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5.2.3 简单复合函数的导数
第5章
§5.2 导数的运算
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则
进行一些复合函数的求导.
学习目标
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数.
导语
随堂演练
课时对点练
一、复合函数概念的理解
二、求复合函数的导数
三、复合函数的导数的应用
内容索引
一、复合函数概念的理解
问题1 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？
提示 y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln
x中x的位置，
f(x)＝ln
x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，
则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数.
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.
知识梳理
例1 (多选)下列哪些函数是复合函数
A.y＝xln
x
B.y＝(3x＋6)2
解析 A不是复合函数；
BCD都是复合函数.
√
√
√
反思感悟 若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数.
跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数
√
√
√
二、求复合函数的导数
问题2 如何求函数y＝sin
2x的导数？
提示 y＝2sin
xcos
x，
由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos
2x；
从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin
u，
它的导数y′＝cos
u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，
它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.
复合函数的求导法则
一般地，我们有，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝_______.
注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
知识梳理
y′u·a
例2 求下列函数的导数：
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
(3)y＝log2(2x＋1)；
解 设y＝log2u，u＝2x＋1，
(4)y＝e3x＋2.
解 设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
跟踪训练2 求下列函数的导数：
解 y＝
，
设y＝
，u＝1－2x，
则y′x＝
(2)y＝5log2(1－x)；
解 函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
三、复合函数的导数的应用
例3 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝
相切，求a的值.
∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln
1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
反思感悟 正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
跟踪训练3 曲线y＝f(x)＝e2x·cos
3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为
，求直线l的方程.
解 y＝e2x·cos
3x的导数为y′＝2e2x·cos
3x＋(－3sin
3x)·e2x
＝e2x·(2cos
3x－3sin
3x).
曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos
0－3sin
0)＝2，
则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，
解得t＝6或－4.
则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
1.知识清单：
(1)复合函数的概念.
(2)复合函数的求导法则.
(3)复合函数的导数的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是
A.y＝un，u＝x2－1
B.y＝(u－1)n，u＝x2
C.y＝tn，t＝(x2－1)n
D.
t＝x2－1,
y＝tn
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2.已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为
√
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3.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于
√
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4.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_____.
解析 易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
2
课时对点练
基础巩固
1.(多选)下列函数是复合函数的是
√
解析 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成.
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2.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于
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3.函数y＝xln(2x＋5)的导数为
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4.函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，
解得a＝1(舍负).
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5.曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于
A.2e
B.e
C.6
D.2
解析 ∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，
∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.
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6.(多选)下列结论中不正确的是
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对于B，y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2，故正确；
对于C，y＝cos
5x，则y′＝－5sin
5x，故错误；
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7.已知f(x)＝xln
x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为_____.
解析 因为f′(x)＝ln
x＋1.
所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln
x0＋1＋x0ln
x0＝1.
解得x0＝1.
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8.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为____.
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，
则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
2
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
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9.求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
解 令u＝ex＋x2，
则y＝ln
u.
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(2)y＝102x＋3；
解 令u＝2x＋3，
则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln
10·(2x＋3)′＝2ln
10·102x＋3.
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解 设y＝
，u＝1－x2，
则y′x＝?
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解 ∵y＝sin
2xcos
3x，
∴y′＝(sin
2x)′cos
3x＋sin
2x(cos
3x)′
＝2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x.
(4)y＝sin
2xcos
3x.
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10.曲线y＝e2x＋1在点
处的切线与直线l平行，且与l的距离为
，
求直线l的方程.
解 因为y＝e2x＋1，所以y′＝2e2x＋1，所以k＝2，
设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，
所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0.
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综合运用
11.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为
√
解析 依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
k＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.
在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
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12.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是
√
解析 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0).
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13.(多选)已知点P在曲线y＝
上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是
√
√
因为ex>0，
所以y′∈[－1,0)，所以tan
α∈[－1,0).
又因为α∈[0，π)，
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14.设函数f(x)＝cos(
x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ
＝_____.
∵其为奇函数，
又0<φ<π，
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拓广探究
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15.若曲线y＝
在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相
垂直，则|x1－x2|的最小值为
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∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
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解 ∵f(x)＝eπxsin
πx，
∴f′(x)＝πeπxsin
πx＋πeπxcos
πx
＝πeπx(sin
πx＋cos
πx).
解 设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知k＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.
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165.2.3 简单复合函数的导数
学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．
导语
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．
一、复合函数概念的理解
问题1 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？
提示 y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln
x中x的位置，f(x)＝ln
x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数．
知识梳理
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．
例1 (多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝xln
x
B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin
x
D．y＝sin
答案 BCD
解析 A不是复合函数；BCD都是复合函数．
反思感悟 若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数．
跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝log2(2x＋1)
B．y＝2x2－
C．y＝2ln
x
D．y＝cos
答案 ACD
二、求复合函数的导数
问题2 如何求函数y＝sin
2x的导数？
提示 y＝2sin
xcos
x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos
2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin
u，它的导数y′＝cos
u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.
知识梳理
复合函数的求导法则
一般地，我们有，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝cos；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
解 (1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝.
(2)令u＝2x＋，则y＝cos
u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin
u·2＝－2sin.
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝＝.
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
解 (1)y＝，
设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝
＝
＝.
(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
＝＝.
(3)
设y＝sin
u，u＝4x＋，
则y′x＝(sin
u)′′＝cos
u·4＝4cos.
三、复合函数的导数的应用
例3 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
解 ∵f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′
＝2ax－，
∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln
1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相切，
∴圆心(0,0)到直线l的距离为，
∴＝，解得a＝.
反思感悟 正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3 曲线y＝f(x)＝e2x·cos
3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为，求直线l的方程．
解 y＝e2x·cos
3x的导数为y′＝2e2x·cos
3x＋(－3sin
3x)·e2x＝e2x·(2cos
3x－3sin
3x)．曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos
0－3sin
0)＝2，
则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l：y＝2x＋t，由d＝＝，
解得t＝6或－4.
则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
1.知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2.方法归纳：转化法．
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D.
t＝x2－1,
y＝tn
答案 AD
2．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为( )
A.
B.
C.
D．1
答案 B
解析 求导得f′(x)＝，则f′(2)＝＝2，解得a＝.
3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于( )
A．1
B.
C．－1
D．－2
答案 B
解析 f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝.
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 2
解析 易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
故a×＝－1，则a＝2.
课时对点练
1．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝－x3－＋1
B．y＝cos
C．y＝
D．y＝(2x＋3)4
答案 BCD
解析 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
其中B由y＝cos
u，u＝x＋复合而成；
C由y＝，u＝ln
x复合而成；
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．
2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于( )
A．ln
3
B．－ln
3
C.
D．－
答案 C
解析 f′(x)＝，故f′(2)＝.
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
答案 B
解析 ∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.
4．函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案 A
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．
5．曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．6
D．2
答案 C
解析 ∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，
∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.
6．(多选)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cos?，则y′＝－sin?
B．若y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2
C．若y＝cos
5x，则y′＝－sin
5x
D．若y＝xsin
2x，则y′＝xsin
2x
答案 ACD
解析 对于A，y＝cos?，则y′＝sin?，故错误；
对于B，y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2，故正确；
对于C，y＝cos
5x，则y′＝－5sin
5x，故错误；
对于D，y＝xsin
2x，则y′＝sin
2x＋xcos
2x，故错误．
7．已知f(x)＝xln
x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为________．
答案 1
解析 因为f′(x)＝ln
x＋1.
所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln
x0＋1＋x0ln
x0＝1.
解得x0＝1.
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
答案 2
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又曲线的导数为y′＝，
∴k＝＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝；
(4)y＝sin
2xcos
3x.
解 (1)令u＝ex＋x2，
则y＝ln
u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，
则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln
10·(2x＋3)′＝2ln
10·102x＋3.
(3)设y＝，u＝1－x2，
则y′x＝
(4)∵y＝sin
2xcos
3x，
∴y′＝(sin
2x)′cos
3x＋sin
2x(cos
3x)′
＝2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x.
10．曲线y＝e2x＋1在点处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解 因为y＝e2x＋1，所以y′＝2e2x＋1，所以k＝2，故曲线在点处的切线方程为2x－y＋2＝0，设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，由＝得，m＝7或－3，所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0.
11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D．1
答案 A
解析 依题意得
y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
k＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.
12．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A.
B．2
C．3
D．0
答案 A
解析 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴k＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
13．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A.
B.
C.
D.
答案 CD
解析 因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，
所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，
所以tan
α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈.
14．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
答案
解析 ∵f′(x)＝－sin(x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
∵其为奇函数，
∴g(0)＝0，即cos
φ－sin
φ＝0，
∴tan
φ＝，
又0<φ<π，
∴φ＝.
15．若曲线y＝sin
2x＋cos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最小值为( )
A.
B.
C.
D．π
答案 B
解析 ∵y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋×＝sin＋，
∴y′＝cos，
∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有2x1＋＝2k1π(k1∈Z)，2x2＋＝2k2π＋π(k2∈Z)，
则可得x1－x2＝(k1－k2)π－＝kπ－(k∈Z)，
所以|x1－x2|min＝.
16．(1)已知f(x)＝eπxsin
πx，求f′(x)及f′；
(2)在曲线y＝上求一点，使在该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
解 (1)∵f(x)＝eπxsin
πx，
∴f′(x)＝πeπxsin
πx＋πeπxcos
πx
＝πeπx(sin
πx＋cos
πx)．
∴f′＝＝.
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知k＝0.
又y′＝，
∴k＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.
