章末检测试卷(一)
(时间：120分钟
满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线x＋y＝0的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
答案 D
解析 因为直线的斜率为－1，所以tan
α＝－1，即倾斜角为135°.
2．过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为( )
A．2x－y＋2＝0
B．x＋2y＋2＝0
C．2x－y－2＝0
D．2x＋y－2＝0
答案 C
解析 设该直线方程为2x－y＋m＝0，
由于点(0，－2)在该直线上，
则2×0＋2＋m＝0，即m＝－2，
即该直线方程为2x－y－2＝0.
3．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0
B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0
D．－3x＋4y＋5＝0
答案 A
解析 设所求直线上任意一点(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
4．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1)
D．(2,1)或(－1,2)
答案 C
解析 设P(x,5－3x)，则d＝＝，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4)
B．(0,2)
C．(－2,4)
D．(4，－2)
答案 B
解析 直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．
6．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
答案 A
解析 由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，
解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0.
7．已知P(－1,2)，Q(2,4)，直线l：y＝kx＋3.若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k等于( )
A.或6
B.
C．0
D．0或
答案 D
解析 由题可知＝，
解得k＝0或.
8．直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为( )
A．2x－y－6＝0
B．x＋2y－3＝0
C．x＋2y＋3＝0
D．2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0
答案 B
解析 由直线4x＋3y－12＝0，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝3，即B(0,4)，A(3,0)．
由图可知∠BAO为锐角，
∴∠BAO的平分线所在的直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值．
设P(x，y)为∠BAO的平分线所在的直线上的任意一点，则点P到OA的距离为|y|，到AB的距离为＝.由角平分线的性质，得|y|＝，∴4x＋3y－12＝5y或4x＋3y－12＝－5y，即2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0.由于斜率为负值，故∠BAO的平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0)
B．(6,4)
C．(4,6)
D．(0,2)
答案 AC
解析 设B点坐标为(x，y)，
根据题意知
则
解得或
10．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有( )
A．y－x＝1
B．y＋x＝3
C．y＝2x
D．y＝－2x
答案 AC
解析 当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入点(1,2)可得－＝1，解得a＝－1，故方程为x－y＋1＝0.故所求直线方程为y＝2x或y－x＝1.
11．直线l1：m2x＋y＋3＝0和直线l2：3mx＋(m－2)y＋m＝0，若l1∥l2，则m可以取的值为( )
A．－1
B．0
C．3
D．－2
答案 AB
解析 由m2(m－2)－3m＝0，解得m＝0或m＝－1或m＝3.经验证，当m＝3时，两条直线重合，舍去．所以m＝0或m＝－1.
12．已知点A(－2,0)，B(2,0)，如果直线3x－4y＋m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m可以等于( )
A．4
B．－4
C．10
D．－10
答案 CD
解析 直线3x－4y＋m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2＋y2＝4相切，所以＝2，解得m＝±10.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值是________．
答案 －
解析 的几何意义是点P(x，y)与点Q(3,0)连线的斜率，
又点P(x，y)在线段AB上，由图知，
当点P与点B重合时，有最大值，又kBQ＝＝－，因此的最大值为－.
14．若直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，则直线l1恒过定点________，l1的倾斜角α的取值范围是________.
答案 (0，－3)
解析 直线l2：2x＋3y－6＝0在x轴和y轴上的截距分别为3,2，直线l1：y＝kx－3恒过定点(0，－3)，如图，
因为kPA＝1，所以直线PA的倾斜角为，
由图可知，要使直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，
则l1的倾斜角的取值范围是.
15．若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是________.
答案 －11≤k≤－1且k≠－6
解析 因为两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，即两平行直线2x＋y－4＝0与2x＋y＋k＋2＝0的距离不大于，所以k＋2≠－4，且≤，求得－11≤k≤－1且k≠－6.
16．在平面直角坐标系中，坐标原点O到过点A(cos
130°，sin
130°)，B(cos
70°，sin
70°)的直线距离为________．
答案
解析 kAB＝＝
＝
＝＝，
根据诱导公式可知，B(sin
20°，cos
20°)，
所以经过A，B两点的直线方程为
y－cos
20°＝(x－sin
20°)，
即sin
10°x－cos
10°y＋cos
10°cos
20°－sin
10°sin
20°＝0，
即sin
10°x－cos
10°y＋＝0，
所以原点O到直线的距离d＝＝.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点A(－2,2)，直线l1：3x－4y＋2＝0.
(1)求过点A且与直线l1垂直的直线方程；
(2)直线l2为过点A且和直线l1平行的直线，求平行直线l1，l2间的距离．
解 (1)设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x＋3y＋m＝0.把点A的坐标代入可得－8＋6＋m＝0，解得m＝2.所以过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x＋3y＋2＝0.
(2)设过点A且和直线l1平行的直线l2的方程为3x－4y＋n＝0.
把点A的坐标代入可得－6－8＋n＝0，解得n＝14，
所以直线l2的方程为3x－4y＋14＝0，
所以平行直线l1，l2间的距离d＝＝.
18．(12分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3，3)及点P为顶点的△ABP的面积为5.
解 设点P的坐标为(a,0)(a>0)，点P到直线AB的距离为d，
由已知，得S△ABP＝AB·d
＝·d＝5，解得d＝2.
由已知易得，直线AB的方程为x－2y＋3＝0，
所以d＝＝2，
解得a＝7或a＝－13(舍去)，
所以点P的坐标为(7,0)．
19．(12分)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解 (1)由直线方程的点斜式，
得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
20．(12分)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；
(2)过点M(－1，－2)作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
(1)证明 因为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，所以由题意得解得所以直线l恒过定点(－1，－2)．
(2)解 设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A，B两点，则A，B(0，k－2)，因为AB的中点为M，所以，解得k＝－2，
所以所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
21．(12分)如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B的坐标为(2，－1),
C，D均在第一象限．
(1)求直线CD的方程；
(2)若BC＝，求点D的横坐标．
解 (1)由题意，得kAB＝kCD＝－，所以设直线CD的方程为y＝－x＋m，即x＋2y－2m＝0，因为S?ABCD＝8，AB＝，所以＝，所以m＝±4，由题图可知m>0，所以m＝4，所以直线CD的方程为x＋2y－8＝0.
(2)设D(a，b)，若BC＝，则AD＝，所以所以点D的横坐标a＝或2.
22．(12分)已知在△ABC中，A(1,1)，B(m，)，C(4,2)(1解 因为A(1,1)，C(4,2)，
所以AC＝＝，
又直线AC的方程为x－3y＋2＝0，
所以点B到直线AC的距离d＝，
所以S＝S△ABC＝AC·d＝|m－3＋2|
＝.
因为1所以1<<2,0≤2<，
所以S＝－2，
当且仅当＝，即m＝时，S最大．(共37张PPT)
章末复习课
第1章
直线与方程
一、直线方程的求法及应用
二、两直线的平行与垂直
三、两直线的交点与距离问题
内容索引
知识网络
随堂演练
知识网络
一、直线方程的求法及应用
1.直线方程的几种形式的转化
2.通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养.
例1 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2).
(1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程；
解 ∵A(0,1)，B(3,2)，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.
解 ∵M(1,1)为AC的中点，A(0,1)，
∴C(2,1)，
∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
反思感悟 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.
跟踪训练1 已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标；
故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，
即2x＋y－13＝0.
(2)直线BC的方程.
把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，
把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，
化简为46x－41y－43＝0.
二、两直线的平行与垂直
1.判断两直线平行、垂直的方法
(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2?l1∥l2.
(2)
若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1?l1⊥l2.
(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)
2.讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养.
3
当2－2a＝－a，即a＝2时，
∴AB和CD不平行；
∴a＝3或a＝－1.
∴AB与CD平行.
∴AB与CD重合.
∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行.
(2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是______.
解析 将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，
垂直
反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：
已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
跟踪训练2 (1)若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为
A.1和2
B.－1和2
C.1和－2
D.－1和－2
解析 由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，
又因为两直线平行，
√
(2)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________.
－3
三、两直线的交点与距离问题
1.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题.
2.两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养.
例3 (1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是
，则实数a的值为
A.－1
B.5
C.－1或5
D.－3或3
解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.
√
(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程.
解 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
反思感悟
跟踪训练3 (1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为
解析 根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，
可得a＋b＝－1，ab＝－2，
∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，
由已知得这两条直线互相平行，
√
(2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为
A.0
B.1
C.2
D.3
√
即直线l过点(1,2).
所以满足条件的直线l有2条.故选C.
方法二 依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，
即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.
代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选C.
随堂演练
1.点(
，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
1
2
3
4
√
1
2
3
4
由此可知两条直线的斜率同号，故选B.
√
1
2
3
4
3.设直线3x－2y－12＝0与直线4x＋3y＋1＝0交于点M，若一条光线从点P(3,2)射出，经y轴反射后过点M，则入射光线所在的直线方程为
A.x－y－1＝0
B.x－y＋1＝0
C.x－y－5＝0
D.x＋y－5＝0
√
1
2
3
4
由题意，知入射光线所在的直线存在斜率，
设入射光线所在的直线的斜率为k，
则入射光线所在的直线的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0.
又M关于y轴的对称点M′(－2，－3)在入射光线所在的直线方程上，
故－2k＋3＋2－3k＝0，解得k＝1，
故入射光线所在的直线方程为x－y－1＝0.
4.已知直线l1：2x＋3y－8＝0和l2：ax－6y－10＝0.若l1∥l2，则实数a＝_____，两直线l1与l2间的距离是______.
解析 直线l1：2x＋3y－8＝0和l2：ax－6y－10＝0，l1∥l2，
－4
所以l2：ax－6y－10＝0转化为2x＋3y＋5＝0，
1
2
3
4(共36张PPT)
章末检测试卷(一)
第1章
直线与方程
(时间：120分钟
满分：150分)
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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.直线x＋y＝0的倾斜角为
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
解析 因为直线的斜率为－1，
所以tan
α＝－1，
即倾斜角为135°.
√
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2.过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为
A.2x－y＋2＝0
B.x＋2y＋2＝0
C.2x－y－2＝0
D.2x＋y－2＝0
解析 设该直线方程为2x－y＋m＝0，
由于点(0，－2)在该直线上，
则2×0＋2＋m＝0，即m＝－2，
即该直线方程为2x－y－2＝0.
√
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3.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为
A.3x＋4y＋5＝0
B.3x＋4y－5＝0
C.－3x＋4y－5＝0
D.－3x＋4y＋5＝0
解析 设所求直线上任意一点(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
√
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4.P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为
，则P点坐标为
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,2)或(2，－1)
D.(2,1)或(－1,2)
解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1).
√
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5.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点
A.(0,4)
B.(0,2)
C.(－2,4)
D.(4，－2)
解析 直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，
其关于点(2,1)对称的点为(0,2).
又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，
故直线l2恒过定点(0,2).
√
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6.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是
，则m＋n等于
A.0
B.1
C.－1
D.2
解析 由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2.
√
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解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0.
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7.已知P(－1,2)，Q(2,4)，直线l：y＝kx＋3.若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k等于
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8.直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为
A.2x－y－6＝0
B.x＋2y－3＝0
C.x＋2y＋3＝0
D.2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0
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解析 由直线4x＋3y－12＝0，令x＝0，得y＝4，
令y＝0，得x＝3，即B(0,4)，A(3,0).
由图可知∠BAO为锐角，
∴∠BAO的平分线所在的直线的倾斜角为钝角，
其斜率为负值.
设P(x，y)为∠BAO的平分线所在的直线上的任意一点，
则点P到OA的距离为|y|，
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∴4x＋3y－12＝5y或4x＋3y－12＝－5y，
即2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0.
由于斜率为负值，
故∠BAO的平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0.
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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是
A.(2,0)
B.(6,4)
C.(4,6)
D.(0,2)
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解析 设B点坐标为(x，y)，
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10.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有
A.y－x＝1
B.y＋x＝3
C.y＝2x
D.y＝－2x
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故直线方程为y＝2x；
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解得a＝－1，故方程为x－y＋1＝0.
故所求直线方程为y＝2x或y－x＝1.
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11.直线l1：m2x＋y＋3＝0和直线l2：3mx＋(m－2)y＋m＝0，若l1∥l2，则m可以取的值为
A.－1
B.0
C.3
D.－2
解析 由m2(m－2)－3m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝3.
经验证，当m＝3时，两条直线重合，舍去.
所以m＝0或m＝－1.
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12.已知点A(－2,0)，B(2,0)，如果直线3x－4y＋m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m可以等于
A.4
B.－4
C.10
D.－10
解析 直线3x－4y＋m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，
则此直线与圆：x2＋y2＝4相切，
√
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√
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则
的最大值是
_____.
又点P(x，y)在线段AB上，由图知，
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14.若直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，则直线
l1恒过定点__________，l1的倾斜角α的取值范围是________.
解析 直线l2：2x＋3y－6＝0在x轴和y轴上的截距分别为3,2，
直线l1：y＝kx－3恒过定点(0，－3)，如图，
(0，－3)
由图可知，
要使直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点M在第一象限，
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15.若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于
，则k的取值范围是_____________________.
求得－11≤k≤－1且k≠－6.
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－11≤k≤－1且k≠－6
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16.在平面直角坐标系中，坐标原点O到过点A(cos
130°，sin
130°)，
B(cos
70°，sin
70°)的直线距离为_____.
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根据诱导公式可知，B(sin
20°，cos
20°)，
即sin
10°x－cos
10°y＋cos
10°cos
20°－sin
10°sin
20°＝0，
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四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知点A(－2,2)，直线l1：3x－4y＋2＝0.
(1)求过点A且与直线l1垂直的直线方程；
解 设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x＋3y＋m＝0.
把点A的坐标代入可得－8＋6＋m＝0，解得m＝2.
所以过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x＋3y＋2＝0.
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(2)直线l2为过点A且和直线l1平行的直线，求平行直线l1，l2间的距离.
解 设过点A且和直线l1平行的直线l2的方程为3x－4y＋n＝0.
把点A的坐标代入可得－6－8＋n＝0，解得n＝14，
所以直线l2的方程为3x－4y＋14＝0，
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18.(12分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3，3)及点P为顶点的△ABP的面积为5.
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解 设点P的坐标为(a,0)(a>0)，点P到直线AB的距离为d，
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由已知易得，直线AB的方程为x－2y＋3＝0，
解得a＝7或a＝－13(舍去)，
所以点P的坐标为(7,0).
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(1)求直线l的方程；
解 由直线方程的点斜式，
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整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
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(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
解 由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
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故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
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20.(12分)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；
证明 因为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，
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所以直线l恒过定点(－1，－2).
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(2)过点M(－1，－2)作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程.
解 设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A，B两点，
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所以所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
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21.(12分)如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B的坐标为(2，－1),
C，D均在第一象限.
(1)求直线CD的方程；
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由题图可知m>0，所以m＝4，
所以直线CD的方程为x＋2y－8＝0.
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即x＋2y－2m＝0，
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22.(12分)已知在△ABC中，A(1,1)，B(m，
)，C(4,2)(117
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解 因为A(1,1)，C(4,2)，
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又直线AC的方程为x－3y＋2＝0，
因为11
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22章末复习课
一、直线方程的求法及应用
1．直线方程的几种形式的转化
2．通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养．
例1 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)．
(1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．
解 (1)∵A(0,1)，B(3,2)，
∴kAB＝＝，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M(1,1)为AC的中点，A(0,1)，
∴C(2,1)，
∴kBC＝＝1，
∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
反思感悟 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
跟踪训练1 已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
解 (1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为，
故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.
由得
故点C的坐标为.
(2)设B(m，n)，则M.
把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，
可得
解得故点B.
再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0.
二、两直线的平行与垂直
1．判断两直线平行、垂直的方法
(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2?l1∥l2.
(2)
若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1?l1⊥l2.
(讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)
2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养．
例2 (1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________.
答案 3
解析 kAB＝＝－，
当2－2a＝－a，即a＝2时，
kAB＝－，CD的斜率不存在．
∴AB和CD不平行；
当a≠2时，kCD＝＝.
由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0.
∴a＝3或a＝－1.
当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，
∴AB与CD平行．
当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，
∴AB与CD重合．
∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．
(2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．
答案 垂直
解析 将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，
得a＝－，则kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.
反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：
已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
跟踪训练2 (1)若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为( )
A．1和2
B．－1和2
C．1和－2
D．－1和－2
答案 C
解析 由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－＝，解得m＝1.
(2)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
答案 －3
三、两直线的交点与距离问题
1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．
2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．
例3 (1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( )
A．－1
B．5
C．－1或5
D．－3或3
答案 C
解析 ∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，
∴＝，即|a－2|＝3，
解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.
(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
反思感悟
跟踪训练3 (1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( )
A．2
B.
C．2
D.
答案 D
解析 根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，
∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，
由已知得这两条直线互相平行，
故两条直线之间的距离d＝＝＝.
(2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 方法一 由得
即直线l过点(1,2)．设点Q(1,2)，因为PQ＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条．故选C.
方法二 依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选C.
1．点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
答案 C
解析 将点(，4)代入直线方程，求得a＝，所以直线l：x－y＋1＝0，斜率k＝，所以倾斜角为60°.
2．两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
解析 直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.
3．设直线3x－2y－12＝0与直线4x＋3y＋1＝0交于点M，若一条光线从点P(3,2)射出，经y轴反射后过点M，则入射光线所在的直线方程为( )
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x－y－5＝0
D．x＋y－5＝0
答案 A
解析 由
得可得M(2，－3)．
由题意，知入射光线所在的直线存在斜率，
设入射光线所在的直线的斜率为k，
则入射光线所在的直线的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0.
又M关于y轴的对称点M′(－2，－3)在入射光线所在的直线方程上，
故－2k＋3＋2－3k＝0，解得k＝1，
故入射光线所在的直线方程为x－y－1＝0.
4．已知直线l1：2x＋3y－8＝0和l2：ax－6y－10＝0.若l1∥l2，则实数a＝________，两直线l1与l2间的距离是________．
答案 －4
解析 直线l1：2x＋3y－8＝0和l2：ax－6y－10＝0，l1∥l2，
所以＝，解得a＝－4，
所以l2：ax－6y－10＝0转化为2x＋3y＋5＝0，
两直线l1与l2间的距离d＝＝.
