5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标 1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
导语
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容．
一、f(x)±g(x)的导数
问题 令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？
提示 Δy＝－；
＝
＝＋，
y′＝
＝
＝f′(x)＋g′(x)．
所以有[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．
知识梳理
两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cos
x；
(2)y＝lg
x－ex.
解 (1)y′＝′－′＋′＝5x4－3x2－sin
x.
(2)y′＝(lg
x－ex)′＝(lg
x)′－(ex)′＝－ex.
反思感悟 两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x5＋x3；
(2)g(x)＝lg
x－ex.
解 (1)∵f(x)＝x5＋x3，
∴f′(x)＝x4＋4x2.
(2)∵g(x)＝lg
x－ex，
∴g′(x)＝－ex.
二、f(x)g(x)和的导数
知识梳理
1．(f(x)·g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)．
2.′＝(g(x)≠0)．
注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式．
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln
x；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解 (1)y′＝(x2＋xln
x)′＝(x2)′＋(xln
x)′
＝2x＋(x)′ln
x＋x(ln
x)′
＝2x＋ln
x＋x·
＝2x＋ln
x＋1.
(2)y′＝′＝
＝
＝.
(3)y′＝′＝＝.
(4)方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
反思感悟 (1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．
解 (1)∵，
∴.
(2)方法一 y′＝
＝＝.
方法二 ∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝
＝.
(3)方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
三、导数四则运算法则的应用
例3 (1)曲线y＝xln
x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
A.
B.
C．1
D．2
答案 B
解析 设曲线y＝xln
x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln
x＋1，
∴k＝ln
x0＋1＝1，
解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝xln
x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.
(2)设f(x)＝a·ex＋bln
x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
解 f′(x)＝(a·ex)′＋(bln
x)′＝a·ex＋，
由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得
解得所以a，b的值分别为1,0.
反思感悟 (1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式．
(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．
答案 1,1
解析 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
(2)曲线y＝f(x)＝
(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
答案 1
解析 由题意可知，f′(x)＝x·ex，f′(1)＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝×2×1＝1.
1．知识清单：
(1)导数的运算法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
(3)导数四则运算法则的应用．
2．方法归纳：公式法、转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．函数y＝x(x2＋1)的导数是( )
A．x2＋1
B．3x2
C．3x2＋1
D．3x2＋x
答案 C
解析 ∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，
∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案 A
解析 因为f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
4．已知函数f(x)＝ex·sin
x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
答案 y＝x
解析 ∵f(x)＝ex·sin
x，∴f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
课时对点练
1．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′
答案 AD
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，′＝，故错误；
D项中，(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′，故正确．
2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.
3．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2
B．e
C.
D．ln
2
答案 B
解析 ∵f(x)＝xln
x，∴f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln
x0＋1＝2，即ln
x0＝1，解得x0＝e.
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
答案 B
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5．设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0，解得x>2，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
6．(多选)当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是( )
A．a
B．0
C．－a
D．a2
答案 AC
解析 y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
7．已知函数f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，则m＝_________________________________.
答案 3
解析 因为f′(x)＝3x2－m，
所以f′(1)＝3－m＝0，所以m＝3.
8．已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f?的值为________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′sin
x＋cos
x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos
x＋sin
x，∴f?＝1.
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln
x＋；
(2)y＝；
(3)f(x)＝(x2＋9)；
(4)f(x)＝.
解 (1)y′＝′＝′＋′＝－.
(2)y′＝′＝＝－.
(3)f(x)＝x3＋6x－，f′(x)＝3x2＋＋6.
(4)f′(x)＝
＝
＝.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin
x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin
x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin
x＋excos
x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin
0＋e0cos
0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于( )
A．1
B．－1
C．7
D．－7
答案 C
解析 ∵f′(x)＝＝，
又f′(1)＝tan
＝－1，∴a＝7.
12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln
x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于( )
A.
B．1
C．－
D．－1
答案 C
解析 因为f(x)＝(x＋a)·ln
x，x>0，
所以f′(x)＝ln
x＋(x＋a)·，
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
所以f′(1)＝－，所以a＝－.
13．如图，有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于( )
A.
B．－
C.
D．－或
答案 B
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由图(3)得对称轴为－＝－a>0，则a<0，解得a＝－1.
故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.
14．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________．
答案 或－4
解析 f′(x)＝若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4.
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.
答案 4
096
解析 因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f′(0)＝84＝212＝4
096.
16．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
解 (1)由题意得f′(x)＝
＝＝，
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以解得
则f(x)＝.
(2)由(1)可得，f′(x)＝，
所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝＝4，
令t＝，则t∈(0,1]，
所以k＝4(2t2－t)＝82－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是.(共59张PPT)
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
第5章
§5.2 导数的运算
1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算
法则求函数的导数．
学习目标
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容.
导语
随堂演练
课时对点练
一、f(x)±g(x)的导数
内容索引
三、导数四则运算法则的应用
一、f(x)±g(x)的导数
问题 令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？
＝f′(x)＋g′(x).
所以有[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x).
两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝
.
注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x).
知识梳理
f′(x)±g′(x)
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cos
x；
(2)y＝lg
x－ex.
反思感悟 两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
∴f′(x)＝x4＋4x2.
(2)g(x)＝lg
x－ex.
解 ∵g(x)＝lg
x－ex，
1.(f(x)·g(x))′＝
，特别地，(Cf(x))′＝
(C为常数).
知识梳理
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
Cf′(x)
注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式.
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln
x；
解 y′＝(x2＋xln
x)′＝(x2)′＋(xln
x)′
＝2x＋(x)′ln
x＋x(ln
x)′
＝2x＋ln
x＋1.
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1).
解 方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′
＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
反思感悟 (1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
跟踪训练2 求下列函数的导数：
解 ∵
，
∴
.
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5).
解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
三、导数四则运算法则的应用
例3 (1)曲线y＝xln
x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是
√
解析 设曲线y＝xln
x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行.
∵y′＝ln
x＋1，
∴k＝ln
x0＋1＝1，
解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0).
(2)设f(x)＝a·ex＋bln
x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝
，求a，b的值.
反思感悟 (1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式.
(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题.
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝
，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为______.
1,1
(2)曲线y＝f(x)＝
(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为___.
1
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
1.知识清单：
(1)导数的运算法则.
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
(3)导数四则运算法则的应用.
2.方法归纳：公式法、转化法.
3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则.
课堂小结
随堂演练
1.函数y＝x(x2＋1)的导数是
A.x2＋1
B.3x2
C.3x2＋1
D.3x2＋x
解析 ∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，
∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
√
1
2
3
4
3.若函数f(x)＝
f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为
A.－1
B.0
C.1
D.2
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
√
1
2
3
4
4.已知函数f(x)＝ex·sin
x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______.
解析 ∵f(x)＝ex·sin
x，
∴f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
y＝x
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)下列运算中正确的是
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B.(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2′(x2)′
√
D.(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2(x2)′，故错误；
D项中，(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′，故正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，
√
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3.设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0等于
解析 ∵f(x)＝xln
x，
∴f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，
由f′(x0)＝2，得ln
x0＋1＝2，即ln
x0＝1，解得x0＝e.
√
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4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A.－1
B.－2
C.2
D.0
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
√
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5.设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的解集为
A.(0，＋∞)
B.(－1,0)∪(2，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.(－1,0)
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
√
所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞).
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6.(多选)当函数y＝
(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是
A.a
B.0
C.－a
D.a2
√
√
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7.已知函数f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，则m＝_____.
解析 因为f′(x)＝3x2－m，
所以f′(1)＝3－m＝0，所以m＝3.
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9.求下列函数的导数：
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10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
解 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
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(2)设函数g(x)＝exsin
x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
解 由(1)可知g(x)＝exsin
x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin
x＋excos
x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin
0＋e0cos
0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
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综合运用
11.已知曲线f(x)＝
在点(1，f(1))处切线的倾斜角为
，则实数a等于
A.1
B.－1
C.7
D.－7
√
12.已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln
x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于
解析 因为f(x)＝(x＋a)·ln
x，x>0，
√
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
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13.如图，有一个图象是函数f(x)＝
x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于
√
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解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，
此时a＝0，与题设不符合，
故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象.
由图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，
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14.已知函数f(x)＝
若f′(a)＝12，则实数a的值为
________.
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拓广探究
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15.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.
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解析 因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x
＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f′(0)＝84＝212＝4
096.
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16.已知函数f(x)＝
，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
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(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
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