(共70张PPT)
5.3.3 最大值与最小值
第5章
§5.3 导数在研究函数中的应用
1.理解最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上的最值并能解决生活中的最值问题.
学习目标
同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值.
导语
随堂演练
课时对点练
一、极值与最值的关系
二、求函数的最值
三、用导数解决实际问题
内容索引
一、极值与最值的关系
问题1 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？
提示 最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，
最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，
而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在.
问题2 开区间上的连续函数有最值吗？
提示 如图.
容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到.
函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值.
注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.
知识梳理
例1 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
解 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，
在x2处取得极大值，
最大值在b处取得，最大值为f(b).
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
跟踪训练1 设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是
A.f(x)的极值点一定是最值点
B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
√
解析 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点.
可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确.
二、求函数的最值
求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的
；(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)
，得到f(x)在区间[a，b]上的
与
.
知识梳理
极值
比较
最大值
最小值
例2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
解 因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
令f′(x)＝0，
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.
因为f(0)＝1，f(2π)＝π＋1，
所以当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π＋1，
反思感悟 求函数最值需注意的点
(1)确定函数的定义域.
(2)求出定义域内的每一个极值与最值.
(3)比较所求的每一个极值与最值.
(4)得出结论.
跟踪训练2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
↘
∴f(x)在(－∞，2)上是增函数，
在(2，＋∞)上是减函数，
三、用导数解决实际问题
例3 如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；
当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.
∵EF＝60－2x，
＝8x(30－x)＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋8×152(0∴当x＝15时，S取得最大值，最大为1
800
cm2.
延伸探究
本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
反思感悟 解决最优问题应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.
跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
解 由题设可知，隔热层厚度为x
cm，
又建造费用为C1(x)＝6x.
则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
当0当50，
故x＝5是f(x)的最小值点，
即当隔热层修建5
cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元.
1.知识清单：
(1)函数最值的定义.
(2)求函数最值.
(3)函数最值的应用.
2.方法归纳：转化化归、分类讨论.
3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.
课堂小结
随堂演练
1.下列结论正确的是
A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
解析 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
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2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高应为
√
解析 设圆锥的高为h
cm,01
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3.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)
A.有最值，但无极值
B.有最值，也有极值
C.既无最值，也无极值
D.无最值，但有极值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1,1)上是减函数，
无最大值和最小值，也无极值.
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4.函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是_____.
解析 f(x)＝(x＋1)ex?f′(x)＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x<－2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
因此当x＝－2时，函数有最小值，
课时对点练
基础巩固
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1.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)
A.等于0
B.小于0
C.等于1
D.不确定
解析 因为M＝m，
所以f(x)为常函数，
故f′(x)＝0，故选A.
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C.π
D.π＋1
所以y的最大值为ymax＝π－sin
π＝π.
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3.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是
A.1，－1
B.1，－17
C.3，－17
D.9，－19
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0].
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.
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4.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则
A.函数f(x)没有最大值也没有最小值
B.函数f(x)有最大值，没有最小值
C.函数f(x)没有最大值，有最小值
D.函数f(x)有最大值，也有最小值
解析 由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值.
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5.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)
A.30元
B.60元
C.28
000元
D.23
000元
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解析 设毛利润为L(P).
则L(P)＝PQ－20Q
＝(8
300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11
700P－166
000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11
700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去).
此时，L(30)＝23
000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元.
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6.(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是
A.f(x)>0的解集是{x|0B.f(－
)是极小值，f(
)是极大值
C.f(x)没有最小值，也没有最大值
D.f(x)有最大值无最小值
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√
√
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解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
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当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确.
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7.函数f(x)＝exsin
x在区间
上的值域为_________.
解析 f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x).
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8.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是___________.
[－4，－2]
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9.求下列函数的最值：
解 f′(x)＝cos
x－sin
x.
令f′(x)＝0，即tan
x＝1，
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解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当1又f(0)＝0，f(2)＝ln
3－1>0，f(1)>f(2).
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10.如图，某段铁路AB长为80公里，BC⊥AB，且BC＝10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上距点B为x公里的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元.
(1)将总运费y表示为x的函数；
解 依题意，铁路AM上的运费为2(80－x)元，
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(2)如何选点M才能使总运费最少？
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综合运用
11.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A.f(a)－g(a)
B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b)
D.f(b)－g(a)
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解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上是减函数，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
12.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A.20
B.18
C.3
D.0
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，
所以f(x)在[－1,1]上是减函数，
在[1,2]和[－3，－1]上是增函数.
又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，
又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，
所以t≥20，故选A.
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13.函数f(x)＝x－ln
x与g(x)＝xex－ln
x－x的最小值分别为a，b，则
A.a＝b
B.a>b
C.aD.a，b的大小不能确定
√
令f′(x)<0，解得00，解得x>1，
则f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
g(x)＝xex－ln
x－x，定义域为(0，＋∞)，
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故存在x0∈(0,1)使得h(x)＝0，即x0
＝1，
即x0＋ln
x0＝0，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)是减函数，
故当x＝x0时，函数取得最小值g(x0)＝x0
－ln
x0－x0＝1－ln
x0－x0＝1，
即b＝1，
所以a＝b.
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14.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱
容器的底面边长为____时，其容积最大.
解析 设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，
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拓广探究
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15.已知函数f(x)＝－
x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是_______________.
15x－3y－2＝0
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解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
即15x－3y－2＝0.
16.已知函数f(x)＝aln
x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－
相切.
(1)求a，b的值；
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令f′(x)>0，得01，5.3.3 最大值与最小值
学习目标 1.理解最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上的最值并能解决生活中的最值问题．
导语
同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值．
一、极值与最值的关系
问题1 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？
提示 最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在．
问题2 开区间上的连续函数有最值吗？
提示 如图．
容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到．
知识梳理
函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值．
注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
例1 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．
解 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f，f，极大值为f；比较极值和端点值可知函数的最小值是f，最大值在b处取得，最大值为f(b)．
反思感悟 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
跟踪训练1 设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
答案 C
解析 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．
二、求函数的最值
知识梳理
求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
例2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋cos
x，x∈[0,2π]．
解 (1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，
解得x＝－
或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，f(－)＝8，
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝－sin
x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
因为f(0)＝1，f(2π)＝π＋1，
f?＝＋，f?＝－.
所以当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π＋1，
当x＝时，f(x)有最小值f?＝－.
反思感悟 求函数最值需注意的点
(1)确定函数的定义域．
(2)求出定义域内的每一个极值与最值．
(3)比较所求的每一个极值与最值．
(4)得出结论．
跟踪训练2 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝.
解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)函数f(x)＝的定义域为R.
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
↘
∴f(x)在(－∞，2)上是增函数，
在(2，＋∞)上是减函数，
∴f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝.
三、用导数解决实际问题
例3 如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解 ∵AE＝x，∴HE＝x，EF＝60－2x，
∴EG＝(60－2x)，
∴V(x)＝(x)2×(60－2x)×
＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；
当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．
∴包装盒的底面边长为x＝20(cm)，
高为(30－x)＝10(cm)，
∴当x＝20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为.
延伸探究
本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解 ∵AE＝x，∴HE＝x.
∵EF＝60－2x，
∴EG＝EF＝(60－2x)＝(30－x)．
∴S＝4×HE×EG＝4×x×(30－x)
＝8x(30－x)＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋8×152(0∴当x＝15时，S取得最大值，最大为1
800
cm2.
反思感悟 解决最优问题应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解 (1)由题设可知，隔热层厚度为x
cm，
每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，
得k＝40，因此C(x)＝.
又建造费用为C1(x)＝6x.
则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，
即＝6，解得x1＝5，x2＝－(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为
f(5)＝6×5＋＝70.
即当隔热层修建5
cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元．
1．知识清单：
(1)函数最值的定义．
(2)求函数最值．
(3)函数最值的应用．
2．方法归纳：转化化归、分类讨论．
3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
答案 D
解析 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高应为( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
答案 B
解析 设圆锥的高为h
cm,0∴V＝π(202－h2)×h＝π(400－h2)h
∴V′＝π(400－3h2)，令V′＝0，得h＝，
当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，
故当h＝时，体积最大．
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最值，但无极值
B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值
D．无最值，但有极值
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1,1)上是减函数，
无最大值和最小值，也无极值．
4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．
答案 －
解析 f(x)＝(x＋1)ex?f′(x)＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－.
课时对点练
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0
B．小于0
C．等于1
D．不确定
答案 A
解析 因为M＝m，
所以f(x)为常函数，
故f′(x)＝0，故选A.
2．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
答案 C
解析 y′＝1－cos
x，当x∈时，y′>0，
则函数在区间上是增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin
π＝π.
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1
B．1，－17
C．3，－17
D．9，－19
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0]．
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.
4．如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则( )
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值，也有最小值
答案 C
解析 由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值．
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
答案 D
解析 设毛利润为L(P)．
则L(P)＝PQ－20Q
＝(8
300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11
700P－166
000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11
700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23
000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
6．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f(x)>0的解集是{x|0B．f(－)是极小值，f()是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值无最小值
答案 ABD
解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确．
7．函数f(x)＝exsin
x在区间上的值域为______．
答案
解析 f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)．
因为x∈，所以f′(x)>0.
所以f(x)在上为增函数，
所以f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f?＝.
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案 [－4，－2]
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
9．求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin
x＋cos
x，x∈；
(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]．
解 (1)f′(x)＝cos
x－sin
x.
令f′(x)＝0，即tan
x＝1，
且x∈，
所以x＝.
又因为f?＝，
f?＝－1，f?＝1，
所以当x∈时，函数的最大值为f?＝，
最小值为f＝－1.
(2)f′(x)＝－x，
令－x＝0，化简为x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当1所以f(1)＝ln
2－为函数f(x)的极大值．
又f(0)＝0，f(2)＝ln
3－1>0，f(1)>f(2)．
所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0,2]上的最小值，
f(1)＝ln
2－为函数在[0,2]上的最大值．
10.如图，某段铁路AB长为80公里，BC⊥AB，且BC＝10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上距点B为x公里的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元．
(1)将总运费y表示为x的函数；
(2)如何选点M才能使总运费最少？
解 (1)依题意，铁路AM上的运费为2(80－x)元，
公路MC上的运费为4元，
则由A地到C地的总运费
y＝2(80－x)＋4(0≤x≤80)．
(2)y′＝－2＋(0≤x≤80)，
令y′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．
当0≤x≤时，y′≤0；当≤x≤80时，y′≥0.
故当x＝时，y取得最小值，即当在距离点B为公里的点M处修筑公路至C时总运费最少．
11．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上是减函数，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
12．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20
B．18
C．3
D．0
答案 A
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上是减函数，在[1,2]和[－3，－1]上是增函数．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.
13．函数f(x)＝x－ln
x与g(x)＝xex－ln
x－x的最小值分别为a，b，则( )
A．a＝b
B．a>b
C．aD．a，b的大小不能确定
答案 A
解析 f(x)的定义域是，
f′(x)＝1－＝，
令f′(x)<0，解得00，解得x>1，
则f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
f(x)的最小值是f＝1，故a＝1，
g(x)＝xex－ln
x－x，定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝ex－－1＝，
令h(x)＝xex－1，则h′(x)＝ex>0，x∈(0，＋∞)．
则可得h(x)在(0，＋∞)上是增函数，且h＝－1<0，h＝e－1>0，
故存在x0∈(0,1)使得h(x)＝0，即x0＝1，
即x0＋ln
x0＝0，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)是减函数，
当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)是增函数，
故当x＝x0时，函数取得最小值g(x0)＝x0－ln
x0－x0＝1－ln
x0－x0＝1，即b＝1，
所以a＝b.
14.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．
答案
解析 设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)，则V′＝(12x2－8x＋1)，令V′＝0，得x＝(舍去)或x＝，当x∈时，V′>0，当x∈时，V′<0.故当x＝时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为.
15．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．
答案 15x－3y－2＝0
解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
16．已知函数f(x)＝aln
x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
解 (1)f′(x)＝－2bx(x>0)．
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln
x－x2，定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在上是增函数，在(1，e]上是减函数，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
