(共46张PPT)
章末检测试卷(二)
第2章
圆与方程
(时间：120分钟
满分：150分)
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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于
解析 由题意，得圆心为(－1,0)，
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√
2.若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为
A.2x＋y－3＝0
B.x－2y＋1＝0
C.x＋2y－3＝0
D.2x－y－1＝0
解析 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3,0).
因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.
√
所以直线MN的斜率为2，
所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
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3.圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为
A.2x－y－5＝0
B.x－2y－1＝0
C.x－y－2＝0
D.x＋y－4＝0
解析 由已知条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，
则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，
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4.已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是
解析 易知圆心坐标是(1,0)，半径是1，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，
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5.如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是
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解析 ∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交.
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6.已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为
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解析 因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心C1(－a,2)，半径r1＝1，
圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心C2(b,2)，半径r2＝2，
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所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，
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7.若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是
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解析 圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0化为(x＋2)2＋y2＝9，
圆C与x轴正半轴交于点A(1,0)，
如图所示，
因为过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，
所以kMA
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8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点(异于点B)，则
的最大值是
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由题意，知直线x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0与圆x2＋y2＝2有公共点，
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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.已知直线l：(a＋1)x＋ay＋a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则下列结论正确的是
A.存在a，使得l的倾斜角为90°
B.存在a，使得l的倾斜角为135°
C.存在a，使直线l与圆C相离
D.对任意的a，直线l与圆C相交，且a＝1时相交弦最短
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解析 选项A，当a＝0时，直线方程为x＝0，此时倾斜角为90°，A正确；
选项B，当倾斜角为135°时，直线斜率为－1，
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选项C，圆C的圆心为C(2,0)，半径r＝3，若直线与圆相离，
整理得9a2＋6a＋5＜0，不等式无解，C错误；
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选项D，直线过定点M(0，－1)，此点在圆内，所以直线与圆恒相交，
当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于－1，
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解得a＝1，此时弦长最短，D正确.
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10.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
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解析 ∵半径长为6的圆与x轴相切，
设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.
故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
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11.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程可以为
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化为一般式为x＋2y－4＝0，
过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，
原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，
原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，
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结合图形(图略)可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，
则公共点为(0，－1)或(6，－1)，
圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.
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12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足
.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是
A.轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得
C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D.在C上存在点M，使得MO＝2MA
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解析 在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，
化简得(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误；
化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，
由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，
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当A，B，P三点不共线时，
与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误.
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若在C上存在点M，使得MO＝2MA，可设M(x，y)，
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.过点(1,2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是________.
解析 把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝7－k，
(3,7)
则点(1,2)到圆心的距离d＝2.
由题意，可知点(1,2)在圆外，
解得31
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14.若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是____.
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15.已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则
的最
大值为_______.
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解析 圆的方程即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1,2)，半径为1，
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设过点(－1,1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，
与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，
考虑临界条件，令Δ＝(2k2－2k－2)2－4(k2＋1)(k－1)2＝0，
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16.若直线xsin
θ＋ycos
θ＝1与圆x2＋y2－2x－2ycos
θ＋cos2θ＋
＝0相切，
且θ为锐角，则这条直线的斜率是______.
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四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程.
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，
圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，
因为该直线过点(5，－2)，
所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
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18.(12分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
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证明 直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，
故l恒过点A(3,2).
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
即点A在圆C内，∴直线l与圆C恒相交.
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(2)当m＝1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求PQ的取值范围.
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解 由题意知直线l1的方程为x＝0.
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
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19.(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2
997
m，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统.如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4
m，高4
m.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5
m，高为3.5
m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.(参考数据：
≈3.74)
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解 如图，建立平面直角坐标系，
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即一辆宽为2.5
m，高为3.5
m的货车不能驶入这个隧道.
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20.(12分)
已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在x＋y－2＝0上.
(1)(4分)求圆M的方程；
解 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
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故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
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(2)(8分)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
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解 如图，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM，
又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，
PM的最小值即为点M到直线3x＋4y＋8＝0的距离，
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21.(12分)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，与x轴正半轴交于点B.
(1)求r的值；
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解 因为圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，
所以r2＝25，
解得r＝5.
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(2)圆O上是否存在点P，使得△PAB的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
解 存在.
因为r＝5，
所以圆O的方程为x2＋y2＝25，
依题意，得A(0,5)，B(5,0)，
直线AB的方程为x＋y－5＝0，
又因为△PAB的面积为15，
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设点P(x0，y0)，
解得x0＋y0＝－1或x0＋y0＝11(显然此时点P不在圆上，故舍去)，
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所以存在点P(－4,3)或P(3，－4)满足题意.
22.(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
解 设直线l的方程为y＝kx＋1.
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解 设M(x1，y1)，N(x2，y2).
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
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所以直线l的方程为y＝x＋1，
所以圆心C在直线l上，所以MN＝2.
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22章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A.
B．2
C．2
D．4
答案 B
解析 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，
所以所求的弦长为2＝2.
2．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0
D．2x－y－1＝0
答案 D
解析 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3,0)．
因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.
又AP的斜率k＝＝－，
所以直线MN的斜率为2，
所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
3．圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )
A．2x－y－5＝0
B．x－2y－1＝0
C．x－y－2＝0
D．x＋y－4＝0
答案 D
解析 由已知条件，得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，则圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，直线AC的斜率k＝1，则直线l的方程为y－1＝(x－3)＝－x＋3，即x＋y－4＝0.
4．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－2，2)
B．(－，)
C.
D.
答案 C
解析 易知圆心坐标是(1,0)，半径是1，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，得<1，即k2<，解得－5．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，0)∪(0,2)
B．(－2，2)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－1,1)
答案 A
解析 ∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．
OC＝，
由2－1∴0<|a|<2，
∴－26．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为( )
A．2
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心C1(－a,2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心C2(b,2)，半径r2＝2，所以C1C2＝＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝－≤，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为.
7．若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，)
B．(－，0)
C．(0，)
D．(0,5)
答案 A
解析 圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0化为(x＋2)2＋y2＝9，圆C与x轴正半轴交于点A(1,0)，与y轴正半轴交于点B(0，)，如图所示，因为过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以kMA8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点(异于点B)，则的最大值是( )
A．2
B．4
C.
D．2
答案 A
解析 设点P(x0，y0)，则x＋y＝2，所以＝＝＝＝，令λ＝，则λ≠0，x0＋(2λ－1)y0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0与圆x2＋y2＝2有公共点，所以≤，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以的最大值为2.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知直线l：(a＋1)x＋ay＋a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则下列结论正确的是( )
A．存在a，使得l的倾斜角为90°
B．存在a，使得l的倾斜角为135°
C．存在a，使直线l与圆C相离
D．对任意的a，直线l与圆C相交，且a＝1时相交弦最短
答案 AD
解析 选项A，当a＝0时，直线方程为x＝0，此时倾斜角为90°，A正确；
选项B，当倾斜角为135°时，直线斜率为－1，即－＝－1，解得a为空集，B错误；
选项C，圆C的圆心为C(2,0)，半径r＝3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为＞3，整理得9a2＋6a＋5＜0，不等式无解，C错误；
选项D，直线过定点M(0，－1)，此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于－1，即－×＝－1，解得a＝1，此时弦长最短，D正确．
10．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36
答案 CD
解析 ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
11．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程可以为( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4
D．x2＋y2＝
答案 AB
解析 过点A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝，原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又OA＝＝，OB＝＝，且OC＝＝.结合图形(图略)可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或，圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得MO＝2MA
答案 BC
解析 在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设P(x，y)，则＝，化简得(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝，设D(m,0)，E(n,0)，则＝2，化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使＝，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，＝＝可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得MO＝2MA，可设M(x，y)，则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．过点(1,2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是________．
答案 (3,7)
解析 把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝7－k，
∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝，
则点(1,2)到圆心的距离d＝2.
由题意，可知点(1,2)在圆外，
∴d>r，即<2，且7－k>0，
解得314．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
答案 4
解析 由题意知O1(0,0)，O2(m,0)，且<|m|<3.因为O1A⊥O2A，所以m2＝()2＋(2)2＝25，所以m＝±5，所以AB＝2×＝4.
15．已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则的最大值为___________．
答案
解析 圆的方程即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1,2)，半径为1，代数式表示圆上的点(a，b)与定点(－1,1)连线的斜率，设过点(－1,1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，考虑临界条件，令Δ＝(2k2－2k－2)2－4(k2＋1)(k－1)2＝0，可得k1＝0，k2＝，则的最大值为.
16．若直线xsin
θ＋ycos
θ＝1与圆x2＋y2－2x－2ycos
θ＋cos2θ＋＝0相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是________．
答案 －
解析 圆x2＋y2－2x－2ycos
θ＋cos2θ＋＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－cos
θ)2＝，圆心为(1，cos
θ)，半径为，由题意得，圆心到直线的距离d＝＝，所以|sin
θ－sin2θ|＝.因为θ为锐角，所以0θ<1，sin
θ－sin2θ－＝0，解得sin
θ＝，故cos
θ＝，所以直线xsin
θ＋ycos
θ＝1的斜率k＝－＝－＝－.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
18．(12分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当m＝1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求PQ的取值范围．
(1)证明 直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，
故l恒过点A(3,2)．
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
即点A在圆C内，∴直线l与圆C恒相交．
(2)解 由题意知直线l1的方程为x＝0.
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
∴联立得交点P(0,5)，
∴PC＝2，∴PQ∈[2－2,2＋2]．
19．(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2
997
m，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统．如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4
m，高4
m．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5
m，高为3.5
m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．(参考数据：≈3.74)
解 如图，建立平面直角坐标系，设圆心M(0，m)，A(2，0)，B(0,4)，
由MA＝MB得，m＝－，
则圆的方程为x2＋2＝2，
所以当x＝2.5时，y＝－≈3.24<3.5.
即一辆宽为2.5
m，高为3.5
m的货车不能驶入这个隧道．
20．(12分)
已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)(4分)求圆M的方程；
(2)(8分)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得?
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)如图，
四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM，
即S＝(AM·PA＋BM·PB)，
又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，
而PA＝，即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，
PM的最小值即为点M到直线3x＋4y＋8＝0的距离，
所以PMmin＝＝3，
四边形PAMB面积的最小值为2＝2.
21．(12分)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，与x轴正半轴交于点B.
(1)求r的值；
(2)圆O上是否存在点P，使得△PAB的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)因为圆O：x2＋y2＝r2(r>0)经过点A(0,5)，所以r2＝25，解得r＝5.
(2)存在．因为r＝5，
所以圆O的方程为x2＋y2＝25，
依题意，得A(0,5)，B(5,0)，
所以AB＝5，
直线AB的方程为x＋y－5＝0，
又因为△PAB的面积为15，
所以点P到直线AB的距离为3，
设点P(x0，y0)，
所以点P到直线AB的距离为＝3，
解得x0＋y0＝－1或x0＋y0＝11(显然此时点P不在圆上，故舍去)，
建立方程组
解得或
所以存在点P(－4,3)或P(3，－4)满足题意．
22．(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．
解 (1)设直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
所以圆心C在直线l上，所以MN＝2.
原点O到直线l的距离d＝＝，
所以△OMN的面积S＝MN·d＝×2×＝.章末复习课
一、求圆的方程
1．求圆的方程的两种方法
直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定
系数法
(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
2．确定圆心位置的三种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
3．通过求圆的方程，体现了数学运算与逻辑推理的核心素养．
例1 求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程．
解 方法一 设所求圆的方程为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，
化为一般方程得x2＋y2－x＋y－＝0.
故圆心坐标为，
代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－.
再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
方法二 解方程组
得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)．
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上，
∴
解得
∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
反思感悟 求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．
过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
跟踪训练1 圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．
解 设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8.
由得
由得
所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
二、直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0?直线与圆相切；Δ>0?直线与圆相交；Δ<0?直线与圆相离．
2．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系来判断两圆的位置关系．
3．直线与圆、圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
例2 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且AB＝2，求直线l的方程．
解 (1)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0.
示意图如图，作MC⊥AB于C.
在Rt△MBC中，BC＝AB＝，MB＝2，
故MC＝＝1，
又M(1,1)，
故由点到直线的距离公式得＝1，
解得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，
且AB＝2，所以符合题意．
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
反思感悟 (1)判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．
(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．
跟踪训练2 已知圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长；
(2)过点C1的直线l交圆C2于A，B，且AB＝，求直线l的方程．
解 (1)两圆相减可得2x＋y＋1＝0，圆C1的圆心为(－1,0)，半径为1，圆心到直线的距离d＝，所以圆C1和圆C2的公共弦长＝2＝.
(2)圆C2的圆心为(1,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，所以＝，所以k＝1或，所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝(x＋1)．
三、轨迹问题
1．求与圆有关的轨迹问题的四种方法
2．通过求圆的轨迹问题，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．
例3 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
解 如图，以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)．
在Rt△PMO1中，PM2＝PO12－1，
在Rt△PNO2中，PN2＝PO22－1.
又因为PM＝PN，
所以PM2＝2PN2，即
PO－1＝2(PO－1)，即PO＋1＝2PO，
所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，
整理得x2＋y2－12x＋3＝0，
即为所求点P的轨迹方程．
反思感悟 (1)求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代入法等．
(2)求轨迹方程的步骤：①建系设点；②列出动点满足的轨迹条件；③把轨迹条件坐标化；④化简整理；⑤检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．
跟踪训练3 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解 设另一端点C的坐标为(x，y)
.
依题意，得AC＝AB.
由两点间距离公式，
得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．
所以点C不能为(3,5)，且≠4，≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))．
综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
1．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．－5B．m<－5或m>15
C．m<4或m>13
D．4答案 B
解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
由题意，得圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，
∴m<－5或m>15.故选B.
2．若直线x－y－3＝0截圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0所得弦长为6，则实数m的值为( )
A．－1
B．－2
C．－4
D．－31
答案 C
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，
∴圆心(1，－2)，
设圆心到直线的距离为d，则d＝＝0，
因此弦长6就是直径2r，∴r＝3.
∴r2＝5－m＝9?m＝－4，故选C.
3．(多选)点P是直线x＋y－3＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，则切线长可能为( )
A.
B.
C．1
D.
答案 ACD
解析 根据题意，由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，设T为切点，
圆O：x2＋y2＝4，其圆心为(0,0)，半径r＝2，
则切线长PT＝＝，
当PO最小时，PT最小，
POmin＝＝，
则PTmin＝＝，
ACD选项中都满足PT≥，符合题意．
4．(多选)以下四个命题表述正确的是( )
A．直线mx＋4y－12＝0(m∈R)恒过定点(0,3)
B．圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线4x－3y＋3＝0的距离为2
C．圆C1：x2＋y2＋2x＝0与圆C2：x2＋y2－4x－8y＋4＝0恰有三条公切线
D．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦所在的直线方程为x＋2y＋6＝0
答案 AC
解析 对于A选项，当x＝0时y＝3，所以直线过定点(0,3)，故A选项正确；
对于B选项，圆C的圆心为(1,4)，到直线4x－3y＋3＝0的距离为＝1，故B选项错误；
对于C选项，圆C1的圆心为(－1,0)，半径r1＝1；圆C2的圆心为(2,4)，半径r2＝4.圆心距为＝5＝r1＋r2，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确；
对于D选项，由两式相减并化简得x－2y＋6＝0，故D选项错误．(共37张PPT)
章末复习课
第2章
圆与方程
一、求圆的方程
二、直线与圆、圆与圆的位置关系
三、轨迹问题
内容索引
知识网络
随堂演练
知识网络
一、求圆的方程
1.求圆的方程的两种方法
直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定
系数法
(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
2.确定圆心位置的三种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
3.通过求圆的方程，体现了数学运算与逻辑推理的核心素养.
例1 求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.
解 方法一 设所求圆的方程为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，
再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1).
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
反思感悟 求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答.
过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
跟踪训练1 圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程.
解 设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r＞0).
因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上，
所以5x0－3y0＝8.
所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
二、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相离.
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0?直线与圆相切；Δ>0?直线与圆相交；Δ<0?直线与圆相离.
2.圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系来判断两圆的位置关系.
3.直线与圆、圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的数学核心素养.
解 (1)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0.
示意图如图，作MC⊥AB于C.
又M(1,1)，
故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
反思感悟 (1)判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.
(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.
跟踪训练2 已知圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长；
解 两圆相减可得2x＋y＋1＝0，圆C1的圆心为(－1,0)，
解 圆C2的圆心为(1,1)，
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
三、轨迹问题
1.求与圆有关的轨迹问题的四种方法
2.通过求圆的轨迹问题，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养.
例3 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝
PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
解 如图，以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，
设动点P的坐标为(x，y).
在Rt△PMO1中，PM2＝PO12－1，
在Rt△PNO2中，PN2＝PO22－1.
所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，
整理得x2＋y2－12x＋3＝0，
即为所求点P的轨迹方程.
反思感悟 (1)求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代入法等.
(2)求轨迹方程的步骤：①建系设点；②列出动点满足的轨迹条件；③把轨迹条件坐标化；④化简整理；⑤检验.在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分.
跟踪训练3 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
解 设另一端点C的坐标为(x，y).
依题意，得AC＝AB.
由两点间距离公式，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，
所以A，B，C三点不共线.
即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点.
即点C不能为(5，－1).
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1)).
但除去(3,5)和(5，－1)两点.
随堂演练
1.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是
A.－5B.m<－5或m>15
C.m<4或m>13
D.41
2
3
4
√
解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
∴m<－5或m>15.故选B.
1
2
3
4
因此弦长6就是直径2r，∴r＝3.
∴r2＝5－m＝9?m＝－4，故选C.
2.若直线x－y－3＝0截圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0所得弦长为6，则实数m的值为
A.－1
B.－2
C.－4
D.－31
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，
∴圆心(1，－2)，
√
1
2
3
4
3.(多选)点P是直线x＋y－3＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，则切线长可能为
√
√
√
解析 根据题意，由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，设T为切点，
圆O：x2＋y2＝4，其圆心为(0,0)，半径r＝2，
当PO最小时，PT最小，
1
2
3
4
4.(多选)以下四个命题表述正确的是
A.直线mx＋4y－12＝0(m∈R)恒过定点(0,3)
B.圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线4x－3y＋3＝0的距离为2
C.圆C1：x2＋y2＋2x＝0与圆C2：x2＋y2－4x－8y＋4＝0恰有三条公切线
D.两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦所在的直线方程
为x＋2y＋6＝0
1
2
3
4
√
√
解析 对于A选项，当x＝0时y＝3，
所以直线过定点(0,3)，故A选项正确；
对于B选项，圆C的圆心为(1,4)，
对于C选项，圆C1的圆心为(－1,0)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为(2,4)，半径r2＝4.
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所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确；
两式相减并化简得x－2y＋6＝0，故D选项错误.
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