解．
13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N
)，则a53的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
14．一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝_____________.
答案
解析 由题意得：an＝an＋1＋an＋2，
所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，
解得q＝或q＝(舍去)．
15．已知各项均为正数的等比数列满足a10＋a9＝6a8，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A．4
B.
C.
D．9
答案 C
解析 因为各项均为正数的等比数列满足a10＋a9＝6a8，
可得a8q2＋a8q＝6a8，即q2＋q－6＝0，
解得q＝2或q＝－3(舍去)．
∵＝4a1，
∴2m＋n－2＝16，
∴m＋n＝6，
∴＋＝(m＋n)＝≥＝.
当且仅当＝，即m＝2，n＝4时，等号成立．
故＋的最小值等于.
16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列的公差为d，前n项和为Sn，等比数列的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列，的通项公式．
解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，
联立解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d，
联立解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.(共55张PPT)
第1课时 等比数列的通项公式
第4章
4.3.2 等比数列的通项公式
1.能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式.
2.掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算.
学习目标
同学们，前面我们学习了等比数列的概念，和等差数列一样，我们也希望有一个式子来表示我们昨天提到的折纸每一次，其厚度是多少，或者当其厚度为多少时，我们折了多少次，这就是我们今天要研究的等比数列的通项公式.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列的通项公式
二、等比数列中的基本计算
三、等比数列通项公式的简单应用
内容索引
一、等比数列的通项公式
问题 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，
当n＝1时，上式也成立.
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立.
等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝
(n∈N
).
知识梳理
a1qn－1
例1 写出下列等比数列的一个通项公式：
(1)－1,1，－1,1，－1…；
解 数列的首项为－1，公比为－1，
所以an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n；
(3)5,10,20,40….
解 数列的首项为5，公比为2，所以an＝5×2n－1.
反思感悟 写一个等比数列的通项公式，关键是找出该等比数列的首项和公比，这也是所有基本运算中的基本方法，需要注意的是，若公比是负数或分数时，需加括号.
跟踪训练1 已知等比数列的通项公式是an＝7×21－n，试写出它的首项和公比.
解 当n＝1时，a1＝7×21－1＝7，
二、等比数列中的基本计算
例2 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
解 因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
又an＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
跟踪训练2 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
解 因为a5＝a1q4，而a1＝5，
所以a5＝405.
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
三、等比数列通项公式的简单应用
例3 已知数列
为等比数列，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为
，则a1·a2·a3·…·an的最大值为
A.5
B.512
C.1
024
D.2
048
√
解析 a2·a3＝a1q·a1q2＝2a1，
∴a4＝2.
所以a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，
所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16×8×4×2＝1
024.
反思感悟 会用基本量，即首项和公比来解决和等比数列有关的问题，仔细审题，抓住题目中的关键信息或限制条件.
跟踪训练3 在首项为1，公比不为1的等比数列
中，am＝a1a2…a7，则
m的值为
A.20
B.22
C.24
D.28
解析 a1＝1，am＝qm－1＝q1＋2＋…＋6，q≠1，
m－1＝1＋2＋…＋6＝21，故m＝22.
√
1.知识清单：
(1)等比数列通项公式的推导.
(2)等比数列中的基本运算.
(3)等比数列通项公式的简单应用.
2.方法归纳：定义法，通项公式法.
3.常见误区：当公比用分数、负数表示时，易忽略需对公比加括号.
课堂小结
随堂演练
1.已知等比数列
的通项公式为an＝3n＋2(n∈N
)，则该数列的公比是
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
C.6
D.32
解析 由等比数列的通项公式，
得128＝4×2n－1,2n－1＝32，
所以n＝6.
√
1
2
3
4
√
1
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1
024
所以a1＝16，
1
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课时对点练
基础巩固
1
2
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解析 根据数列可知，该数列是一个以1为首项，
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故a7＝a1·q6＝－64.
√
4.数列
是各项为负数的等比数列，若2a1＋a2>a3，则公比q的取值范围是
A.(－1,2)
B.(0,2)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.(2，＋∞)
则首项a1<0，公比q>0，
∵2a1＋a2>a3，即2a1＋a1q>a1q2，
两边同时除以a1，得q2－q－2>0，
√
故公比q的取值范围是q>2.
1
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4
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9
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15
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A.7
B.8
C.9
D.10
所以an＝a1qn－1＝2n－1，
若am≤128，则2m－1≤128，解得m－1≤7，
所以m≤8，
正整数m的最大值是8.
√
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6.(多选)已知正项等比数列
满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为
q，则
A.q＝2
B.an＝2n
C.18是数列中的项
D.an＋an＋1解析 由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；
an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；
an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，选项D正确.
√
√
√
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8.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝
_________.
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
1
2
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4
5
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9.在等比数列{an}中.
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
1
2
3
4
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6
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16
(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
解 ∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
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10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，
－(2an＋1－1)an－2an＋1
＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式.
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).
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综合运用
11.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于
A.31.5
B.160
C.79.5
D.159.5
解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1＝5·2n－1，
√
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12.已知数列
是等比数列，则方程组
的解的情况为
A.唯一解
B.无解
C.无穷多组解
D.不能确定
所以直线a1x＋a2y＝a3与a4x＋a5y＝a6重合，
√
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13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N
)，则a53的值为
√
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又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
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14.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项
之和，则公比q＝_________.
解析 由题意得：an＝an＋1＋an＋2，
所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，
拓广探究
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可得a8q2＋a8q＝6a8，即q2＋q－6＝0，
解得q＝2或q＝－3(舍去).
∴2m＋n－2＝16，∴m＋n＝6，
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16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
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解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d，
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则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.(共61张PPT)
第2课时 等比数列的判定与简单应用
第4章
4.3.2 等比数列的通项公式
1.体会等比数列与指数函数的关系.
2.掌握等比数列的判断及证明方法.
3.掌握等比数列中的项的设法.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、等比数列的通项公式与函数的关系
二、等比数列的判定与证明
三、等比数列中项的设法
内容索引
一、等比数列的通项公式与函数的关系
问题1 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝
·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即
.
(2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为
，公比为
.
知识梳理
an＝f(n)
ka
a
例1 已知数列
是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是数列
是递增数列”的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分又不必要条件
√
延伸探究 1.若
为等比数列，则“a1是递增数
列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
2.设
是等比数列，则“a1是递增数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
反思感悟 判断等比数列的单调性的方法
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列.
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.
√
解析 ∵a4·a17＝6，a4＋a17＝5，
∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，
解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，
∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，
二、等比数列的判定与证明
问题2 若数列
的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？
提示 不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.
证明等比数列的方法
知识梳理
q
an－1an＋1
3.通项公式法：an＝
.
a1qn－1
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列.
证明 当n≥2时，
反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若
＝anan＋2(n∈N
且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
三、等比数列中项的设法
例3 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
所以a3＝216.
所以a＝6.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
反思感悟 几个数成等比数列的设法
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练3 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是______.
解析 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
45
解得a＝3，q＝2.
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
1.知识清单：
(1)等比数列与函数的关系.
(2)等比数列的判定与证明.
(3)等比数列中项的设法.
2.方法归纳：定义法、分类讨论.
3.常见误区：四个数成等比数列时设成
aq，aq3，未考虑公比为
负的情况.
课堂小结
随堂演练
1.已知等比数列
的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列
为递减数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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√
若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1所以q<1；
所以若a1>0，
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2.在数列
中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么这个数列是
A.公比为2的等比数列
B.公差为3的等差数列
C.首项为3的等比数列
D.首项为3的等差数列
解析 因为an＝32－n(n＝1,2,3，…)，
√
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4
3.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于
A.(－2)n－1
B.－(－2)n－1
C.(－2)n
D.－(－2)n
解析 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
√
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课时对点练
基础巩固
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A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
解析 由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列.
√
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A.－2
B.2
C.4
D.－4
解析 由an＋1＋2an＝0知an＋1＝－2an，
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A.an＝2n
B.an＝2n－1
C.an＝n
D.无法确定
首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.
√
4.等比数列
不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列
的
公比q等于
A.－1
B.1
C.－2
D.－3
解析 ∵a5是a4和3a3的等差中项，∴2a5＝a4＋3a3，
得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，
√
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A.22n－1
B.2n
C.22n＋1
D.22n－3
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得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.
6.(多选)设等比数列
的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，
a7a8>1，
<0.则下列结论正确的是
A.0B.a7>1
C.a8>1
D.Tn的最大项为T7
∴a7>1,0∴A正确；B正确；C错误；
√
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2×3n－1
解析 因为an＋1＝3an且a1＝2，
所以an＝2×3n－1.
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8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，
甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为______.
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9.有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数.
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解 由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4，
设前三个数分别为4－d,4,4＋d，由于后三个数成等比数列，
整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14.
若d＝2，则这四个数分别为2,4,6,9；
若d＝－14，则这四个数分别为18,4，－10,25.
因此，这四个数分别为2,4,6,9或18,4，－10,25.
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10.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.
证明 由已知，得2a2＝a1＋a3，
①
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即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).
又a1，a3，a5均不为0，
∴a1，a3，a5成等比数列.
综合运用
11.等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于
√
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，∴q<0.
又|q|>1，∴q<－1.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
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令y＝logax，可得x＝ay，
故对A，有an＝
，非等比数列；
对B，an＝
，非等比数列；
对C，an＝
，为等比数列；
对D，an＝
，非等比数列.
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13.在等比数列
中，首项a1<0，则
是递增数列的充要条件是公比q
满足
A.q>1
B.q<1
C.0D.q<0
√
解析 先证必要性：
则此时公比q满足0＜q＜1；
再证充分性：
∵a1<0,0∴an<0，
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14.在各项为正的递增等比数列
中，a1a2a6＝64，a1＋a3＋a5＝21，则
an＝_______.
2n－1
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∵a1＋a3＋a5＝21，
∴q＝2，∴an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1.
拓广探究
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15.已知数列
的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，若an∈(0,2
022)，
则称项an为“和谐项”，则数列
的所有“和谐项”的项数为
A.10
B.11
C.12
D.13
√
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解析 由a1＝1，an＋1＝Sn，可得a2＝S1＝a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－1，又由an＋1＝Sn，
两式相减，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，
又由an∈(0,2
022)，即2n－2<2
022，可得n<13，n∈N
，
所以“和谐项”共有12项.
16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，
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(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.
解 bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2).第2课时 等比数列的判定与简单应用
学习目标
1.体会等比数列与指数函数的关系.
2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中的项的设法．
一、等比数列的通项公式与函数的关系
问题1 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示 由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
知识梳理 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
(2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列为正项的递增等比数列；(2)a1>0,01时，数列为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0例1 已知数列是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列是递增数列”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 当a1<0，q>1时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是a1<0,0即“q>1”是“数列是递增数列”的既不充分又不必要条件．
延伸探究 1.若为等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若等比数列是递增数列，可得a1反之：例如数列，此时满足a1所以“a12．设是等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 设等比数列的公比为q，则a10，解得或
此时数列不一定是递增数列；
若数列为递增数列，可得或
所以“a1反思感悟 判断等比数列的单调性的方法
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列．
跟踪训练1 等比数列为递减数列，若a4·a17＝6，a4＋a17＝5，则等于( )
A.
B.
C.
D．6
答案 A
解析 ∵a4·a17＝6，a4＋a17＝5，
∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，
解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，
∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，
∴q13＝＝，
则＝＝＝.
二、等比数列的判定与证明
问题2 若数列的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？
提示 不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性．
知识梳理 证明等比数列的方法
1．定义法：＝q(n∈N
且n≥2，q为不为0的常数)；
2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N
且n≥2且an≠0)；
3．通项公式法：an＝a1qn－1.
注意点：用定义法证明时，和中的n的范围不同．
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N
)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N
，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N
，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N
且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
跟踪训练2 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：数列是等比数列．
证明 由a1＝1，an＋1＝Sn，得an>0，Sn>0.
由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
所以＝2·，则＝2.
因为＝＝1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
三、等比数列中项的设法
例3 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
解 方法一 设前三个数分别为，a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216.
所以a＝6.
因此前三个数为，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝.
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d，
则第一个数为(4－d)2，
由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
反思感悟 几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为
…，，，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为
，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
…，，，，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练3 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
答案 45
解析 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
即
整理得
解得a＝3，q＝2.
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
1．知识清单：
(1)等比数列与函数的关系．
(2)等比数列的判定与证明．
(3)等比数列中项的设法．
2．方法归纳：定义法、分类讨论．
3．常见误区：四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
1．已知等比数列的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列为递减数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若q<0，则等比数列为摆动数列，由于等比数列为递减数列，则q>0.
若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1所以q<1；
所以a1>0，等比数列为递减数列?0所以若a1>0，“q<1”是“等比数列为递减数列”的必要不充分条件．
2．在数列中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么这个数列是( )
A．公比为2的等比数列
B．公差为3的等差数列
C．首项为3的等比数列
D．首项为3的等差数列
答案 C
解析 因为an＝32－n(n＝1,2,3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n，则有＝＝，所以为等比数列，且公比q＝，首项a1＝3.
3．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1
B．－(－2)n－1
C．(－2)n
D．－(－2)n
答案 A
解析 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
4．在数列中，a1＝2,2an＋1＝an，则a6＝________.
答案
解析 ∵2an＋1＝an，a1＝2，∴＝，∴是等比数列，公比为q＝.
∴a6＝a1q5＝2×5＝.
课时对点练
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
答案 D
解析 由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列．
2．在数列中，对任意的n∈N
，都有an＋1＋2an＝0(an≠0)，则等于( )
A．－2
B．2
C．4
D．－4
答案 C
解析 由an＋1＋2an＝0知an＋1＝－2an，故是以－2为公比的等比数列，
所以＝＝＝q2＝4.
3．已知数列对任意的n≥2且n∈N
，满足a＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列的通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝2n－1
C．an＝n
D．无法确定
答案 B
解析 由题意可知数列是等比数列，首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.
4．等比数列不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列的公比q等于( )
A．－1
B．1
C．－2
D．－3
答案 A
解析 ∵a5是a4和3a3的等差中项，∴2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，解得q＝或q＝－1，又等比数列不具有单调性，故q＝－1，故选A.
5．若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式an等于( )
A．22n－1
B．2n
C．22n＋1
D．22n－3
答案 A
解析 由a－3an＋1an－4a＝0，
得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，
所以an＋1－4an＝0，＝4.
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.
6．(多选)设等比数列的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是( )
A．0B．a7>1
C．a8>1
D．Tn的最大项为T7
答案 ABD
解析 ∵a1>1，a7·a8>1，<0，
∴a7>1,0∴A正确；B正确；C错误；D，T7是数列中的最大项，故正确．
7．在数列中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________.
答案 2×3n－1
解析 因为an＋1＝3an且a1＝2，所以＝3，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an＝2×3n－1.
8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．
答案
解析 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，
∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.
又09．有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数．
解 由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4，
设前三个数分别为4－d,4,4＋d，由于后三个数成等比数列，则第四个数为，
因为后三个数之和为19，则4＋＋＝19，整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14.
若d＝2，则这四个数分别为2,4,6,9；
若d＝－14，则这四个数分别为18,4，－10,25.
因此，这四个数分别为2,4,6,9或18,4，－10,25.
10．已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．
证明 由已知，得2a2＝a1＋a3，①
a＝a2·a4，②
＝＋.③
由③得＝，
∴a4＝.④
由①得a2＝.⑤
将④⑤代入②，得a＝·.
∴a3＝，
即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
化简，得a＝a1·a5.
又a1，a3，a5均不为0，
∴a1，a3，a5成等比数列．
11．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 C
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝－.
12．已知函数f?＝logax，则下列条件能使数列成等比数列的是( )
A．f?＝2n
B．f?＝n2
C．f?＝2n
D．f?＝
答案 C
解析 由f?＝logax，
令y＝logax，可得x＝ay，
故对A，有an＝，非等比数列；
对B，an＝，非等比数列；
对C，an＝，为等比数列；
对D，an＝，非等比数列．
13．在等比数列中，首项a1<0，则是递增数列的充要条件是公比q满足( )
A．q>1
B．q<1
C．0D．q<0
答案 C
解析 先证必要性：
∵a1<0，且是递增数列，
∴an<0，即q＞0，且＝＝q<1，
则此时公比q满足0＜q＜1；
再证充分性：
∵a1<0,0∴an<0，
∴＝＝q<1，即an＋1>an，
则是递增数列，
综上，是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.
14．在各项为正的递增等比数列中，a1a2a6＝64，a1＋a3＋a5＝21，则an＝_______.
答案 2n－1
解析 ∵为等比数列，设其公比为q，
∴a1a2a6＝aq6＝3＝a＝64，则a3＝4，
∵a1＋a3＋a5＝21，
∴＋a3＋a3q2＝21，
即＋4＋4q2＝21，
解得q＝±2或q＝±，
又∵各项为正且递增，
∴q＝2，
∴an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1.
15．已知数列的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，若an∈(0,2
022)，则称项an为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的项数为( )
A．10
B．11
C．12
D．13
答案 C
解析 由a1＝1，an＋1＝Sn，可得a2＝S1＝a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－1，又由an＋1＝Sn，
两式相减，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，即＝2，
则数列从第二项起是公比为2的等比数列，即an＝2n－2，n≥2，
又由an∈(0,2
022)，即2n－2<2
022，可得n<13，n∈N
，所以“和谐项”共有12项．
16．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
解 (1)设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，
解得q＝或(舍去)，
所以an＝8×n－1＝24－n，n∈N
.
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2)．