§5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
导语
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．
一、基本初等函数的求导公式
问题1 回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？
提示 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数．
问题2 如何求f(x)＝kx＋b的导数？
提示 因为
＝＝＝k，
所以
＝k.故f′(x)＝k.
由导数几何意义，对于y＝kx＋b，可看成是某质点做匀速直线运动的模型，其在任意一点的瞬时速度不变，故在每一点的导数均为该直线的斜率．
知识梳理
1．求函数导数的流程图
↓
↓
↓
2．常见函数的导数：
(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
(2)C′＝0(C为常数)；
(3)(x)′＝1；
(4)(x2)′＝2x；
(5)(x3)′＝3x2；
(6)′＝－；
(7)()′＝.
3．基本初等函数的导数：
(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(2)(ax)′＝axln
a(a>0，且a≠1)；
(3)(ex)′＝ex；
(4)(loga
x)′＝loga
e＝(a>0，且a≠1)；
(5)(ln
x)′＝；
(6)(sin
x)′＝cos
x；
(7)(cos
x)′＝－sin
x.
注意点：对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝x；
(3)y＝lg
x；
(4)y＝；
(5)y＝2cos2－1.
解 (1)y′＝0.
(2)y′＝xln?＝－xln
3.
(3)y′＝.
(4)∵y＝＝，
∴y′＝＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2
021；
(2)y＝；
(3)y＝4x；
(4)y＝log3x.
解 (1)因为y＝2
021，所以y′＝(2
021)′＝0.
(2)因为y＝＝，
所以y′＝.
(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln
4.
(4)因为y＝log3x，所以y′＝.
二、利用导数公式求函数的导数
问题3 对于函数f(x)来说，f′(1)，f′(2)与f′(x)有什么区别与联系？
提示 f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(1)，f′(2)是导函数f′(x)在x＝1，x＝2处的导数值．
例2 求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
解 ∵f(x)＝＝，
∴f′(x)＝，
∴f′(1)＝－.
反思感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．
跟踪训练2 (1)已知f(x)＝ln
x，则f′(e)的值为
．
答案
解析 ∵f′(x)＝，∴f′(e)＝.
(2)已知函数f(x)＝在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是
．
答案 ±
解析 f′(x)＝－，当x＝a时，f′(a)＝－＝－2，
即a＝±.
三、导数公式的应用
例3 已知曲线y＝ln
x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解 ∵y′＝，
∴k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
延伸探究
1．已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝ln
x的一条切线，则k＝
.
答案
解析 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f′(x0)＝＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝ln
x0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝.
2．求曲线y＝ln
x过点O(0,0)的切线方程．
解 设切点为Q(x0，y0)，
则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
∴＝，即x0＝e，
∴Q(e,1)，
∴k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16
B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16
D．y＝－12x＋16
答案 A
解析 因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln
x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为
．
答案 －1
解析 设切点为(x0，ln
x0)，
由y＝ln
x得y′＝.
因为曲线y＝ln
x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以＝1，
即x0＝1，
所以切点为(1,0)．
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
1．知识清单：
(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式及应用．
(3)利用导数研究曲线的切线方程．
2．方法归纳：方程思想、待定系数法．
3．常见误区：不化简成基本初等函数．
1．(多选)下列选项正确的是( )
A．y＝ln
2，则y′＝
B．f(x)＝，则f′(3)＝－
C．y＝2x，则y′＝2xln
2
D．y＝log2x，则y′＝
答案 BCD
解析 对于A，y′＝0，故A错；
对于B，∵f′(x)＝－，∴f′(3)＝－，故B正确；
显然C，D正确．
2．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)等于( )
A．8
B．12
C．8ln
3
D．0
答案 D
解析 f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，
所以f′(x)＝0.所以f′(2)＝0.
3．已知f(x)＝，则f′(8)等于( )
A．0
B．2
C.
D．－1
答案 C
解析 f(x)＝，得f′(x)＝，
∴f′(8)＝×＝.
4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是
．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－，
∴k＝－1，
∴在点(3,3)处斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
课时对点练
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cos
x)′＝－sin
x
B．(x3)′＝x3ln
x
C．(ex)′＝xex－1
D．(ln
x)′＝
答案 A
2．函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A．9
B．6
C．9ln
3
D．6ln
3
答案 C
解析 y′＝(3x)′＝3xln
3，故所求导数为9ln
3.
3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A．4
B．－4
C．5
D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
4．若函数f(x)＝cos
x，则f′＋f?的值为( )
A．0
B．－1
C．1
D．2
答案 A
解析 f′(x)＝－sin
x，
所以f′＋f?＝－sin
＋cos
＝0.
5．(多选)下列各式中正确的是( )
A．(x7)′＝7x6
B．(x－1)′＝x－2
C．()′＝
D．(cos
2)′＝－sin
2
答案 AC
解析 ∵B项，(x－1)′＝－x－2；
D项，(cos
2)′＝0.
∴BD错误．
6．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1,1)
B．(－1，－1)
C．(1,1)
D．(1，－1)
答案 BC
解析 y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是
．
答案 4
解析 因为y′＝，
所以切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝－a，
由题意知··a＝2，所以a＝4.
8．设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝
.
答案 －4x＋3
解析 ∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.
∴a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.
9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
10．已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．
解 设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝k，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，y0)在切线上，
所以x＋2＝2x0，
解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2或
y＋2＝－4，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于( )
A．2
B．0
C．1
D．－1
答案 C
解析 由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′＝－1得f′＝1，故选C.
12．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4
B．3
C．－2
D．1
答案 D
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点，
则l：x＋y＝4，∴f＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.
13．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝sin
x
答案 D
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln
x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
14．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2
021(x)＝
.
答案 cos
x
解析 由已知得，f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，
f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2
021(x)＝f1(x)＝cos
x.
15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N
，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是
．
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为，则an＝lg?＝lg
n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg
1－lg
2)＋(lg
2－lg
3)＋…＋(lg
99－lg
100)＝lg
1－lg
100＝－2.(共50张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
第5章
§5.2 导数的运算
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
学习目标
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟.
导语
随堂演练
课时对点练
一、基本初等函数的求导公式
二、利用导数公式求函数的导数
三、导数公式的应用
内容索引
一、基本初等函数的求导公式
问题1 回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？
提示 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.
问题2 如何求f(x)＝kx＋b的导数？
故f′(x)＝k.
由导数几何意义，对于y＝kx＋b，可看成是某质点做匀速直线运动的模型，其在任意一点的瞬时速度不变，
故在每一点的导数均为该直线的斜率.
1.求函数导数的流程图
知识梳理
2.常见函数的导数：
(1)(kx＋b)′＝
(k，b为常数)；
(2)C′＝
(C为常数)；
(3)(x)′＝
；
(4)(x2)′＝
；
(5)(x3)′＝
；
k
0
1
2x
3x2
3.基本初等函数的导数：
(1)(xα)′＝
(α为常数)；
(2)(ax)′＝
(a>0，且a≠1)；
(3)(ex)′＝
；
(5)(ln
x)′＝
；
(6)(sin
x)′＝
；
(7)(cos
x)′＝
.
αxα－1
axln
a
ex
cos
x
－sin
x
注意点：对于根式f(x)＝
，要先转化为f(x)＝
，所以f′(x)＝
.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
解 y′＝0.
(3)y＝lg
x；
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2
021；
解 因为y＝2
021，所以y′＝(2
021)′＝0.
所以y′＝
.
(3)y＝4x；
解 因为y＝4x，所以y′＝4xln
4.
(4)y＝log3x.
二、利用导数公式求函数的导数
问题3 对于函数f(x)来说，f′(1)，f′(2)与f′(x)有什么区别与联系？
提示 f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(1)，
f′(2)是导函数f′(x)在x＝1，x＝2处的导数值.
∴f′(x)＝
，
反思感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解.
跟踪训练2 (1)已知f(x)＝ln
x，则f′(e)的值为
.
(2)已知函数f(x)＝
在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是
___
.
三、导数公式的应用
例3 已知曲线y＝ln
x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
延伸探究
1.已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝ln
x的一条切线，则k＝
.
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
2.求曲线y＝ln
x过点O(0,0)的切线方程.
解 设切点为Q(x0，y0)，
∴Q(e,1)，
反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为
A.y＝12x－16
B.y＝12x＋16
C.y＝－12x－16
D.y＝－12x＋16
解析 因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
√
(2)已知曲线y＝ln
x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为
.
解析 设切点为(x0，ln
x0)，
－1
因为曲线y＝ln
x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
即x0＝1，
所以切点为(1,0).
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
1.知识清单：
(1)常用函数的导数.
(2)基本初等函数的导数公式及应用.
(3)利用导数研究曲线的切线方程.
2.方法归纳：方程思想、待定系数法.
3.常见误区：不化简成基本初等函数.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列选项正确的是
√
√
√
解析 对于A，y′＝0，故A错；
显然C，D正确.
1
2
3
4
1
2
3
4
2.f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)等于
A.8
B.12
C.8ln
3
D.0
解析 f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，
所以f′(x)＝0.所以f′(2)＝0.
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
x＋y－6＝0
∴k＝－1，
∴在点(3,3)处斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.下列求导运算正确的是
A.(cos
x)′＝－sin
x
B.(x3)′＝x3ln
x
C.(ex)′＝xex－1
D.(ln
x)′＝
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.函数y＝3x在x＝2处的导数为
A.9
B.6
C.9ln
3
D.6ln
3
解析 y′＝(3x)′＝3xln
3，故所求导数为9ln
3.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于
A.4
B.－4
C.5
D.－5
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.0
B.－1
C.1
D.2
解析 f′(x)＝－sin
x，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)下列各式中正确的是
A.(x7)′＝7x6
B.(x－1)′＝x－2
解析 ∵B项，(x－1)′＝－x－2；
D项，(cos
2)′＝0.
∴BD错误.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐
标为
A.(－1,1)
B.(－1，－1)
C.(1,1)
D.(1，－1)
解析 y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1).
√
√
7.若曲线y＝
在点P(a，
)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
为2，则实数a的值是
.
令y＝0，得x＝－a，
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝
_____
.
解析 ∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.
∴a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.
－4x＋3
9.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，
点P到直线y＝x的距离最近.
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
其导数y′＝(ex)′＝ex，
所以
＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).
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10.已知抛物线y＝x2，求过点
且与抛物线相切的直线方程.
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解 设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，y0)在切线上，
解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
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综合运用
11.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)
等于
A.2
B.0
C.1
D.－1
直线x＋y－3＝0的斜率为－1，
√
12.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于
A.－4
B.3
C.－2
D.1
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，
√
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13.下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是
A.f(x)＝ex
B.f(x)＝x3
C.f(x)＝ln
x
D.f(x)＝sin
x
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，
B项中，(x3)′＝3x2≥0，
C项中，x>0，即(ln
x)′＝
>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
√
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14.设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2
021(x)＝
__
.
解析 由已知得，f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，
f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，
依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，
则f2
021(x)＝f1(x)＝cos
x.
cos
x
拓广探究
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15.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，
)处的切线与x轴的交点的横坐标为
ak＋1，其中k∈N
，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是
.
解析 ∵y′＝2x，
21
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16.设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，求a1＋a2＋…＋a99的值.
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝n＋1，
所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，
所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg
1－lg
2)＋(lg
2－lg
3)＋…＋(lg
99－lg
100)
＝lg
1－lg
100＝－2.
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