第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
学习目标 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
导语
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质．
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
问题1 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
提示 若等比数列的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即
S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q.
若等比数列的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
知识梳理
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；
S奇＝a1＋qS偶．
例1 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.
答案 2
解析 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝＝2.
(2)若等比数列共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为________．
答案 300
解析 由＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300.
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练1 (1)若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________．
答案 2 9
解析 由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，
S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________.
答案 12×n－1，n∈N
解析 设数列{an}的首项为a1，公比为q，
所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，
因为数列{an}的项数为偶数，
所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
所以a·q3＝64，
即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×n－1，n∈N
.
二、等比数列中的片段和问题
问题2 你能否用等比数列中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
问题3 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
提示 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝.
S2n－Sn＝－＝，
S3n－S2n＝－＝，
而2＝2，Sn(S3n－S2n)＝×，
故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
知识梳理
1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N
)．
2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
例2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 方法一 ∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，
即qn＝，③
③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63.
方法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
方法三 由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63.
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
跟踪训练2 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．8
B．6
C．4
D．2
答案 C
解析 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为( )
A．96
B．126
C．192
D．252
答案 C
解析 由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有
S6＝＝378，解得a1＝192，
所以该人第1天所走路程里数为192.
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
跟踪训练3 我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是( )
A．2
B．3
C．4
D．1
答案 B
解析 依题意，每天的织布数构成一个公比q＝2的等比数列{an}，其前n项和为Sn，则S5＝5，Sm＝，∵S5＝＝5，解得a1＝.∴Sm＝＝，解得m＝3.
1．知识清单：
(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质．
(2)片段和性质．
(3)等比数列前n项和的实际应用．
2．方法归纳：公式法、分类讨论．
3．常见误区：应用等比数列片段和性质时易忽略其成立的条件．
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4
B．2∶3
C．1∶2
D．1∶3
答案 A
解析 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟
B．7秒钟
C．8秒钟
D．9秒钟
答案 C
解析 根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，
设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，
则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴≥200，
∴2n≥201，结合n∈N
，解得n≥8，
即至少需8秒细菌将病毒全部杀死．
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为________．
答案 3
解析 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，
∴S7＝＝381，解得a1＝3.
4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
答案 80
解析 令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，
Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
课时对点练
1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1
011，偶数项之和为2
022，则这个数列的公比为(
)
A．8
B．－2
C．4
D．2
答案 D
解析 由＝q，可知q＝2.
2．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
答案 B
解析 设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1，
中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A.
B．－
C.
D.
答案 A
解析 易知q≠－1，
因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，
且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，
即S9－S6＝，
所以a7＋a8＋a9＝.
4．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )
A．1.14a
B．11×(1.15－1)a
C．1.15a
D．10×(1.16－1)a
答案 B
解析 从今年起到第5年，这个厂的总产值为
a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15＝a×＝11a(1.15－1)．
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝.
6．(多选)下列结论不正确的是( )
A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列
B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
C．等比数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列
D．如果数列的前n项和为Sn，则对?n∈N
，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
答案 BC
解析 对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；
对于B选项，对任意n∈N
，an＝1，则数列为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误；
对于C选项，若等比数列的公比q＝－1，且当n为正偶数时，则Sn＝＝0，
所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误；
对于D选项，对任意的n∈N
，
Sn＋1＝＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确．
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于________．
答案 6
解析 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，
其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.
由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.
由于26＝64,27＝128，
则n＋1≥7，即n≥6.
8．设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________．
答案 3
解析 易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，
故q3＝27，则q＝3.
9．一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
解 方法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N
)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，
∴＝85,4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
方法二 ∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
10．已知等比数列的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63.
(1)求数列的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2an，求数列的前n项和Tn.
解 (1)由题意知S6≠2S3，q≠1，
由等比数列的前n项和等距分段的性质知，
q3＝＝＝8，故q＝2，
∴S3＝＝7，代入q可得a1＝1，
∴an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝2n－1＋n－1，
∴Tn＝＋[1＋2＋…＋(n－1)]
＝2n＋－1.
11．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( )
A．40
B．60
C．32
D．50
答案 B
解析 由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
12．若数列{xn}满足lg
xn＋1＝1＋lg
xn(n∈N
)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于( )
A．200
B．120
C．110
D．102
答案 D
解析 因为lg
xn＋1＝1＋lg
xn，
所以lg
xn＋1－lg
xn＝lg
＝1，所以＝10，
所以数列是等比数列，公比为10，
所以lg(x101＋x102＋…＋x200)
＝lg＝lg＝102.
13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为( )
A.
B.
C．1
D．2
答案 D
解析 设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
因为项数为奇数时，＝q，
即2＋q＝，
所以q＝.
所以Tn＝a1·a2·…·an
＝aq1＋2＋…＋n－1＝，
故当n＝1或2时，Tn取最大值2.
14．如图，画一个边长为4
cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是_______
cm2.
答案 31
解析 记这些正方形的边长为an，则a1＝4，a2＝2，…，故这些正方形的面积是以16为首项，以为公比的等比数列，所以这5个正方形面积的和为S5＝＝32＝31.
15．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N
)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案 1－
解析 令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，
又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝，
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝＝1－.
16．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二 根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．4.3.3 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
导语
在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息．在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任．你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱．
一、等比数列前n项和公式的推导
问题1 若等比数列的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
提示 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，S＝2＋22＋23＋…＋27＝＝28－2＝254.
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q，
根据等比数列的性质，有＝＝q，
＝q?(1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．
问题2 同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？
提示 S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1＝18
446
744
073
709
551
615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧．大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5
800亿年．同学们，看来学好数学是多么的重要．
知识梳理
等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
公式一Sn＝
公式二Sn＝
注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)．(4)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．即Sn＝Aqn－A.
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
解 (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
反思感悟 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．
跟踪训练1 在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．
解 设此数列的公比为q(易知q≠1)，
则解得故此数列共有5项．
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
例2 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
解 (1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)方法一 由题意知
解得
从而S5＝＝.
方法二 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，
从而S5＝＝.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．
从而或又Sn＝＝126，
所以q＝2或.
反思感悟 等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练2 在等比数列{an}中．
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
解 (1)由Sn＝得，11＝，
∴q＝－2，
又由an＝a1qn－1得，16＝(－2)n－1，∴n＝5.
(2)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，
∴S4＝＝1，
S8＝＝17，
两式相除得＝17＝1＋q4，
当q＝2时，a1＝，
当q＝－2时，a1＝－，
∴an＝·2n－1或－·(－2)n－1.
三、分组求和法
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，
当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)?an＋1－an＝3an?an＋1＝4an.
又当n＝1时，a2＝3S1＋1?a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列．
(2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
＝＋.
反思感悟 分组求和的适用题型
一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列与一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可．
跟踪训练3 已知数列满足a1＝1，且an＋1－an＝2.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足b1＝－，b2＝－，设cn＝an＋bn，若数列为等比数列，求数列的前n项和Sn.
解 (1)数列满足a1＝1，且an＋1－an＝2，
所以数列是等差数列，且首项为1，公差为2，
因此，an＝1＋2＝2n－1.
(2)由已知可得c1＝a1＋b1＝1－＝，c2＝a2＋b2＝3－＝，
所以等比数列的公比为q＝＝，
所以an＋bn＝cn＝c1qn－1＝，
所以bn＝cn－an＝－，
因此，Sn＝＋＋＋…＋
＝－
＝－＝1－n2－.
1．知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的推导．
(2)等比数列中与前n项和有关的基本运算．
(3)分组求和法．
2．方法归纳：公式法、分组求和法．
3．常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错．
1．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于( )
A．－25
B．25
C．－31
D．31
答案 D
解析 因为an＋1＝2an，且a1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列{an}的前5项的和为＝31.
2．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 当x＝1时，Sn＝n；
当x≠1且x≠0时，Sn＝.
3．设Sn为数列的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为( )
A．2n－1
B．2n－1－1
C．2n－n－1
D．2n＋1－n－2
答案 D
解析 ∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
∴Sn＝＋＋…＋＝－n＝2n＋1－n－2.
4．已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝________.
答案 或6
解析 方法一 当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，
满足S3＝.
当q≠1时，依题意，得
解得
综上可得a1＝或a1＝6.
方法二
所以a1＋a2＝3，
所以＝＝2，
所以q＝1或q＝－.
所以a1＝或a1＝6.
课时对点练
1．在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于( )
A．4－2100
B．4＋2100
C．4－2－98
D．4－2－100
答案 C
解析 q＝＝.
S100＝＝
＝4(1－2－100)＝4－2－98.
2．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 Sn＝＝.
3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
答案 C
解析 等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，
化简得an＝2n－2.
则a3a5＝2×23＝16.
4．数列1，3，5，7…的前n项和Sn为( )
A．n2＋1－
B．n2＋2－
C．n2＋1－
D．n2＋2－
答案 C
解析 数列1，3，5，7…的通项公式为an＝2n－1＋n，
所以Sn＝＋＋＋＋…＋
＝＋
＝＋＝n2＋1－.
5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( )
A.或5
B.或5
C.
D.
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q，显然q≠1，
由已知得＝，
解得q＝2，
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，
∴前5项和为＝.
6．(多选)已知正项等比数列的前n项和为Sn，若a3＝1，＋＋＝，则( )
A.必是递减数列
B．S5＝
C．公比q＝4或
D．a1＝4或
答案 BD
解析 设等比数列的公比为q，则q>0，
因为a1a5＝a＝1，a3＝a1q2＝1
，
所以＋＋＝1＋＋＝1＋＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋＝，
解得或
当a1＝4，q＝时，S5＝＝，数列是递减数列；
当a1＝，q＝2时，S5＝，数列是递增数列；
综上，S5＝.
7．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋r，则r＝________.
答案 －2
解析 Sn＝2×3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2.
8．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋ab3＋…＋ab10＝________.
答案 1
033
解析 ∵数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝2＋×1＝n＋1，
∵是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝1×2n－1＝2n－1，
∴abn＝2n－1＋1，
∴ab1＋ab2＋ab3＋…＋ab10＝＋10＝1
033.
9．已知等差数列的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn.
解 (1)设等差数列的公差为d，
由题意，得
解得或
所以an＝或an＝－2＋3＝3n－5.
(2)当an＝时，bn＝＋2n，
此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2；
当an＝3n－5时，bn＝＋2n，
此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2.
10．已知等差数列的前n项的和为Sn，且a3＝5，S3＝9.
(1)求数列的通项公式；
(2)若bn＝－1，求数列的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列的公差为d，
则解得
故数列的通项公式为an＝1＋2(n－1)，即an＝2n－1.
(2)由(1)得bn＝－1＝3n－1，
所以Tn＝－n＝－n－.
11．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 依题意得等比数列{an}的通项an＝a1qn－1，所以a3n＝a1q3n－1，
因为＝＝q3，
所以数列{a3n}是首项为a3，公比为q3的等比数列，
因为q≠1，所以q3≠1，
所以数列{a3n}的前n项和为＝.
12．已知数列满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，记数列{2an－n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A．2n－－
B．2n－－－1
C．2n＋1－－－2
D．2n－－－2
答案 C
解析 因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，①
所以有a1＝1，
当n≥2，n∈N
时，有a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n－1，②
由①－②得，an＝1?an＝2n－1，显然当n＝1时，也适合，
所以an＝2n－1(n∈N
)，令
2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，因此有
Sn＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－
＝2n＋1－2－－
＝2n＋1－－－2.
13．设f(n)＝2＋23＋25＋27＋…＋22n＋7，则f(n)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 易知1,3,5,7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
设该数列为，则am＝2m－1，设an＝2n＋7，
令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4，
∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和，
∴f(n)＝＝.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝________.
答案
解析 当n＝1时，则有2S1＝a2－1，
∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；
当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，
上述两式相减得2an＝an＋1－an，
∴an＋1＝3an，
得＝3且＝3，
∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴Sn＝＝.
15．已知数列：，，，，，，，，，，，，…的前n项和为Sn，则S120＝________.
答案 60
解析 将此数列分组，第一组：，共21－1项；第二组：＋＋＝＝，共22－1项的和；第三组：＋＋＋＋＋＋＝＝＝，共23－1项的和；…
第n组：＋＋＋＋＋＋…＋＝＝，共2n－1项的和；
由＋＋＋…＋＝2×－n＝120，解得n＝6，
因此前120项之和正好等于前6组之和，＋＋…＋＝＝＝60.
16．已知数列{an}的通项公式为an＝
求数列{an}的前n项和Sn.
解 ①当n为大于或等于3的奇数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)
＝·＋＝＋
＝＋.
当n＝1时，S1＝a1＝1，上式同样成立．
②当n为偶数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－2＋4n)＝＋.
综上，Sn＝(共71张PPT)
第1课时 等比数列的前n项和
第4章
4.3.3 等比数列的前n项和
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
学习目标
在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列前n项和公式的推导
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
三、分组求和法
内容索引
一、等比数列前n项和公式的推导
问题1 若等比数列
的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
提示 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，
而当q＝1时，Sn＝na1.
上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.
利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，
该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，
运用等比数列的性质，导出了公式，
通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，
而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化.
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，
显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，
在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，
又能使问题得到解决.
问题2 同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？
＝18
446
744
073
709
551
615，
然而这个数字对国王来说是一个天文数字，
显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，
于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.
大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5
800亿年.
同学们，看来学好数学是多么的重要.
等比数列的前n项和公式
知识梳理
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
公式一Sn＝_______________
公式二Sn＝______________
注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝
)；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝
).(4)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.即Sn＝Aqn－A.
例1 求下列等比数列前8项的和：
反思感悟 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.
跟踪训练1 在14与
之间插入n个数，组成所有项的和为
的等比数列，求此数列的项数.
解 设此数列的公比为q(易知q≠1)，
故此数列共有5项.
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
例2 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
方法二 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
解 因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根.
反思感悟 等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，
都可看作一个整体.
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
跟踪训练2 在等比数列{an}中.
∴q＝－2，
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
解 若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，
三、分组求和法
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
解 因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，
当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)?an＋1－an＝3an?an＋1＝4an.
又当n＝1时，a2＝3S1＋1?a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
反思感悟 分组求和的适用题型
一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列
一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列
的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n
项和公式求和即可.
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的推导.
(2)等比数列中与前n项和有关的基本运算.
(3)分组求和法.
2.方法归纳：公式法、分组求和法.
3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.
课堂小结
随堂演练
1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于
A.－25
B.25
C.－31
D.31
解析 因为an＋1＝2an，且a1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
1
2
3
4
√
2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
√
解析 当x＝1时，Sn＝n；
1
2
3
4
1
2
3
4
3.设Sn为数列
的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为
A.2n－1
B.2n－1－1
C.2n－n－1
D.2n＋1－n－2
√
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
所以a1＋a2＝3，
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于
A.4－2100
B.4＋2100
C.4－2－98
D.4－2－100
√
1
2
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5
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7
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16
2.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于
√
1
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5
6
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13
14
15
16
3.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于
A.4
B.8
C.16
D.32
解析 等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，
化简得an＝2n－2.
则a3a5＝2×23＝16.
√
1
2
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4
5
6
7
8
9
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11
12
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√
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7
8
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11
12
13
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15
16
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5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列
的前5项和等于
√
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解析 设数列{an}的公比为q，显然q≠1，
解得q＝2，
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√
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7.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋r，则r＝______.
解析 Sn＝2×3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2.
－2
8.设数列
是以2为首项，1为公差的等差数列，
是以1为首项，2为
公比的等比数列，则ab1＋ab2＋ab3＋…＋ab10＝_______.
∴bn＝1×2n－1＝2n－1，
∴abn＝2n－1＋1，
1
033
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解 由(1)得bn＝
－1＝3n－1，
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综合运用
11.等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为
√
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解析 依题意得等比数列{an}的通项an＝a1qn－1，所以a3n＝a1q3n－1，
所以数列{a3n}是首项为a3，公比为q3的等比数列，
因为q≠1，所以q3≠1，
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所以有a1＝1，
所以an＝2n－1(n∈N
)，
令
2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，
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因此有Sn＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
解析 易知1,3,5,7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
√
令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4，
∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和，
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14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝______.
解析 当n＝1时，则有2S1＝a2－1，
∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；
当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，
上述两式相减得2an＝an＋1－an，∴an＋1＝3an，
∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
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拓广探究
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共2n－1项的和；
解得n＝6，
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16.已知数列{an}的通项公式为an＝
求数列{an}的前n项和Sn.
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解 ①当n为大于或等于3的奇数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)
当n＝1时，S1＝a1＝1，上式同样成立.
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②当n为偶数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－2＋4n)(共65张PPT)
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第4章
4.3.3 等比数列的前n项和
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
学习目标
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
二、等比数列中的片段和问题
三、等比数列前n项和公式的实际应用
内容索引
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
问题1 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，
容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，
从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，
于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，
即S奇＝a1＋qS偶.
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
知识梳理
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1
S奇＝a1＋qS偶.
例1 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝_____.
解析 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
2
S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300.
300
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练1 (1)若等比数列
共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为____，项数为____.
解析 由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，
2
9
解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，
前3项之积为64，则数列的通项公式an＝___________________.
解析 设数列{an}的首项为a1，公比为q，
所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，
因为数列{an}的项数为偶数，
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
即a1＝12，
二、等比数列中的片段和问题
问题2 你能否用等比数列
中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n
＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
问题3 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
提示 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋
(n，m∈N
).
2.数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，
仍构成等比数列.
注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
知识梳理
qnSm
S3n－S2n
例2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 方法一 ∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
方法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
方法三 由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算.
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
跟踪训练2 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于
A.8
B.6
C.4
D.2
解析 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
√
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为
A.96
B.126
C.192
D.252
√
解析 由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，
因为该人6天后到达目的地，
所以该人第1天所走路程里数为192.
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型.
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
跟踪训练3 我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布
尺，则这位女子织布的天数是
A.2
B.3
C.4
D.1
√
解析 依题意，每天的织布数构成一个公比q＝2的等比数列{an}，
其前n项和为Sn，
1.知识清单：
(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质.
(2)片段和性质.
(3)等比数列前n项和的实际应用.
2.方法归纳：公式法、分类讨论.
3.常见误区：应用等比数列片段和性质时易忽略其成立的条件.
课堂小结
随堂演练
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于
A.3∶4
B.2∶3
C.1∶2
D.1∶3
解析 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，
因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要
A.6秒钟
B.7秒钟
C.8秒钟
D.9秒钟
√
1
2
3
4
解析 根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，
设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，
则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴2n≥201，结合n∈N
，解得n≥8，
即至少需8秒细菌将病毒全部杀死.
1
2
3
4
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____.
解析 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，
3
1
2
3
4
4.若等比数列{an}的公比为
，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为______.
解析 令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，
Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
80
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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16
1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1
011，偶数项之和为2
022，则这个数列的公比为
A.8
B.－2
C.4
D.2
√
1
2
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4
5
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2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为
A.6
B.8
C.10
D.12
解析 设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，
所有偶数项之和为S偶，
√
中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于
解析 易知q≠－1，
因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，
且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，
√
1
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4
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4.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为
A.1.14a
B.11×(1.15－1)a
C.1.15a
D.10×(1.16－1)a
解析 从今年起到第5年，
这个厂的总产值为a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15
√
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5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？
√
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解析 5斗＝50升，
设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，
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6.(多选)下列结论不正确的是
A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则
这个数列是等差数列
B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
C.等比数列
的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列
D.如果数列
的前n项和为Sn，则对?n∈N
，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
√
√
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解析 对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；
所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，
此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误；
对于D选项，对任意的n∈N
，
且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误；
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7.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于_____.
解析 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，
6
由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.
由于26＝64,27＝128，
则n＋1≥7，即n≥6.
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8.设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为_____.
解析 易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，
故q3＝27，则q＝3.
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9.一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.
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解 方法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N
).
由②÷①，得q＝2，
故公比为2，项数为8.
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方法二 ∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴2n＝256，∴n＝8.
即公比q＝2，项数n＝8.
解 由题意知S6≠2S3，q≠1，
由等比数列的前n项和等距分段的性质知，
∴an＝2n－1.
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解 由(1)知bn＝2n－1＋n－1，
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综合运用
11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于
A.40
B.60
C.32
D.50
解析 由等比数列的性质可知，
数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
√
12.若数列{xn}满足lg
xn＋1＝1＋lg
xn(n∈N
)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于
A.200
B.120
C.110
D.102
解析 因为lg
xn＋1＝1＋lg
xn，
√
所以lg(x101＋x102＋…＋x200)
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√
解析 设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得
故当n＝1或2时，Tn取最大值2.
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14.如图，画一个边长为4
cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是______
cm2.
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拓广探究
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15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝
，an＝f(n)(n∈N
)，则数列{an}的前n项和Sn＝
________.
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解析 令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，
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16.已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：
＝Sn(S2n＋S3n).
证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
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方法二 根据等比数列的性质有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，
S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
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