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第3课时 函数单调性的应用
第5章
5.3.1 单调性
1.掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系.
2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.
3会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、由单调性求参数的取值范围
二、比较大小
三、函数图象的增长快慢的比较
内容索引
一、由单调性求参数的取值范围
问题1 对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？
提示 在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，
故不会影响该函数在R上是增函数.
也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性.
问题2 对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
提示 不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，
对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，
如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无增区间.
对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的
；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的
.
若函数f(x)在某区间上是增函数，则
；若函数f(x)在某区间上是减函数，则
.
注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min(需要对等号进行单独验证).
知识梳理
增函数
减函数
f′(x)≥0
f′(x)≤0
例1 已知函数f(x)＝
x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.
解 f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数，
故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.
经验证，a＝0时成立，故a≤0.
延伸探究
1.本例函数不变，若函数f(x)在
上是增函数，求实数a的最大值.
即a≤x2恒成立，即a≤1，故实数a的最大值是1.
经验证a＝1时成立，故amax＝1.
2.本例函数不变，若函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围.
解 由题意知f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，即a≤4.
经验证a＝4时成立，故a≤4.
反思感悟 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)
≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
跟踪训练1 (1)函数y＝
x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是
A.(－∞，1)
B.(－∞，1]
C.(1，＋∞)
D.[1，＋∞)
即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，
∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.
√
(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是
A.(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)
B.(－3，－1)∪(1,3)
C.(－2,2)
D.不存在这样的实数k
√
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，
且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2
∴1二、比较大小
例2 (1)已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则
A.x>y
B.x＝y
C.xD.x，y的大小不确定
解析 设f(t)＝2t＋2t，
所以f′(t)＝2＋2tln
2>0，
所以函数f(t)在R上是增函数，
由题意得f(x)所以x√
故f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又e<π，故f(e)A.f(e)>f(π)
B.f(e)C.f(e)＝f(π)
D.无法确定
√
反思感悟 比较大小的解题类型：
(1)通过已知函数的特点，联想到构造函数，利用导数研究函数的单调性比较大小.
(2)通过判断导函数的图象，根据导函数的符号，确定原函数的单调性比较大小.
跟踪训练2 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是
A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(e)>f(d)
解析 由导函数f′(x)的大致图象知，
当x≤c时，f′(x)≥0恒成立，f(x)为增函数，
又af(b)>f(a).
√
三、函数图象的增长快慢的比较
问题3 观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？
提示 由图象可知若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；
同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然
越大，函数f(x)减少的就
越快.
函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
知识梳理
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系.
例3 如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
解析 由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.
√
反思感悟 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是
√
解析 ∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，
∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)即在a，x1，x2，b处它们的斜率是依次增大的.
∴A满足上述条件；
对于B，存在x1f′(x2)；
对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；
对于D，对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.
1.知识清单：
(1)根据函数的单调性求参数的取值范围.
(2)根据单调性比较大小.
(3)函数图象增长快慢的比较.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.
课堂小结
随堂演练
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是
解析 由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f′(x)先小于零后大于零最后等于0.
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√
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2.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是
A.f(a)＞f(b)＞f(0)
B.f(0)＜f(c)＜f(d)
C.f(b)＜f(0)＜f(c)
D.f(c)＜f(d)＜f(e)
解析 由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以f(a)f(b)>f(0)>f(c)，B，C错误；
f(c)√
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3.若函数f(x)＝
x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为
A.－1≤a≤2
B.－2≤a≤1
C.a＞2或a＜－1
D.a＞1或a＜－2
解析 若函数f(x)有3个单调区间，
则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
√
4.若f(x)＝－
x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是
_____________.
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
(－∞，－1]
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
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课时对点练
基础巩固
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1.设函数f(x)＝2x＋sin
x，则
A.f(1)>f(2)
B.f(1)C.f(1)＝f(2)
D.以上都不正确
解析 f′(x)＝2＋cos
x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)√
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2.已知函数f(x)＝x－
－2ln
x在(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是
A.k>0
B.k>1
C.k≥0
D.k≥1
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.
√
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3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln
x在(1,2)上为增函数，则a等于
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，
√
即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有
A.f′(x)>0，g′(x)>0
B.f′(x)>0，g′(x)<0
C.f′(x)<0，g′(x)>0
D.f′(x)<0，g′(x)<0
解析 由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.
∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)在(－∞，0)上是减函数，
∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
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5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是
解析 检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D.
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A.a≥2
B.a＝2
C.a≥1
D.a>2
√
√
①当a＝0时，－2x＋2≥0?01
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故选AC.
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7.若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的减区间是
，则实数m的值为______.
解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
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b>a>c
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9.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；
解 由f(x)，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0对?x∈R恒成立，
即a≤3x2对?x∈R恒成立，只需a≤(3x2)min，
而(3x2)min＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意，
故a的取值范围是(－∞，0].
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(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，
所以f′(x)<0对?x∈(－1,1)恒成立，
即a≥3x2对?x∈(－1,1)恒成立，
易得函数y＝3x2的值域为[0,3)，所以a≥3，
即实数a的取值范围是[3，＋∞).
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10.已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln
x，a∈R.
(1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；
∴若f′(x)>0，得x>3；若f′(x)<0，得0∴f(x)的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3).
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(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围；
则a≤2x2－4x＋2恒成立，
令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，则a≤g(x)min即可，
而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.
∴a≤2.
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(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围.
即g(x)＝2x2－4x＋2－a<0在区间(0，＋∞)上有解，
而g(x)的对称轴为x＝1且开口向上，
∴必有Δ＝16－8(2－a)>0，即a>0.
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综合运用
11.若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在
区间上是增函数，则实数c的取值
范围是
A.(－∞，2]
B.(－∞，4]
C.(－∞，8]
D.[－2,4]
√
解析 易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
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12.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式
的解集为
√
解析 若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，
则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，
由导函数y＝f′(x)的图象可知，
若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，
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令h(x)＝2x2－2bx＋1，
14.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上是减函数，则实数m的取值范围是________.
解析 令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，
解得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)?[－2,2]，
[－1,1)
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拓广探究
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15.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g
，b＝
，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为
A.aB.cC.bD.b√
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解析 奇函数f(x)在R上是增函数，
当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
又g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，且g(x)＝xf(x)为偶函数，
∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
又2∴由g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴b16.已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1).
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的增区间是(－1,1)，减区间是(1，＋∞).
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(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.
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易求得在区间[1，＋∞)上，g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
解 因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，
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16§5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
第1课时 单调性
学习目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
导语
我们知道f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容．
一、函数的单调性与导数的关系
问题 观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系．
提示 (1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.
(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；
(4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为减函数，而y′＝－，因为x≠0，所以y′<0.
知识梳理
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
增函数
f′(x)<0
减函数
注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化．
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－－ln
x；(3)f(x)＝x－ex(x>0)．
解 (1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上是增函数．
(2)因为f(x)＝x－－ln
x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1＋－＝＝>0，所以f(x)＝x－－ln
x在(0，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上是减函数．
反思感悟 利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论．
跟踪训练1 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x2－2x＋aln
x；
(2)f(x)＝(x>e)．
解 (1)因为f(x)＝x2－2x＋aln
x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝2x－2＋＝，对于y＝2x2－2x＋a，a>，Δ＝4－8a＝8<0，故有y＝2x2－2x＋a>0恒成立，即f′(x)>0，
所以f(x)＝x2－2x＋aln
x在x∈(0，＋∞)上是增函数．
(2)因为f(x)＝，x>e，所以f′(x)＝＝<0，所以f(x)＝在(e，＋∞)上是减函数．
二、利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln
x；
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
解 (1)易知函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝＝，
由f′(x)>0，解得x>，由f′(x)<0，解得0(2)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0得6x2＋6x－36<0，解得
－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3,2)．
反思感悟 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x2·e－x；
(2)f(x)＝x＋.
解 (1)易知函数的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝′e－x＋x2′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·，
令f′(x)>0，则02，
∴f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，增区间为(0,2)．
(2)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f′(x)＝1－＝＝，令f′(x)>0，则x<－1或x>1，令f′(x)<0，则－1∴函数f(x)的减区间为(－1,0)和(0,1)，增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
三、由导数的信息画函数的大致图象
例3 已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0解 当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是增函数；当0反思感悟 由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)是增函数，f′(x)<0，则f(x)是减函数；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)是增函数，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)是减函数，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
跟踪训练3 (1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
答案 D
解析 由题图可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0,2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.
(2)若函数y＝f′(x)图象如图所示，则y＝f(x)图象可能是( )
答案 C
解析 由y＝f′(x)图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f(x)在(－∞，b)上是增函数，在(b，＋∞)上是减函数，可排除A，D，
且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
1．知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
(4)由导数的信息画函数的大致图象．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错．
1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
答案 C
解析 ∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上是增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
2．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上为增函数的是( )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(3,4)
D．(2，＋∞)
答案 CD
解析 ∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，CD符合．
3．函数f(x)＝3＋xln
x的增区间是( )
A.
B．(e，＋∞)
C.
D.
答案 C
解析 f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，令f′(x)>0，
即ln
x＋1>0，得x>.
故函数f(x)的增区间为.
4．函数f(x)＝x＋2cos
x，x∈(0，π)的减区间是________．
答案
解析 由f′(x)＝1－2sin
x<0，得sin
x>，
又x∈(0，π)，∴x∈.
课时对点练
1．已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－2，－1)∪(1,2)
答案 C
解析 因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.
2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数
B．在(1,2)上，f(x)是增函数
C．在(4,5)上，f(x)是增函数
D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数
答案 BC
解析 由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是增函数，当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是减函数．
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得04．函数f(x)＝ln
x－4x＋1的增区间为( )
A.
B．(0,4)
C.
D.
答案 A
解析 f(x)＝ln
x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，当f′(x)>0时，解得05．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是( )
答案 B
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.
6．(多选)函数f(x)＝xln
x( )
A．在上是减函数
B．在上是增函数
C．在上是增函数
D．在上是减函数
答案 AC
解析 由f(x)＝xln
x，可得f′(x)＝ln
x＋x·＝ln
x＋1(x>0)．由f′(x)>0，可得x>；由f′(x)<0，可得07．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为________________．
答案 (－2，－1)
解析 f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的减区间为(－2，－1)．
8．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为______________．
答案 (－3，－1)∪(0,1)
解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
9．判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．
解 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上是增函数，在(－1,0)上是减函数．
10．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，
则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；当3－20.
所以f(x)＝的增区间是(3－2，3＋2)；减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
11．函数f(x)＝xcos
x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是( )
答案 A
解析 因为f(x)＝xcos
x，
所以f′(x)＝cos
x－xsin
x.
因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos
1－sin
1<0，排除B.
12．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝xex
C．y＝x3－x
D．y＝ln
x－x
答案 B
解析 B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
13.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R，下列结论正确的是( )
A.<0
B.>0
C．f?>
D．f?<
答案 AD
解析 由题图可知，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．
A选项表示x1－x2与f－f异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；
B选项表示x1－x2与f－f同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；
f?表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，
显然有f?<，故C不正确，D正确．
14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
解析 因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上是减函数，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
15．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718
28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数，则称函数f(x)具有M性质，则下列函数中具有M性质的是( )
A．f(x)＝2－x
B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝3－x
D．f(x)＝cos
x
答案 AB
解析 设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定义域R上是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数，C不正确；
对于D，g(x)＝ex·cos
x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确．
16．已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)由f(x)＝，
可得f′(x)＝.
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)，
设h(x)＝－ln
x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0.
可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，故f′(x)>0；
当x>1时，h(x)综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，＋∞)．(共59张PPT)
第1课时 单调性
第5章
5.3.1 单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
学习目标
我们知道f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容.
导语
随堂演练
课时对点练
一、函数的单调性与导数的关系
二、利用导数求函数的单调区间
三、由导数的信息画函数的大致图象
内容索引
一、函数的单调性与导数的关系
问题 观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.
提示 (1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.
(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；
(4)函数y＝
的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为减函数，而y′＝－
，因为x≠0，所以y′<0.
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
知识梳理
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
增函数
f′(x)<0
减函数
注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化.
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
解 因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上是减函数.
反思感悟 利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
跟踪训练1 利用导数判断下列函数的单调性：
解 因为f(x)＝x2－2x＋aln
x，x∈(0，＋∞)，
故有y＝2x2－2x＋a>0恒成立，即f′(x)>0，
所以f(x)＝x2－2x＋aln
x在x∈(0，＋∞)上是增函数.
跟踪训练1 利用导数判断下列函数的单调性：
二、利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝3x2－2ln
x；
解 易知函数的定义域为(0，＋∞)，
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
解 f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0得6x2＋6x－36<0，解得
－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3,2).
反思感悟 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
跟踪训练2 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝x2·e－x；
解 易知函数的定义域为(－∞，＋∞).
令f′(x)>0，则02，
∴f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，增区间为(0,2).
令f′(x)>0，则x<－1或x>1，令f′(x)<0，则－1∴函数f(x)的减区间为(－1,0)和(0,1)，增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
解 易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
三、由导数的信息画函数的大致图象
例3 已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0解 当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是增函数；
当0当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
故函数f(x)的大致图象如图.
反思感悟 由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)是增函数，f′(x)<0，则f(x)是减函数；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)是增函数，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)是减函数，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
跟踪训练3 (1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的
√
解析 由题图可知，
当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；
当x∈(0,2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，
故函数f(x)的图象如图D.
(2)若函数y＝f′(x)图象如图所示，则y＝f(x)图象可能是
√
解析 由y＝f′(x)图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f(x)在(－∞，b)上是增函数，
在(b，＋∞)上是减函数，可排除A，D，
且在x＝0处，f′(x)＝0，
即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，
可排除B，故选C.
1.知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系.
(2)利用导数判断函数的单调性.
(3)利用导数求函数的单调区间.
(4)由导数的信息画函数的大致图象.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错.
课堂小结
随堂演练
1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
1
2
3
4
√
解析 ∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上是增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
1
2
3
4
1
2
3
4
2.(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上为增函数的是
A.(－∞，2)
B.(0,3)
C.(3,4)
D.(2，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，CD符合.
√
√
3.函数f(x)＝3＋xln
x的增区间是
解析 f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，令f′(x)>0，
√
1
2
3
4
1
2
3
4
4.函数f(x)＝x＋2cos
x，x∈(0，π)的减区间是________.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为
A.(－2,0)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－2，－1)∪(1,2)
解析 因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，
所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是
A.在区间(－2,1)上，f(x)是增函数
B.在(1,2)上，f(x)是增函数
C.在(4,5)上，f(x)是增函数
D.在(－3，－2)上，f(x)是增函数
解析 由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，
所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是增函数，
当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，
所以在(－3，－2)上，f(x)是减函数.
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3.函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为
A.(2，＋∞)
B.(－∞，2)
C.(－∞，0)
D.(0,2)
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0，得0所以f(x)的减区间为(0,2).
√
4.函数f(x)＝ln
x－4x＋1的增区间为
解析 f(x)＝ln
x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，
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5.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.
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6.(多选)函数f(x)＝xln
x
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解析 由f(x)＝xln
x，
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7.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为____________.
解析 f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的减区间为(－2，－1).
(－2，－1)
8.函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式
<0的解集为_________________.
解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
(－3，－1)∪(0,1)
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9.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.
解 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上是增函数，在(－1,0)上是减函数.
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10.已知函数f(x)＝
的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
解 因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
由①②得a＝2，b＝3.
(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)
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(2)求函数f(x)的单调区间.
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综合运用
11.函数f(x)＝xcos
x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是
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解析 因为f(x)＝xcos
x，
所以f′(x)＝cos
x－xsin
x.
因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称.
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos
1－sin
1<0，排除B.
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12.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是
A.y＝sin
x
B.y＝xex
C.y＝x3－x
D.y＝ln
x－x
解析 B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数.
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13.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R
，下列结论正确的是
√
√
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解析 由题图可知，函数y＝f(x)的大致图象如图所示.
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14.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.
解析 因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上是减函数，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).
(－∞，－1)∪(0,1)
拓广探究
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15.(多选)若函数exf(x)(e＝2.718
28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数，则称函数f(x)具有M性质，则下列函数中具有M性质的是
A.f(x)＝2－x
B.f(x)＝x2＋2
C.f(x)＝3－x
D.f(x)＝cos
x
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解析 设g(x)＝ex·f(x)，
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，
所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
g′(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确.
16.已知函数f(x)＝
(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
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(2)求函数f(x)的单调区间.
可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，故f′(x)>0；
当x>1时，h(x)综上，f(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1，＋∞).
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第2课时 含参数的函数单调性问题
第5章
5.3.1 单调性
1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.
2.会利用分类讨论的思想解决含参的函数的单调性问题.
学习目标
课时对点练
一、导函数是含参数的二次函数
二、导函数是含参数的基本初等型函数
三、导函数是非基本初等函数
内容索引
一、导函数是含参数的二次函数
例1 求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间.
解 f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的定义域为R，
f′(x)＝3a2x2＋2ax－1＝(3ax－1)(ax＋1).
(1)当a＝0时，f′(x)＝－1<0?f(x)在R上是减函数，
f(x)的减区间为R，无增区间.
(2)当a≠0时3a2>0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
①当a>0时，x1>x2，
反思感悟 (1)若导函数的二次项系数含参：
①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性.
(2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第③步求解.
跟踪训练1 求f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的单调区间.
解 f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋2mx.
(1)当m＝0时，f′(x)＝6x2≥0，f(x)在R上是增函数，f(x)的增区间为R，无减区间.
(2)当m≠0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
①当m<0时，x1>x2，
②当m>0时，x1二、导函数是含参数的基本初等型函数
例2 已知函数f(x)＝
－x＋aln
x.讨论f(x)的单调性.
(1)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
反思感悟 确定函数的定义域、求导、通分，一般情况下，其分子转化成二次函数型的函数，或利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性求解，对参数的讨论一定要做到不重不漏.
跟踪训练2 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
解 f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在R上是增函数.
若a>0，则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln
a)上是减函数，在(ln
a，＋∞)上是增函数.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为R，无减区间；
当a>0时，f(x)的增区间为(ln
a，＋∞)，减区间为(－∞，ln
a).
三、导函数是非基本初等函数
例3 设函数f(x)＝emx＋x2－mx.证明：f(x)在(－∞，0)上是减函数；在(0，＋∞)上是增函数.
证明 方法一 f′(x)＝m(emx－1)＋2x.
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数.
方法二 f′(x)＝m(emx－1)＋2x，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝m2emx＋2>0恒成立，
所以y＝f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数.
反思感悟 在分类讨论此类问题时，其目的是讨论不确定的因式的符号，在讨论参数的取值范围时，也要注意函数的定义域.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ae2x＋
－x，讨论f(x)的单调性.
若a≤0，则f′(x)<0恒成立，
故f(x)在R上为减函数；
若a>0，则当x<－ln
a时，f′(x)<0，当x>－ln
a时，f′(x)>0，
综上，当a≤0时，f(x)在R上为减函数；
1.知识清单：
(1)导函数是二次型函数的单调性问题.
(2)导函数是基本初等型函数的单调性问题.
(3)导函数是复合型函数的单调性问题.
2.方法归纳：分类讨论.
3.常见误区：分类讨论时是否做到“不重不漏”.
课堂小结
课时对点练
1.已知函数f(x)＝x3＋ax.讨论f(x)的单调性.
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4
解 因为f(x)＝x3＋ax，所以f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，因为f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)在R上是增函数；
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综上，当a≥0时，f(x)在R上是增函数；
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2.设函数f(x)＝ax－1－ln
x，讨论函数f(x)的单调性.
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3.已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.讨论函数f(x)的单调性.
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当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)在R上是增函数；
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综上，当a≥2时，f(x)在R上是增函数；
1
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4
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
因为m>1，所以m－1>0.
①当00得x>1或01
2
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②当m－1＝1，即m＝2时，
③当m－1>1，即m>2时，由f′(x)>0，得x>m－1或0由f′(x)<0得11
2
3
4第3课时 函数单调性的应用
学习目标 1.掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系.2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.3会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息．
一、由单调性求参数的取值范围
问题1 对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？
提示 在x＝0的左右两侧，都有f′(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数．也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性．
问题2 对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
提示 不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，即该函数无增区间．
知识梳理
对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数．
若函数f(x)在某区间上是增函数，则f′(x)≥0；若函数f(x)在某区间上是减函数，则f′(x)≤0.
注意点：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min(需要对等号进行单独验证)．
例1 已知函数f(x)＝x3－ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围．
解 f′(x)＝x2－a，因为f(x)是R上的增函数，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.
经验证，a＝0时成立，故a≤0.
延伸探究
1．本例函数不变，若函数f(x)在上是增函数，求实数a的最大值．
解 由题意知f′(x)＝x2－a在上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，故实数a的最大值是1.经验证a＝1时成立，故amax＝1.
2．本例函数不变，若函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 由题意知f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤4.经验证a＝4时成立，故a≤4.
反思感悟 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
跟踪训练1 (1)函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案 D
解析 函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，
∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.
(2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)
B．(－3，－1)∪(1,3)
C．(－2,2)
D．不存在这样的实数k
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根．
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2∴1二、比较大小
例2 (1)已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则( )
A．x>y
B．x＝y
C．xD．x，y的大小不确定
答案 C
解析 设f(t)＝2t＋2t，
所以f′(t)＝2＋2tln
2>0，
所以函数f(t)在R上是增函数，
由题意得f(x)所以x(2)已知函数f(x)＝ln
x－，则( )
A．f(e)>f(π)
B．f(e)C．f(e)＝f(π)
D．无法确定
答案 B
解析 f′(x)＝＋>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又e<π，故f(e)反思感悟 比较大小的解题类型：
(1)通过已知函数的特点，联想到构造函数，利用导数研究函数的单调性比较大小．
(2)通过判断导函数的图象，根据导函数的符号，确定原函数的单调性比较大小．
跟踪训练2 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
答案 C
解析 由导函数f′(x)的大致图象知，当x≤c时，f′(x)≥0恒成立，f(x)为增函数，
又af(b)>f(a)．
三、函数图象的增长快慢的比较
问题3 观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？
提示 由图象可知若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然越大，函数f(x)减少的就越快．
知识梳理
函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
注意点：分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系．
例3 如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C.
反思感悟 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案 A
解析 ∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)对于B，存在x1f′(x2)；对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；对于D，对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐渐递增的条件，故选A.
1．知识清单：
(1)根据函数的单调性求参数的取值范围．
(2)根据单调性比较大小．
(3)函数图象增长快慢的比较．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是( )
答案 D
解析 由已知图象可知，f(x)先减后增再单调性不变，则f′(x)先小于零后大于零最后等于0.
2．已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是( )
A．f(a)＞f(b)＞f(0)
B．f(0)＜f(c)＜f(d)
C．f(b)＜f(0)＜f(c)
D．f(c)＜f(d)＜f(e)
答案 D
解析 由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上是增函数，在(b，c)上是减函数，所以f(a)f(0)>f(c)，B，C错误；f(c)3．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为( )
A．－1≤a≤2
B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1
D．a＞1或a＜－2
答案 D
解析 若函数f(x)有3个单调区间，
则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．
∵f′(x)＝－x＋，
∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
课时对点练
1．设函数f(x)＝2x＋sin
x，则( )
A．f(1)>f(2)
B．f(1)C．f(1)＝f(2)
D．以上都不正确
答案 B
解析 f′(x)＝2＋cos
x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)2．已知函数f(x)＝x－－2ln
x在(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )
A．k>0
B．k>1
C．k≥0
D．k≥1
答案 D
解析 因为函数f(x)＝x－－2ln
x在(0，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝1＋－≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1.
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln
x在(1,2)上为增函数，则a等于( )
A．1
B．2
C．0
D.
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－，依题意知g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
答案 B
解析 由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)在(－∞，0)上是减函数，
∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是( )
答案 D
解析 检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D.
6．(多选)函数f(x)＝ax2－x＋2ln
x为增函数的必要不充分条件有( )
A．a≥2
B．a＝2
C．a≥1
D．a>2
答案 AC
解析 由函数f(x)＝ax2－x＋2ln
x在区间上是增函数，
得f′(x)＝ax－＋＝≥0在区间上恒成立，
即ax2－x＋2≥0在区间上恒成立，
①当a＝0时，－2x＋2≥0?0②当a<0时，ax2－x＋2＝a≥0，
又<0，
即≤0?0③当a>0时，ax2－x＋2＝a≥0，
又>0,
ax2－x＋2≥0在区间上恒成立，
则Δ＝2－8a＝2≤0?a＝2，
综上，函数f(x)＝ax2－x＋2ln
x是增函数的充要条件为a＝2，
故选AC.
7．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的减区间是，则实数m的值为______________．
答案 －
解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的减区间是，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，
即解得m＝－.
8．函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝f且f′(x)<0，若a＝f(0)，b＝f?，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 b>a>c
解析 因为f(x)＝f，所以函数关于直线x＝1对称，
当x>1时，f′(x)<0，即f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x<1时，f′(x)<0，即f′(x)>0，f(x)是增函数．
a＝f＝f，b＝f?＝f?，c＝f，故b>a>c.
9．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，求实数a的取值范围．
解 由f(x)，得f′(x)＝3x2－a.
(1)因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0对?x∈R恒成立，
即a≤3x2对?x∈R恒成立，只需a≤(3x2)min，
而(3x2)min＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意，
故a的取值范围是(－∞，0]．
(2)因为函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，
所以f′(x)<0对?x∈(－1,1)恒成立，
即a≥3x2对?x∈(－1,1)恒成立，
易得函数y＝3x2的值域为[0,3)，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln
x，a∈R.
(1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围；
(3)若f(x)存在减区间，求a的取值范围．
解 (1)当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln
x且定义域为(0，＋∞)，即f′(x)＝2x－4－＝，
∴若f′(x)>0，得x>3；若f′(x)<0，得0∴f(x)的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3)．
(2)由题意知，f′(x)＝2x－4＋≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a≤2x2－4x＋2恒成立，
令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，则a≤g(x)min即可，而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2.
∴a≤2.
(3)依题意知，f′(x)＝2x－4＋<0在区间(0，＋∞)上有解，即g(x)＝2x2－4x＋2－a<0在区间(0，＋∞)上有解，而g(x)的对称轴为x＝1且开口向上，
∴必有Δ＝16－8(2－a)>0，即a>0.
11．若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上是增函数，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，4]
C．(－∞，8]
D．[－2,4]
答案 B
解析 易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
∵函数f(x)在区间上是增函数，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立，
∴c≤对任意x∈恒成立．
∵x∈，∴＝x＋1＋≥4，当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.
12．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间上的减区间为，
但函数y＝f(x)在区间上不单调，不符合题意；
若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，
则函数y＝f(x)在区间上的减区间为，增区间为，符合题意．
由图象可知，不等式的解集为.
13．已知函数f(x)＝在上存在增区间，则实数b的取值范围是( )
A.
B．(－∞，3)
C.
D．(－∞，)
答案 A
解析 易得f′(x)＝＋x－b＝.
根据题意，得f′(x)>0在上有解．
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
因为h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或h>0，
解得b<.
14．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上是减函数，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1,1)
解析 令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，
解得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)?[－2,2]，
∴解得－1≤m<1.
15．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g，b＝g，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB．cC．bD．b答案 C
解析 奇函数f(x)在R上是增函数，
当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0，
又g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，且g(x)＝xf(x)为偶函数，
∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
又2∴由g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
得g∴b16．已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝－时，
f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)，
f′(x)＝－x＋＝－(x>－1)．
当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的增区间是(－1,1)，减区间是(1，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，
所以f′(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
令g(x)＝－，x∈[1，＋∞)，
易求得在区间[1，＋∞)上，g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
故g(x)min＝g(1)＝－，故a≤－.
即实数a的取值范围为.第2课时 含参数的函数单调性问题
学习目标 1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.2.会利用分类讨论的思想解决含参的函数的单调性问题．
一、导函数是含参数的二次函数
例1 求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间．
解 f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的定义域为R，
f′(x)＝3a2x2＋2ax－1＝(3ax－1)(ax＋1)．
(1)当a＝0时，f′(x)＝－1<0?f(x)在R上是减函数，
f(x)的减区间为R，无增区间．
(2)当a≠0时3a2>0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
令f′(x)＝0得x1＝，x2＝－(a≠0)，因此可知(结合f′(x)的图象)，
①当a>0时，x1>x2，
f′(x)>0?x<－或x>；f′(x)<0?－此时，f(x)的增区间为和；f(x)的减区间为.
②当a<0时，x10?x<或x>－；f′(x)<0?此时，f(x)的增区间为和；
f(x)的减区间为.
反思感悟 (1)若导函数的二次项系数含参：
①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性．
(2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第③步求解．
跟踪训练1 求f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的单调区间．
解 f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋2mx.
(1)当m＝0时，f′(x)＝6x2≥0，f(x)在R上是增函数，f(x)的增区间为R，无减区间．
(2)当m≠0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝0，因此可知(结合f′(x)的图象)，
①当m<0时，x1>x2，
当x∈∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
此时，f(x)的增区间为，；f(x)的减区间为.
②当m>0时，x1当x∈∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
此时，f(x)的增区间为，；f(x)的减区间为.
二、导函数是含参数的基本初等型函数
例2 已知函数f(x)＝－x＋aln
x．讨论f(x)的单调性．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.
(1)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)若a>2，令f′(x)＝0得，x＝
或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，上是减函数，在上是增函数．
反思感悟 确定函数的定义域、求导、通分，一般情况下，其分子转化成二次函数型的函数，或利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性求解，对参数的讨论一定要做到不重不漏．
跟踪训练2 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解 f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在R上是增函数．
若a>0，则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln
a)上是减函数，在(ln
a，＋∞)上是增函数．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为R，无减区间；当a>0时，f(x)的增区间为(ln
a，＋∞)，减区间为(－∞，ln
a)．
三、导函数是非基本初等函数
例3 设函数f(x)＝emx＋x2－mx.证明：f(x)在(－∞，0)上是减函数；在(0，＋∞)上是增函数．
证明 方法一 f′(x)＝m(emx－1)＋2x.
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
方法二 f′(x)＝m(emx－1)＋2x，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝m2emx＋2>0恒成立，所以y＝f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
反思感悟 在分类讨论此类问题时，其目的是讨论不确定的因式的符号，在讨论参数的取值范围时，也要注意函数的定义域．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ae2x＋ex－x，讨论f(x)的单调性．
解 f(x)的定义域为R，f′(x)＝2ae2x＋ex－1＝(2ex＋1)．
若a≤0，则f′(x)<0恒成立，
故f(x)在R上为减函数；
若a>0，则当x<－ln
a时，f′(x)<0，当x>－ln
a时，f′(x)>0，
故f(x)在上为增函数，在上为减函数，
综上，当a≤0时，f(x)在R上为减函数；
当a>0时，f(x)在上为增函数，在上为减函数．
1．知识清单：
(1)导函数是二次型函数的单调性问题．
(2)导函数是基本初等型函数的单调性问题．
(3)导函数是复合型函数的单调性问题．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：分类讨论时是否做到“不重不漏”．
课时对点练
1．已知函数f(x)＝x3＋ax.讨论f(x)的单调性．
解 因为f(x)＝x3＋ax，所以f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，因为f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)在R上是增函数；
②当a<0时，令f′(x)>0，解得x<－或x>.
令f′(x)<0，解得－则f(x)在，上是增函数；在上是减函数．
综上，当a≥0时，f(x)在R上是增函数；当a<0时，f(x)在，上是增函数，在上是减函数．
2．设函数f(x)＝ax－1－ln
x，讨论函数f(x)的单调性．
解 f′(x)＝.
当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝，
∴当0时，f′(x)>0，
∴f(x)在上是减函数，在上是增函数．
综上，当a≤0时，f(x)在上是减函数；
当a>0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数．
3．已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.讨论函数f(x)的单调性．
解 因为f(x)＝ex，所以f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＋ex＝ex.
当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)在R上是增函数；
当a<2时，f′(x)＝ex
＝ex，
所以f′(x)＝0?x＝±；
f′(x)>0?x<－或x>；
f′(x)<0?－所以f(x)在上是减函数，在和上是增函数．
综上，当a≥2时，f(x)在R上是增函数；当a<2时，f(x)在(－，)上是减函数，在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函数．
4．已知函数f(x)＝x＋－m.当m>1时，讨论f(x)的单调性．
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1－＋－＝1＋－
＝＝，
因为m>1，所以m－1>0.
①当00得x>1或0所以f(x)在，上是增函数，在上是减函数；
②当m－1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)在上是增函数；
③当m－1>1，即m>2时，由f′(x)>0，得x>m－1或0综上可知，当1当m＝2时，f(x)在上是增函数；
当m>2时，f(x)在，上是增函数，在上是减函数．