5.3.2 极大值与极小值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
导语
同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．这就是我们今天要研究的函数的极值．
一、函数极值概念的理解
问题1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示 在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷．
问题2 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示 以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
知识梳理
极值的概念
一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)上是增函数；
②函数y＝f(x)在区间上是减函数；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)上是增函数；
④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
答案 ③⑤
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以①错误；
对于②，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，故当x＝－时，f?不是极大值，所以④错误；
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间内的极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，
其中c
所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上是增函数，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上是减函数，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值．
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
二、求函数的极值(点)
例2 (1)关于函数f(x)＝的极值点，下列判断正确的是( )
A．f(x)只有1个极值点，且该极值点为极小值点
B．f(x)有2个极值点，且x＝－为极值点
C．f(x)只有1个极值点，且该极值点为极大值点
D．f(x)有2个极值点，且x＝－为极大值点
答案 A
解析 ∵f′(x)＝，
∴当x<－时f′(x)<0，f(x)为减函数；
当－－1时f′(x)>0，f(x)为增函数．
故函数只有一个极值点，且x＝－是极小值点．
(2)求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
解 函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
跟踪训练2 (1)“a>2”是“函数f(x)＝ex在上有极值”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 ∵f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，令f′(x)＝0，可得x＝a－1.
当xa－1时，f′(x)>0.
∴函数y＝f(x)在x＝a－1处取得极小值．
若函数y＝f(x)在上有极值，则a－1>0，∴a>1.
因此“a>2”是“函数f(x)＝ex在上有极值”的充分不必要条件．
(2)求函数f(x)＝x3－x的极值．
解 函数f(x)的定义域为R.
令f′(x)＝0，得3x2－1＝0，解得x＝－或x＝.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
x
－
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
－
↗
f(x)在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值－.
三、由极值求参数的值或范围
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝____________，b＝________.
答案 －3 －9
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意知，－1,3是3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
∴a＝－3，b＝－9.
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
反思感悟 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
跟踪训练3 若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；
当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－1．知识清单：
(1)函数极值的定义．
(2)函数极值的判定及求法．
(3)函数极值的应用．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：容易混淆为导数值等于零时此点为极值点．
1．(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)是增函数
B．在(3,4)上函数f(x)是减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
答案 ABC
解析 根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函数，在(2,4)上是减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．
2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个增区间是( )
A．(－∞，2)
B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，3)
答案 AB
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
答案 D
解析 令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.
当x＜－1时，f′(x)＜0；
当x＞－1时，f′(x)＞0.
故x＝－1为f(x)的极小值点．
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝_________，
b＝________.
答案 2 －4
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知即
解得经验证知符合题意．
课时对点练
1．下列函数中存在极值的是( )
A．y＝
B．y＝x－ex
C．y＝2
D．y＝x3
答案 B
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，
令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值．
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案 D
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当1当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
3．函数f(x)＝(x－1)ex的极小值点为( )
A．(0，－1)
B．(0,0)
C．－1
D．0
答案 D
解析 由题意得f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，
故当x＝0时，f(x)的极小值为f(0)＝－1，故极小值点为0.
4．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A．－4
B．－2
C．4
D．2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)是增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)是减函数，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
5．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于( )
A．－3或3
B．3或－9
C．3
D．－3
答案 C
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴
解得或
当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，当－31时，f′(x)>0，x＝1是极小值点；
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点．
∴a＝3.
6．(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是( )
A．－4
B．－3
C．6
D．8
答案 AD
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，
所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
7．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______________．
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
8．已知关于x的函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取得极值－，则b＝________，c＝________.
答案 －1 3
解析 f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由
解得或
若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，
此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
当－30，当x>1时，f′(x)<0，
所以当x＝1时，f(x)有极大值－.
故b＝－1，c＝3即为所求．
9．设函数f(x)＝aln
x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解 (1)f′(x)＝－＋(x>0)．
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln
x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．
10．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)的极大值是f?＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f?＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
答案 C
解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，
所以当x＜－2时，
f(x)为减函数，
即f′(x)＜0；
当x＞－2时，f(x)为增函数，即f′(x)＞0.
所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；
当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；
当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；
当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.
结合选项中的图象知选C.
12．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
答案 B
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上为增函数，不符合题意；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln
a，
∴当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln
a为f(x)的极值点，∴ln
a<0，∴a∈(0,1)．
13．若函数f(x)＝x3－x2＋3a2x－3a2－在x＝3处取得极大值，则常数a的值为( )
A．3
B．2
C．3或2
D．－3或－2
答案 A
解析 ∵f(x)＝x3－x2＋3a2x－3a2－，
∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，
由题意可得f′＝2×9－15a＋3a2＝0，
整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，f′(x)＝2x2－10x＋12＝2，
令f′(x)>0，得x<2或x>3；令f′(x)<0，得2此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意；
当a＝3时，f′(x)＝2x2－15x＋27＝.
令f′(x)>0，得x>或x<3；
令f′(x)<0，得3此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意．
综上所述，a＝3.
14．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
答案 [1,5)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
15.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．小于或等于0
答案 B
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根．
∴x0＋2＝－<0，即>0.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，
∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，
∴f(1)＋f(－1)>0.
16．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠，得－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2ax
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.(共73张PPT)
5.3.2 极大值与极小值
第5章
§5.3 导数在研究函数中的应用
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数
的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
学习目标
同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.
导语
随堂演练
课时对点练
一、函数极值概念的理解
二、求函数的极值(点)
三、由极值求参数的值或范围
内容索引
一、函数极值概念的理解
问题1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示 在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
问题2 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示 以山峰x＝x1处为例来研究，
在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，
且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，
在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，
且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，
f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
极值的概念
一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个
；当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个
.函数的极大值、极小值统称为函数的
.
知识梳理
极大值
极小值
极值
注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
例1 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)上是增函数；
②函数y＝f(x)在区间
上是减函数；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)上是增函数；
④当x＝
时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值.
则上述判断中正确的序号是______.
③⑤
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
反思感悟 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间
内的极小值点的个数为
√
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，
其中c所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上是增函数，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上是减函数，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
二、求函数的极值(点)
例2 (1)关于函数f(x)＝
的极值点，下列判断正确的是
A.f(x)只有1个极值点，且该极值点为极小值点
B.f(x)有2个极值点，且x＝
为极值点
C.f(x)只有1个极值点，且该极值点为极大值点
D.f(x)有2个极值点，且x＝
为极大值点
√
(2)求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.
解 函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
跟踪训练2 (1)“a>2”是“函数f(x)＝
上有极值”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
令f′(x)＝0，可得x＝a－1.
当x当x>a－1时，f′(x)>0.
∴函数y＝f(x)在x＝a－1处取得极小值.
(2)求函数f(x)＝x3－x的极值.
解 函数f(x)的定义域为R.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
三、由极值求参数的值或范围
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝_____，b＝_____.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意知，－1,3是3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
∴a＝－3，b＝－9.
－3
－9
(2)已知函数f(x)＝
(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围.
解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示.
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
反思感悟 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
跟踪训练3 若函数f(x)＝
x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交
点，则实数a的取值范围是_________.
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
且f(x)在(－∞，－2)上是增函数，
在(－2,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
1.知识清单：
(1)函数极值的定义.
(2)函数极值的判定及求法.
(3)函数极值的应用.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：容易混淆为导数值等于零时此点为极值点.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是
A.在(1,2)上函数f(x)是增函数
B.在(3,4)上函数f(x)是减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
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2
3
4
√
√
√
解析 根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；
x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函数，
在(2,4)上是减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.
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4
2.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个增区间是
A.(－∞，2)
B.(3，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.(－∞，3)
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
√
√
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2
3
4
3.设函数f(x)＝xex，则
A.x＝1为f(x)的极大值点
B.x＝1为f(x)的极小值点
C.x＝－1为f(x)的极大值点
D.x＝－1为f(x)的极小值点
解析 令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.
当x＜－1时，f′(x)＜0；
当x＞－1时，f′(x)＞0.
故x＝－1为f(x)的极小值点.
√
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3
4
4.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝
是y＝f(x)的极值点，则a＝____，b＝_____.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
2
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课时对点练
基础巩固
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1.下列函数中存在极值的是
A.y＝
B.y＝x－ex
C.y＝2
D.y＝x3
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，
令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值.
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2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
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解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当1当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值.
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3.函数f(x)＝(x－1)ex的极小值点为
A.(0，－1)
B.(0,0)
C.－1
D.0
解析 由题意得f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，
故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，
故当x＝0时，f(x)的极小值为f(0)＝－1，故极小值点为0.
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4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于
A.－4
B.－2
C.4
D.2
解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)是增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)是减函数，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
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5.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于
A.－3或3
B.3或－9
C.3
D.－3
√
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，
当－3当x>1时，f′(x)>0，x＝1是极小值点；
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点.
∴a＝3.
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6.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是
A.－4
B.－3
C.6
D.8
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，
所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
√
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7.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_______________________.
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
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8.已知关于x的函数f(x)＝
x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取得
极值
，则b＝_____，c＝_____.
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解析 f′(x)＝－x2＋2bx＋c，
若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，
此时f(x)没有极值；
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若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
当－30，当x>1时，f′(x)<0，
故b＝－1，c＝3即为所求.
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9.设函数f(x)＝aln
x＋
＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值；
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
解得a＝－1.
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(2)求函数f(x)的极值.
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当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(1，＋∞)上是增函数.
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.
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10.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
解 f′(x)＝3x2－2x－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
极小值是f(1)＝a－1.
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(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
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解 函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
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综合运用
11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是
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解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，
所以当x＜－2时，
f(x)为减函数，
即f′(x)＜0；
当x＞－2时，f(x)为增函数，即f′(x)＞0.
所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；
当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；
当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；
当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.
结合选项中的图象知选C.
12.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是
A.(－1,0)
B.(0,1)
C.(－∞，－1)
D.(1，＋∞)
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上为增函数，不符合题意；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln
a，
∴当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln
a为f(x)的极值点，∴ln
a<0，∴a∈(0,1).
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∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，
整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.
令f′(x)>0，得x<2或x>3；
令f′(x)<0，得2此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意；
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此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意.
综上所述，a＝3.
14.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________.
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根.
[1,5)
∴1≤a<5.
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拓广探究
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15.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.小于或等于0
√
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解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，
∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，
∴f(1)＋f(－1)>0.
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16.已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠
时，求函数f(x)的单调区间与极值.
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
分以下两种情况讨论：
①若a>
，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
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所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.
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当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，
在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.
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