广西南宁市六校联考2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析

2021年春季学期期末考试南宁市六校联考理科数学试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2020年1月至2020年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
4．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
5．“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积公式为：）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）
A．60米 B．100米 C．130米 D．160米
6．已知向量，满足，，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中，含项的系数为（ ）
A．45 B． C．15 D．
8．若，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．有6个座位连成一排，安排三人就座，三个空位两两不相邻的不同坐法有（ ）种
A．12 B．24 C．36 D．48
11．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．20
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设变量，满足，则的最小值为________．
14．在某市2021年1月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为________．（附：若，则，．
15．函数（，）的部分图像如图所示，则________．
16．点为双曲线：（，）的左焦点，直线分别与双曲线的左、右两支交于、两点：且满足，为坐标原点，，则双曲线的离心率________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若的面积为，为边的中点，求的最小值．
18．（本题满分12分）为了增强消防意识，某部门从男职工中随机抽取了50人，从女职工中随机抽取了40人参加消防知识测试，按优秀程度制作了如下列联表：
优秀 非优秀 总计
男职工 35

女职工


总计 50

（1）完成列联表，并判断是否有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；
（2）为参加市里举办的消防知识竞赛，该部门举行了预选赛，己知在消防知识测试中优秀的职工通过预选赛的概率为，现从消防知识测试中优秀的职工中选3人参加预选赛，设随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望．
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．（本题满分12分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
20．（本题满分12分）设数列的前项和为，________．
从①数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（本题满分12分）已知，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分12分）如图所示，已知圆：，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若过定点的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足，求的取值范围．
2021年春季学期期末考试
南宁市六校联考理科数学试卷参考答案
1．D ，，．
2．C 因为，所以，选：C．
3．D A．根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A不正确．B．月跑步平均里程不是逐月增加，因此B不正确；C．月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C不正确；D．1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确．故选：D．
4．B 若抛物线的准线方程：，由抛物线的定义得：，解得：．故选：B．
5．C 由题意得：，，
，故选：C．
6．D 向量，满足，，则，得，由，得，向量与的夹角为，，，所以．
7．A 由二项式定理展开式中有和，所以的展开式中含项的系数为．故选：A．
8．D 解：
，所以，解得或，又
，所以，所以，故选：D．
9．C 由三视图还原原几何体的直观图如下图所示，则平面，、平面，
可得，，，
取的中点，连接、，，则，且，故，则，，平面，平面，则，且，，则平面，平面，则，，因此，该几何体的表面积为．故选：C．
10．B 先将三人全排，然后将三个空位插入三人所形成的四个空隙中，
所以，不同的坐法种数为．故选：B．
11．D 设，，则恒成立，函数在上单调递增，又，，，，，
，故选：D．
12．A 是偶函数，，所以，的周期为，作出的函数图象如图所示：由图象可知的图象关于点对称．令可得，令，显然的函数图象关于点对称．作出在上的函数图象如图所示：由图象可知与在上有5个交点，根据对称性可知在上也有5个交点，在上的所有零点个数为10．
13．5
画出表示的可行域如图，由，得，平移直线，由图知，当直线经过时，有最小值，故答案为5．
14．0.1359 因为所有学生的数学成绩服从正态分布，所以，，所以根据正态分布的对称性可知，，故答案为：0.1359．
15． 由函数的最值可得：，函数的周期为：，则：，
当时：，解得：，令可得：
，函数的解析式为：，据此可得：对任意的正整数：
，则：．
16． 如图，设双曲线的另一个焦点为，连接，．
根据双曲线的对称性可得，为平行四边形．由，在，中，．
，得．
在中有，，得，．
由双曲线的定义有：在中：，即化简整理得：，两边同时除以化为：解得：．所以双曲线的离心率为：．
17．解：（1）由，可得，
所以，即
，
又，化简可得，即，
因为，所以．
（2）因为，所以，在中，由余弦定理可得
，当且仅当，时，等号成立，所以，即的最小值为．
18．解：（1）因为男职工50人，优秀85人，所以非优秀15人，
女职工优秀15人，所以非优秀25人，列联表如下：
优秀 非优秀 总计
男职工 35 15 50
女职工 15 25 40
总计 50 40 90
，
没有把握认为是否优秀与性别有关．
（2）的可能取值是0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为
0 1 2 3




即 ．
19．解：（Ⅰ）取中点为，连接、，，
四边形为平行四边形，则且．四边形为矩形，且，且，四边形为平行四边形，则．平面，平面，平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，，，则
，取，得，，设直线与平面所成角为，则．
所以所以与平面所成角的余弦值为．
20．解：（1）选①：因为，，成等差数列，所以，
又因为数列的公比为2，所以，即，解得，
所以．
选②：因为，当时，，解得．当时，，
所以．
即．所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．选
选③：因为，所以当时，，当时，，所以，当时，依然成立．
所以．
（2）由（1）知，则，
所以，①
，②
①②得
．所以．所以数列的前项和．
21．解：（1）的定义域为，
，
令得或，当变化时，，变化如下：

0
2

0
0
增 极大值 减 极小值 增
所以的单调递增区间为和，递减区间为．
（2）因为定域为，的定义域为令
则，所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以，
则，所以．
故实数的取值范围为．
29．解：（1）连接，，，为的垂直平分线，，又，，动点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距，，，，曲线的方程为．
（2）①当直线斜率不存在，方程为，则，．
②当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得：
．由得．设，，则，，又，，，则，
，，，解得：．
又，．综上所述：的取值范围为．