(共50张PPT)
第3课时 导 数
第5章
5.1.2 瞬时变化率——导数
1.理解导数及导函数的概念.
2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数.
学习目标
同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就.
导语
随堂演练
课时对点练
一、导数的概念
二、求函数在某一点处的导数
三、导函数
内容索引
一、导数的概念
问题1 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
提示 瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；
它的数学意义是函数在该点的导数.
1.导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx
时，比值
无限趋近于一个
，则称f(x)在x＝x0处
，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作
.
2.导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点
处的切线的
.
知识梳理
无限趋近于0
常数A
可导
f′(x0)
P(x0，f(x0))
斜率
√
反思感悟 利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母的对应关系.
A.f′(x)
B.f′(2)
C.f(x)
D.f(2)
解析 因为函数f(x)可导，
√
二、求函数在某一点处的导数
从而f′(1)＝2.
反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
跟踪训练2 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为
A.2x
B.2
C.2＋Δx
D.1
√
A.－4
B.2
C.－2
D.±2
√
三、导函数
问题2 以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
提示 这涉及到函数在任意一点的导数问题，
这就是函数在任意一点的导数，
即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数.
导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数记作
或
，即f′(x)＝y′＝
.
注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值.(2)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数.
知识梳理
f′(x)
y′
反思感悟 求导函数的一般步骤：
(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x).
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
1.知识清单：
(1)导数的概念及几何意义.
(2)求函数在某点处的导数.
(3)导函数的概念.
2.方法归纳：定义法.
3.常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系.
课堂小结
随堂演练
1
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√
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2
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√
1
2
3
4
3.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)
等于
A.4
B.－4
C.－2
D.2
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
√
1
2
3
4
4.已知函数f(x)＝
，则f′(1)＝
.
课时对点练
基础巩固
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1.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
A.不存在
B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直
D.与x轴斜交
解析 因为f′(x0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
√
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2.已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则s′
为
A.3
m/s
B.5
m/s
C.7
m/s
D.9
m/s
√
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3.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足
＝－1，则f′(0)等于
A.－2
B.2
C.－1
D.1
解析 ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
√
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4.已知曲线f(x)＝
x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为
A.－2
B.－1
C.1
D.2
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
√
5.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为
的是
A.(0,0)
B.(1，－1)
C.(－1,1)
D.(1,1)
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
√
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
√
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6.(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则
的值
A.与x0有关
B.与h有关
C.与x0无关
D.与h无关
解析 由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.
√
√
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7.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝
.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
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8.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝
.
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，
所以由导数的几何意义可知f′(2)＝3.
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9.求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数.
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
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10.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3
m3/s.
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综合运用
11.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为
A.4x－y－4＝0
B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0
D.x＋4y＋3＝0
√
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解析 设切点为(x0，y0)，
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
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12.若曲线y＝f(x)＝x＋
上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范
围是
A.(－∞，－1)
B.(－1,1)
C.(－∞，1)
D.(1，＋∞)
即k<1.
√
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13.函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是
A.0
B.0C.0D.0√
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解析 由f(x)的图象可知，
f(x)在x＝2处的切线斜率大于在x＝3处的切线斜率，且斜率为正，
∴0∴f(3)－f(2)可看作过(2，f(2))和(3，f(3))的割线的斜率，
由图象可知f′(3)∴01
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14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离
为
__
.
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解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，
点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，
设y＝f(x)＝x2，
拓广探究
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15.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则
的最小值为
.
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16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
解 设P(x0，y0)，
所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
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16(共54张PPT)
第1课时 曲线上一点处的切线
第5章
5.1.2 瞬时变化率——导数
1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上
两点的割线逼近为某点的切线的过程.
2.会求函数在某点处的切线方程.
学习目标
“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质.
导语
随堂演练
课时对点练
一、以直代曲
二、曲线的割线和切线
三、切线的斜率
内容索引
一、以直代曲
问题1 如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？
提示 当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，
即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想.
例1 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似
值为______.
反思感悟 以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想.
跟踪训练1 已知函数f(x)的部分图象如图所示.若把曲线AB近似地看成线
段，则图中阴影部分的面积近似为_____.
解析 若把曲线AB近似看成线段，
二、曲线的割线和切线
问题2 如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？
提示 割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线，
当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，
此时称这条直线l为曲线在点P处的切线.
知识梳理
名称
割线
切线
斜率
设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
例2 已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是___；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是____.
解析 当Δx＝1时，
5
4.1
当Δx＝0.1时，
反思感悟 一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线.
跟踪训练2 过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为____，过两点
(0,1)，
的割线的斜率为________.
解析 由平均变化率的计算公式及几何意义，
1
三、切线的斜率
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
反思感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，
无限趋近的常数.
跟踪训练3 (1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________.
解析 设点P坐标为(x0，y0)，
(3,30)
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，即x0＝3，
所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.
即点P坐标为(3,30).
(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线
方程.
解 设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，
所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
1.知识清单：
(1)以直代曲.
(2)曲线的割线和切线.
(3)求曲线在一点处的切线.
2.方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想.
3.常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想.
课堂小结
随堂演练
A.－2
B.－1
C.1
D.2
故函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－1.
√
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A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
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4
3.已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是
A.－1
B.1
C.－2
D.2
所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k＝12，
所以12a＝12，即a＝1.
√
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4
课时对点练
基础巩固
1.已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2,2＋Δx]且Δx无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为
解析 由两点割线的斜率，当Δx无限趋近于0时，
√
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3.已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则割线AB的斜
率为
A.2
B.2.3
C.2.09
D.2.1
解析 f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
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4.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是
√
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解析 单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，
图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，
则曲线是上升的，且越来越陡，
故函数的图象应是一直下凹的.
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5.已知点P
为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于－2，则在点P处的切线方程为
A.y＝－2x＋1
B.y＝－2x－1
C.y＝－2x＋3
D.y＝－2x－2
解析 根据题意可知，在点P处切线的斜率为－2，
所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1.
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C.y＝4x－4
D.y＝4x－2
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当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8.
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8.过曲线y＝x2上两点A
和B
作割线，当Δx＝0.1时，
割线AB的斜率为______.
所以当Δx＝0.1时，AB的斜率为4.1.
4.1
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9.求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程.
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解 设点B(2＋Δx，f(2＋Δx))，
当Δx无限接近于0时，函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为k＝－3，
又f(2)＝－22＋2＝－2，
所以切线的方程为y－(－2)＝－3(x－2)，
即3x＋y－4＝0.
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综合运用
11.已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k2C.k3D.k1√
1
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∴k11
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12.若曲线y＝ax2在x＝a处的切线与直线2x－y－1＝0平行，则a等于
A.－1
B.1
C.－1或1
D.－
或1
√
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当Δx无限接近于0时，
2a2＝2，
∴a＝±1，
当a＝1时，y＝x2，切点是(1,1)，
切线的斜率k＝2，
故切线方程是y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0和直线2x－y－1＝0重合，
故a＝－1.
13.曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为
A.(2,2)
B.(2，－2)
C.(－2,2)
D.(－2，－2)
√
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解析 设切点坐标为(x0，y0)，
即k＝2x0－3＝1，
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故切点坐标为(2，－2).
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14.曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________
_______.
3x－y－
11＝0
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解析 设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，
＝3(x0＋1)2＋3.
所以k＝3(x0＋1)2＋3.
当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，
其切线方程为3x－y－11＝0.
拓广探究
1
2
3
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15.若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝_____.
解析 根据题意，
1
2
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16.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
∴直线l1的斜率k1＝3，
∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
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(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积.5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线
学习目标 1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．
导语
“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．
一、以直代曲
问题1 如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？
提示 当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．
例1 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．
答案
解析 S正六边形＝6×＝.
反思感悟 以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．
跟踪训练1 已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．
答案
解析 若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝×1×3＝.
二、曲线的割线和切线
问题2 如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？
提示 割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线．
知识梳理
名称
割线
切线
斜率
设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
例2 已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是______；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是______．
答案 5 4.1
解析 当Δx＝1时，割线AB的斜率
k1＝＝＝＝5；
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
k2＝＝＝4.1.
反思感悟 一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线．
跟踪训练2 过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，的割线的斜率为________．
答案 1 2－2
解析 由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k＝＝1.同理，过两点(0,1)，的割线的斜率为k＝＝2－2.
三、切线的斜率
例3 已知曲线y＝x3＋.求曲线在点P(2,4)处的切线方程．
解 ∵点P(2,4)在曲线y＝x3＋上，
＝
＝
＝4＋2·Δx＋(Δx)2，
当Δx无限趋近于0，无限趋近于4，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
反思感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．
跟踪训练3 (1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．
答案 (3,30)
解析 设点P坐标为(x0，y0)，
则＝
＝4x0＋4＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，即x0＝3，
所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.
即点P坐标为(3,30)．
(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．
解 设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，
则kAB＝＝5＋3Δx，
当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，
所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
1．知识清单：
(1)以直代曲．
(2)曲线的割线和切线．
(3)求曲线在一点处的切线．
2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．
3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．
1．函数y＝f(x)＝在x＝1处的切线斜率为( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
答案 B
解析 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝，
所以＝－，
所以当Δx趋近于0时，趋近于－1.
故函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－1.
2．抛物线y＝x2在点M处的切线的倾斜角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 B
解析 ∵点M在抛物线y＝x2上，
＝＝1＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，
∴在点M处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.
3．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线斜率为12a，则实数a的值是( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
答案 B
解析 ＝＝
＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，
因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2，
所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k＝12，
所以12a＝12，即a＝1.
4．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
答案 －
解析 由函数的解析式有
Δy＝－＝－＝，
则＝＝.
当Δx＝1时，割线AB的斜率为k＝＝＝－.
课时对点练
1．已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2,2＋Δx]且Δx无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为( )
A．f(2)
B．f(2＋Δx)
C.
D．f(x0)
答案 C
解析 由两点割线的斜率，当Δx无限趋近于0时，函数f(x)在A点处的切线斜率近似为.
2．已知抛物线y＝x2，抛物线上有一点P，Q是抛物线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 当x＝1＋Δx时，y＝(1＋Δx)2.
3．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则割线AB的斜率为( )
A．2
B．2.3
C．2.09
D．2.1
答案 B
解析 f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kAB＝＝＝2.3.
4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是( )
答案 B
解析 单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．
5．已知点P为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1
B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3
D．y＝－2x－2
答案 B
解析 根据题意可知，在点P处切线的斜率为－2，
所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1.
6．曲线y＝－在点处的切线方程是( )
A．y＝x－2
B．y＝x－
C．y＝4x－4
D．y＝4x－2
答案 C
解析 因为Δy＝－＋＝，
所以＝，
当Δx无限接近于0时，无限接近于，所以函数在点处的切线斜率是k＝4，
所以切线方程为y＋2＝4，即y＝4x－4.
7．当h无限趋近于0时，无限趋近于______，无限趋近于________．
答案 8
解析 ＝＝8＋h，
当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8.
＝＝，
当h无限趋近于0时，无限趋近于.
8．过曲线y＝x2上两点A和B作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为______．
答案 4.1
解析 kAB＝＝＝＝Δx＋4，
所以当Δx＝0.1时，AB的斜率为4.1.
9．求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程．
解 设点B(2＋Δx，f(2＋Δx))，
则割线AB的斜率为＝
＝
＝＝－3－Δx，
当Δx无限接近于0时，函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为k＝－3，
又f(2)＝－22＋2＝－2，
所以切线的方程为y－(－2)＝－3(x－2)，
即3x＋y－4＝0.
10．求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程．
解 ∵点(1,1)在曲线y＝上，
＝＝，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，
∴在点(1,1)处切线的斜率为，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
11．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k2C．k3D．k1答案 A
解析 k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，
∴k112．若曲线y＝ax2在x＝a处的切线与直线2x－y－1＝0平行，则a等于( )
A．－1
B．1
C．－1或1
D．－或1
答案 A
解析 根据题意得＝＝2a2＋a·Δx，当Δx无限接近于0时，
2a2＝2，
∴a＝±1，
当a＝1时，y＝x2，切点是(1,1)，
切线的斜率k＝2，
故切线方程是y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0和直线2x－y－1＝0重合，
故a＝－1.
13．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为( )
A．(2,2)
B．(2，－2)
C．(－2,2)
D．(－2，－2)
答案 B
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
＝＝＝Δx＋2x0－3，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0－3，
即k＝2x0－3＝1，
解得x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2.
故切点坐标为(2，－2)．
14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．
答案 3x－y－11＝0
解析 设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，
＝
＝3x＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x＋6x0＋6
＝3(x0＋1)2＋3.
所以k＝3(x0＋1)2＋3.
当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，
其切线方程为3x－y－11＝0.
15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.
答案
解析 根据题意，
＝＝＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，
则2ax0＝1，且y0＝ax＋1，y0＝x0，解得a＝.
16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．
解 (1)＝＝2x＋1＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x＋1，
∴直线l1的斜率k1＝3，
∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－.
∴直线l2的方程为y＝－x－，即3x＋9y＋22＝0.
(2)解方程组得
又∵直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，，
∴所求三角形的面积为S＝××＝.第3课时 导 数
学习目标 1.理解导数及导函数的概念.2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数．
导语
同学们，大家知道，从数学的角度是如何衡量时代的进步的吗？那就是对函数的精细化研究，人们为了更好的研究函数的性质，400年前法国数学家首次提出了导数的概念，在此基础上，大数学家牛顿，莱布尼茨推动了对导数研究的快速前进，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来也一定能取得惊人的成就．
一、导数的概念
问题1 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
提示 瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数．
知识梳理
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
注意点：f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)＝k＝.
例1 设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f′等于( )
A.
B．－
C．1
D．－1
答案 A
解析 由题意知
＝
×＝f′＝1，
所以f′＝.
反思感悟 利用定义求函数在某点处的导数，仍然采用“无限逼近”的思想，由割线的斜率无限逼近函数在某点处的切线的斜率，其格式采用的是两点的斜率，故要注意分子、分母的对应关系．
跟踪训练1 已知函数f(x)可导，
则
等于( )
A．f′(x)
B．f′(2)
C．f(x)
D．f(2)
答案 B
解析 因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝
，
所以
＝f′(2)．
二、求函数在某一点处的导数
例2 求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解 ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴
＝
＝2.
从而f′(1)＝2.
反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)求极限
.
跟踪训练2 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
答案 B
解析
＝
＝
＝
(2＋Δx)＝2.
(2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
答案 D
解析 因为＝
＝＝，
所以f′(m)＝
＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
三、导函数
问题2 以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
提示 这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f′(x0)＝
可知
f′(x)＝
，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数．
知识梳理
导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝
.
注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值．(2)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
例3 求函数y＝(x>－1)的导函数．
解 令f(x)＝，则f′(x)
＝
＝
＝
＝
＝.
反思感悟 求导函数的一般步骤：
(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．
(2)＝.
(3)求极限
.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－x.求f′(x)．
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－.
∴f′(x)＝
＝2x－.
1．知识清单：
(1)导数的概念及几何意义．
(2)求函数在某点处的导数．
(3)导函数的概念．
2．方法归纳：定义法．
3．常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系．
1．若函数f(x)可导，则
等于( )
A．－2f′(1)
B.f′(1)
C．－f′(1)
D．f′
答案 C
解析
＝－
＝－f′(1)．
2．若
＝x2，则f(x)的导函数f′(x)等于( )
A．2x
B.x3
C．x2
D．3x2
答案 C
解析 由导数的定义可知，f′(x)＝
＝x2.
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( )
A．4
B．－4
C．－2
D．2
答案 D
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝
.
答案
解析 f′(1)＝
＝
＝
＝.
课时对点练
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案 B
解析 因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
2．已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则s′为( )
A．3
m/s
B．5
m/s
C．7
m/s
D．9
m/s
答案 C
解析 s′＝
＝
＝
(7＋2Δt)＝7.
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足
＝－1，则f′(0)等于( )
A．－2
B．2
C．－1
D．1
答案 C
解析 ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝
＝
＝－1.
4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
答案 D
解析 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，∴＝x＋Δx＋1，∴f′(x)＝
＝x＋1.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
5．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0)
B．(1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)
答案 BC
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝
＝3x－2＝tan?＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
6．(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则
的值( )
A．与x0有关
B．与h有关
C．与x0无关
D．与h无关
答案 AD
解析 由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关．
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝
.
答案 3
解析 因为f′(1)＝
＝
＝a.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
8．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝
.
答案 3
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f′(2)＝3.
9．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴f′(3)＝
＝
(2Δx＋16)＝16.
10．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
解 因为＝＝＝3，
所以f′(2)＝
＝3.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3
m3/s.
11．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
答案 A
解析 设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
12．若曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,1)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
k＝f′(x0)＝
＝
＝1－<1.
即k<1.
13．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0答案 B
解析 由f(x)的图象可知，f(x)在x＝2处的切线斜率大于在x＝3处的切线斜率，且斜率为正，
∴0∴f(3)－f(2)＝，∴f(3)－f(2)可看作过(2，f(2))和(3，f(3))的割线的斜率，由图象可知f′(3)∴014．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为
．
答案
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝
＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝.
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为
．
答案 2
解析 由导数的定义，得f′(0)＝
＝
＝
[a·(Δx)＋b]＝b>0.
又∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
当且仅当a＝c＝时等号成立．
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解 设P(x0，y0)，
则y0＝x＋1，
f′(x0)＝
＝2x0，
所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.第2课时 瞬时速度与瞬时加速度
学习目标 1.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念.2.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度．
导语
同学们，上节课我们研究了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，采用了“无限逼近”的思想，实现了由割线斜率到切线斜率的转化，反映到物理当中，就是研究某运动物体的瞬时速度的问题，但现实中，瞬时速度是否存在呢，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短的时间内拍两次，然后看你发生的位移，这其实就是利用了极短时间内的平均速度来逼近瞬时速度，其原理也是“无限逼近”的思想，今天我们就具体来研究这一现象．
一、平均速度
问题1 平均速率是平均速度吗？
提示 平均速率不是平均速度．平均速率是物体通过路程与它通过这段路程所用的时间的比值，它是数量．例如一个物体围绕一个圆周(半径为r)运动一周，花的时间是t，平均速率是2πr/t，而平均速度为0.
知识梳理
平均速度
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．
注意点：(1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应．(2)平均速度是向量，其方向与一段时间Δt内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同．
例1 一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
D．－3Δt－6
答案 D
解析 ＝＝－6－3Δt.
反思感悟 在变速直线运动中，平均速度的大小与选定的时间或位移有关，不同时间段内或不同位移上的平均速度一般不同，必须指明求出的平均速度是对应哪段时间内或哪段位移的平均速度，不指明对应的过程的平均速度是没有意义的．
跟踪训练1 某质点的运动方程是f(x)＝x2－1，其在区间上的平均速度为3，则实数m的值为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
答案 D
解析 根据题意，该质点的平均速度为＝＝m＋1，
则有m＋1＝3，解得m＝2.
二、瞬时速度
问题2 瞬时速率与瞬时速度一样吗？
提示 瞬时速率是数量，只有大小，没有方向，而瞬时速度是标量，即是位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方向是该点在轨迹上运动的切线的方向．
知识梳理
瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
注意点：(1)匀速直线运动中，平均速度即为瞬时速度；(2)在匀变速直线运动中，某一段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度．
例2 某物体的运动路程S(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数S(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1
s时的瞬时速度．
解 在1到1＋Δt的时间内，物体的平均速度＝＝
＝＝3＋Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3，
∴S(t)在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1
s时的瞬时速度为3
m/s.
延伸探究
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1，
∴S(t)在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1
m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s?
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9
m/s.
又＝
＝2t0＋1＋Δt.
∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4
s时的瞬时速度为9
m/s.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度．
跟踪训练2 (1)高台跳水运动员在t秒时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．
答案 6.5
解析 ＝
＝6.5－4.9Δt，
∵当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，
∴该运动员的初速度为6.5米/秒．
(2)如果一个物体的运动方程S(t)＝试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．
解 当t＝1时，S(t)＝t2＋2，
则＝＝＝2＋Δt，
当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，
∴该物体在t＝1时的瞬时速度为2；
∵t＝4∈[3，＋∞)，
∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，
∴＝
＝＝3·Δt＋6，
∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6无限趋近于6，即无限趋近于6，
∴该物体在t＝4时的瞬时速度为6.
三、瞬时加速度
知识梳理
瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
注意点：瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
例3 质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则当Δt无限趋近于0时，表示( )
A．t＝1
s时的速度
B．t＝1
s时的加速度
C．t＝1
s时的位移
D．t＝1
s时的平均速度
答案 B
解析 当Δt无限趋近于0时，表示t＝1时刻的加速度．
反思感悟 瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表征速度变化快慢的物理量．
跟踪训练3 一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝f＝－t2＋10t，则汽车在时刻t＝1
s时的加速度为( )
A．9
m/s
B．9
m/s2
C．8
m/s2
D．7
m/s2
答案 C
解析 由题意得，＝＝－2t＋10－Δt，当Δt无限接近于0时，汽车在时刻t＝1
s时的加速度为8
m/s2.
1．知识清单：
(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)瞬时加速度．
2．方法归纳：无限逼近的思想．
3．常见误区：不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．
1．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间中，质点的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋
C．3＋Δt
D．9＋Δt
答案 A
解析 平均速度为＝＝6＋Δt.
2．如果质点按规律S＝2t3运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
答案 C
解析 ∵＝＝
＝2(Δt)2＋18Δt＋54，
∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于54.
3．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为( )
A．2
B．－2
C．8
D．－8
答案 C
解析 由题意知，＝＝4t＋2Δt，当Δt无限接近于0时，该物体在t＝2时的加速度为8.
4．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是__________．
答案 相等
解析 物体做匀速直线运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
课时对点练
1．某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A．－4
B．－8
C．6
D．－6
答案 D
解析 由题意得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6.
2．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3
B．3
C．6
D．－6
答案 D
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－6，
即质点在t＝1时的瞬时速度是－6.
3．一物体做加速直线运动，假设t
s时的速度为v(t)＝t2＋3，则t＝2时物体的加速度为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 A
解析 因为＝＝2t＋Δt.
所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t.
所以t＝2时物体的加速度为4.
4．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度等于( )
A.米/秒
B.米/秒
C.米/秒
D．0米/秒
答案 A
解析 因为＝＝＝Δt＋8－，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于.
5．汽车在笔直公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt无限趋近于0的时候，的意义是( )
A．表示当t＝t0时汽车的加速度
B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度
C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率
D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离
答案 A
解析 由于v(t)表示时刻t的速度，由题意可知，当Δt无限趋近于0的时候，表示当t＝t0时汽车的加速度．
6．(多选)甲、乙速度v与时间t的关系如图，a(b)是t＝b时的加速度，S(b)是从t＝0到t＝b的路程，则下列说法正确的是( )
A．a甲(b)>a乙(b)
B．a甲(b)C．S甲(b)>S乙(b)
D．S甲(b)答案 BC
解析 加速度是速度对t函数的切线斜率，由图可得在b处，甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；由图知t＝0到t＝b甲的速度总大于等于乙的速度，所以甲从t＝0到t＝b的路程大于乙从t＝0到t＝b的路程．
7．一物体的运动方程为s＝3t2－2，则其在t＝________时瞬时速度为1.
答案
解析 ＝＝6t＋3Δt.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于6t，
因为瞬时速度为1，故6t＝1，即t＝.
8．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________.
(由小到大排列)
答案 1<2<3
解析 ∵1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，
又∵由图象得kOA∴3>2>1.
9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．
(1)求t＝0
s到t＝2
s时的平均速度；
(2)求此物体在t＝2
s时的瞬时速度．
解 (1)＝＝＝1.
(2)
＝＝－Δt－1.
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－1，
所以t＝2时的瞬时速度为－1.
10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S＝at2，如果它的加速度是a＝5×105
m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3
s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解 运动方程为S＝at2.
因为ΔS＝a(t0＋Δt)2－at＝at0(Δt)＋a(Δt)2，
所以＝at0＋a(Δt)．
所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.
由题意知，a＝5×105
m/s2，t0＝1.6×10－3
s，
所以at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800
m/s.
11．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0
B.
C.
D.
答案 C
解析 由平均变化率的概念知平均速度是.
12．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为( )
A.>v2
B.C.＝v2
D．不能确定
答案 C
解析 平均速度为＝＝＝2g.
＝＝＝gΔt＋2g，
∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2g，
∴v2＝2g，∴＝v2.
13．火车开出车站一段时间内，速度v(单位：米/秒)与行驶时间t(单位：秒)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒2？( )
A.秒
B．2秒
C.秒
D.秒
答案 B
解析 由题意可知，
＝＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限接近于0时，由0.4＋1.2t＝2.8可得，t＝2(秒)．
14．质点的运动方程是s＝t＋
(s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3
s时的瞬时速度为________m/s.
答案
解析 ＝＝＝1－，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于，
所以质点在t＝3秒时的瞬时速度为m/s.
15．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则当Δt无限趋近于0时，表示( )
A．t＝t0时做的功
B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移
D．t＝t0时的功率
答案 D
解析 由题意知当Δt无限趋近于0时，表示t＝t0时的功率．
16．某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7
000x＋600.
(1)求产量为1
000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量；
(3)当Δx无限趋近于0时，求与，并说明它们的实际意义．
解 (1)产量为1
000台时的总利润为c(1
000)＝－2×1
0002＋7
000×1
000＋600＝5
000
600(元)，平均利润为＝5
000.6(元)．
(2)当产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量为＝＝2
000(元)．
(3)∵当Δx无限趋近于0时，＝－4x＋7
000，
∴＝3
000，
＝1
000，
它们指的是当产量为1
000台时，生产一台机械可多获利3
000元；.
而当产量为1
500台时，生产一台机械可多获利1
000元．(共55张PPT)
第2课时 瞬时速度与瞬时加速度
第5章
5.1.2 瞬时变化率——导数
1.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念.
2.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度.
学习目标
同学们，上节课我们研究了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，采用了“无限逼近”的思想，实现了由割线斜率到切线斜率的转化，反映到物理当中，就是研究某运动物体的瞬时速度的问题，但现实中，瞬时速度是否存在呢，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短的时间内拍两次，然后看你发生的位移，这其实就是利用了极短时间内的平均速度来逼近瞬时速度，其原理也是“无限逼近”的思想，今天我们就具体来研究这一现象.
导语
随堂演练
课时对点练
一、平均速度
二、瞬时速度
三、瞬时加速度
内容索引
一、平均速度
问题1 平均速率是平均速度吗？
提示 平均速率不是平均速度.
平均速率是物体通过路程与它通过这段路程所用的时间的比值，
它是数量.例如一个物体围绕一个圆周(半径为r)运动一周，
花的时间是t，平均速率是2πr/t，而平均速度为0.
平均速度
在物理学中，运动物体的位移与
的比称为平均速度.
注意点：(1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应.(2)平均速度是向量，其方向与一段时间Δt内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同.
知识梳理
所用时间
例1 一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为
A.3Δt＋6
B.－3Δt＋6
C.3Δt－6
D.－3Δt－6
√
反思感悟 在变速直线运动中，平均速度的大小与选定的时间或位移有关，不同时间段内或不同位移上的平均速度一般不同，必须指明求出的平均速度是对应哪段时间内或哪段位移的平均速度，不指明对应的过程的平均速度是没有意义的.
跟踪训练1 某质点的运动方程是f(x)＝x2－1，其在区间
上的平均速度为3，则实数m的值为
A.5
B.4
C.3
D.2
则有m＋1＝3，解得m＝2.
√
二、瞬时速度
问题2 瞬时速率与瞬时速度一样吗？
提示 瞬时速率是数量，只有大小，没有方向，
而瞬时速度是标量，即是位移对时间的瞬时变化率，
既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，
方向是该点在轨迹上运动的切线的方向.
瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率
无限趋近于
，那么
称为物体在____
时的瞬时速度，也就是位移对于时间的
.
注意点：(1)匀速直线运动中，平均速度即为瞬时速度；(2)在匀变速直线运动中，某一段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度.
知识梳理
一个常数
这个常数
t＝t0
瞬时变化率
例2 某物体的运动路程S(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数S(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1
s时的瞬时速度.
解 在1到1＋Δt的时间内，
∴S(t)在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1
s时的瞬时速度为3
m/s.
延伸探究
1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∴当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1，
∴S(t)在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1
m/s.
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s?
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9
m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4
s时的瞬时速度为9
m/s.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0).
跟踪训练2 (1)高台跳水运动员在t秒时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为_____米/秒.
∵当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，
∴该运动员的初速度为6.5米/秒.
6.5
(2)如果一个物体的运动方程S(t)＝
试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度.
解 当t＝1时，S(t)＝t2＋2，
当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，
∴该物体在t＝1时的瞬时速度为2；
∵t＝4∈[3，＋∞)，
∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，
∴当Δt无限趋近于0时，3·Δt＋6无限趋近于6，
∴该物体在t＝4时的瞬时速度为6.
三、瞬时加速度
瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的
.
注意点：瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率.
知识梳理
瞬时变化率
例3 质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，
则当Δt无限趋近于0时，
表示
A.t＝1
s时的速度
B.t＝1
s时的加速度
C.t＝1
s时的位移
D.t＝1
s时的平均速度
解析 当Δt无限趋近于0时，
√
反思感悟 瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表征速度变化快慢的物理量.
跟踪训练3 一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v(m/s)与时间t(s)的关系可近似地表示为v＝
＝－t2＋10t，则汽车在时刻t＝1
s时的加速度为
A.9
m/s
B.9
m/s2
C.8
m/s2
D.7
m/s2
当Δt无限接近于0时，汽车在时刻t＝1
s时的加速度为8
m/s2.
√
1.知识清单：
(1)平均速度.
(2)瞬时速度.
(3)瞬时加速度.
2.方法归纳：无限逼近的思想.
3.常见误区：不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率.
课堂小结
随堂演练
C.3＋Δt
D.9＋Δt
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.如果质点按规律S＝2t3运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为
A.6
B.18
C.54
D.81
√
1
2
3
4
3.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为
A.2
B.－2
C.8
D.－8
当Δt无限接近于0时，该物体在t＝2时的加速度为8.
√
1
2
3
4
4.物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是_____.
解析 物体做匀速直线运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的.
相等
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
16
1.某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为
A.－4
B.－8
C.6
D.－6
√
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16
2.一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是
A.－3
B.3
C.6
D.－6
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
√
即质点在t＝1时的瞬时速度是－6.
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3.一物体做加速直线运动，假设t
s时的速度为v(t)＝t2＋3，则t＝2时物体的加速度为
A.4
B.3
C.2
D.1
所以t＝2时物体的加速度为4.
√
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4.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋
(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度等于
√
5.汽车在笔直公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt无限趋近于0的时候，
的意义是
A.表示当t＝t0时汽车的加速度
B.表示当t＝t0时汽车的瞬时速度
C.表示当t＝t0时汽车的路程变化率
D.表示当t＝t0时汽车与起点的距离
√
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解析 由于v(t)表示时刻t的速度，由题意可知，当Δt无限趋近于0的时候，
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6.(多选)甲、乙速度v与时间t的关系如图，a(b)是t＝b时的加速度，S(b)是从t＝0到t＝b的路程，则下列说法正确的是
A.a甲(b)>a乙(b)
B.a甲(b)C.S甲(b)>S乙(b)
D.S甲(b)解析 加速度是速度对t函数的切线斜率，由图可得在b处，
甲的切线斜率小于乙的切线斜率，
即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；
由图知t＝0到t＝b甲的速度总大于等于乙的速度，
所以甲从t＝0到t＝b的路程大于乙从t＝0到t＝b的路程.
√
√
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7.一物体的运动方程为s＝3t2－2，则其在t＝____时瞬时速度为1.
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8.已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为
则三者的大小关
系为__________.
(由小到大排列)
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又∵由图象得kOA1
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9.一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s).
(1)求t＝0
s到t＝2
s时的平均速度；
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(2)求此物体在t＝2
s时的瞬时速度.
所以t＝2时的瞬时速度为－1.
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10.子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为S＝
at2，如果它的加速度是a＝5×105
m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3
s，求子弹射出枪口时的瞬时速度.
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由题意知，a＝5×105
m/s2，t0＝1.6×10－3
s，
所以at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800
m/s.
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综合运用
11.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是
√
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13.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：米/秒)与行驶时间t(单位：秒)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒2？
解析 由题意可知，
√
当Δt无限接近于0时，由0.4＋1.2t＝2.8可得，t＝2(秒).
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14.质点的运动方程是s＝t＋
(s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝
3
s时的瞬时速度为____m/s.
拓广探究
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15.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则当
Δt无限趋近于0时，
表示
A.t＝t0时做的功
B.t＝t0时的速度
C.t＝t0时的位移
D.t＝t0时的功率
解析 由题意知当Δt无限趋近于0时，
√
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16.某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7
000x＋600.
(1)求产量为1
000台的总利润与平均利润；
解 产量为1
000台时的总利润为c(1
000)＝－2×1
0002＋7
000×1
000＋600＝5
000
600(元)，
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(2)求产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量；
解 当产量由1
000台提高到1
500台时，
它们指的是当产量为1
000台时，生产一台机械可多获利3
000元；.
而当产量为1
500台时，生产一台机械可多获利1
000元.
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