(共58张PPT)
章末复习课
第3章
圆锥曲线与方程
一、圆锥曲线的定义及标准方程
二、圆锥曲线的几何性质
三、直线与圆锥曲线的位置关系
内容索引
知识网络
随堂演练
四、圆锥曲线的综合问题
知识网络
一、圆锥曲线的定义及标准方程
1.求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养.
例1 (1)已知动点M的坐标满足方程
＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不对
√
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等，
∴点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，则∠F1PF2＝______.
60°
解析 双曲线方程16x2－9y2＝144，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0).
设PF1＝m，PF2＝n，由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，
又已知m·n＝64，
所以∠F1PF2＝60°.
反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.
跟踪训练1 (1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线
＝1(a>0，b>0)的
一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________.
(2)已知双曲线
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为
√
如图所示，由d1＋d2＝6，
即AD＋BE＝6，可得CF＝3，故b＝3，
二、圆锥曲线的几何性质
1.本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点.
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”.
2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养.
√
因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
√
解析 由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.
且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，
反思感悟 求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝
，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，
√
(2)已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA＝c，则双曲线的渐近线方程为_________.
x±y＝0
解析 c2＝a2＋b2，
①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，
由①③得p2＝4b2.
④
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
三、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养.
例3 已知椭圆E的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短半轴长为2.
(1)求椭圆E的标准方程；
解 由题意，知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，
短半轴长为2，
(2)过焦点F2的直线l交椭圆E于A，B两点，满足
，求直线l的
方程.
解 由题意知直线l与x轴不重合，
设直线l：x＝ny＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得(4n2＋5)y2＋8ny－16＝0，
Δ>0显然成立.
所以(ny1＋2，y1)·(ny2＋2，y2)＝0，
即(n2＋1)y1y2＋2n(y1＋y2)＋4＝0，
即直线l的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.
反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断.
(2)一元二次方程的判断式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具.
跟踪训练3 已知椭圆E：
＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率
为
，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
由A(2,0)，得a＝2，
(2)若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，求a的取值范围.
若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，
等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解.
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
四、圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
2.圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)，F1，F2为左、右焦点，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值.
解 ①当直线AB的斜率不存在时，
②当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－8)＝32(k2＋1)＞0，
∴等号不成立.
反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解.
(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解.
跟踪训练4 设椭圆C：
＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2,0)，离心率为
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若
＝0，求证：
直线l过定点，并求出定点坐标.
解 当直线MN的斜率不存在时，设lMN：x＝m，
设直线MN与x轴交于点B，MB＝AB，
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
得(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
∴7b2＋4k2＋16kb＝0，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，
随堂演练
1.我们把方程分别为
＝1和
＝1的双曲线称为共轭双曲线，
则共轭双曲线有相同的
A.离心率
B.渐近线
C.焦点
D.顶点
√
它们的顶点坐标分别为(±a,0)，(0，±b).
设a>0，b>0，可得它们的焦点坐标分别为(±c,0)，(0，±c)，
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2.(多选)已知O为坐标原点，M(1,2)，P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F为其焦点，若F与双曲线
－y2＝1的右焦点重合，则下列说法正确的有
A.若PF＝6，则点P的横坐标为4
B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C.若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D.△PMF周长的最小值为3＋
√
√
√
选项A，若PF＝6，
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所以选项B错误；
选项C，因为O(0,0)，F(2,0)，所以△POF外接圆的圆心的横坐标为1，
又因为△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，
所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离等于半径，
所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以r＝3，
所以该外接圆面积为S＝πr2＝9π，所以选项C正确；
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3.椭圆r：
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.焦距为2c，若直线y＝
(x＋c)与椭圆r的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭
圆的离心率等于______.
解析 注意到直线过点(－c,0)即为左焦点F1，
即∠MF1F2＝60°.
又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
故∠MF2F1＝30°，那么∠F2MF1＝90°.
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4.设双曲线C：
＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM·kPN＝4，则双曲线C的离心率为_____.
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解析 由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，
则N(－x1，－y1)，
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4(共52张PPT)
章末检测试卷(三)
第3章
圆锥曲线与方程
(时间：120分钟
满分：150分)
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解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.
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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是
A.1
B.2
C.3
D.4
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解析 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
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解析 设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，
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由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，
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解析
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB的中点坐标为(2，－1)，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，
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7.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且
，则椭圆C的离心率为
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8.如图所示，F1，F2是双曲线C：
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为
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解析 ∵AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，
不妨令AB＝3，BF2＝4，AF2＝5，
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又由双曲线的定义得BF1－BF2＝2a，AF2－AF1＝2a，
∴AF1＋3－4＝5－AF1，
∴AF1＝3，∴2a＝AF2－AF1＝2，∴a＝1，BF1＝6.
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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为
A.y2＝2x
B.y2＝－4x
C.x2＝－4y
D.x2＝－2y
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此时抛物线的标准方程是y2＝2x，
与y轴的交点坐标是(0，－1)，
抛物线的焦点坐标是(0，－1)，
此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
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10.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为
，则
A.BF＝3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2＝6x
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解析 由题意，得以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，
且∠ABD＝90°，
由抛物线定义，可得AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FBD＝30°，
又焦点F到准线的距离为p＝BFsin
30°＝3，
则抛物线方程为y2＝6x，
则BCD正确，A错误.
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C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D.双曲线的焦点坐标为(－13,0)，(13,0)
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与双曲线只有一个交点；
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D错误，因为c2＝a2＋b2＝13，
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12.已知椭圆
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有
A.△PF1F2的周长为4＋
B.当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2中PF1＝2
C.当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D.椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
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故选项A正确；
对于选项B，当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，
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当∠F1PF2＝60°时，
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当点P位于椭圆的上、下顶点时，PF1＝PF2＝a＝2，
而F1F2＝2c＝
，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，
当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，
此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，
同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，
此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确.
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三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知抛物线y2＝2mx(m>0)的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2－2x－2ty＋t2－15＝0，则m＝___.
解析 由题意可知圆的方程为x2＋y2－2x－2ty＋t2－15＝0，
即(x－1)2＋(y－t)2＝16，
可得弦AB的中点的横坐标为1，圆的半径为4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，
所以x1＋x2＋m＝8，可得m＝6.
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解析 结合题意，绘制图象，
根据双曲线的性质可知PF1－PF2＝2a＝2，
得到PF1＝PF2＋2，
所以PF1＋PQ＝PF2＋PQ＋2≥QF2＋2，
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所以最小值为6.
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15.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________.
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16.设双曲线
＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为___.
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解析 根据题意，得a2＝9，b2＝16.
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四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)设F1，F2分别为双曲线
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足PF2＝F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.
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解 设PF1的中点为M，连接F2M(图略).
由PF2＝F1F2，
故F2M⊥PF1，即F2M＝2a.
故PF1＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，
即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
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18.(12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为
，一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程.
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所以b2＝36，n2＝4.
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19.(12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
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解 因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
所以条件④不适合题意.
当选择条件③时，AF＝xA＋1＝1＋1＝2，
此时适合题意.
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
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(2)过点(4,0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两点，试探究是否总有
？请说明理由.
解 由题意得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2).
所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，
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20.(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程；
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因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，
所以此抛物线的方程为y2＝8x.
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(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值.
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设直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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解得k＝2或k＝－1(舍去)，
所以所求k的值为2.
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(1)求椭圆C的方程；
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(2)若过椭圆C的右焦点的直线l的倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E，F两点，求△OEF的面积.
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22.(12分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
解 设P(x，y)(x≥0)，
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两边平方，整理得y2＝4x.
∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
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(2)过椭圆C1：
＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点
①求证：OA⊥OB；
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证明 设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x＝my＋4.
代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.
∴OA⊥OB.
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②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值.
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证明 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线DE的方程为x＝ty＋λ，
得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.
∵OD⊥OE，∴x3x4＋y3y4＝0.
代入，整理得7λ2＝48(t2＋1).
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22章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.
2．椭圆＋＝1的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为椭圆方程为＋＝1，
所以a＝3，c＝＝＝.
所以e＝＝.
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A.
B.
C．1
D.
答案 B
解析 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐逝线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝2y－1
B．x2＝2y－
C．x2＝y－
D．x2＝2y－2
答案 A
解析 设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，
则y0＝x，又F(0,1)，所以
所以代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，化简得x2＝2y－1.
5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．1
B．0
C．－2
D．－
答案 C
解析 设点P(x0，y0)，则x－＝1，
由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，
则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)
＝x－x0－2＋y，
由双曲线方程得y＝3(x－1)，
故·＝4x－x0－5(x0≥1)，
可得当x0＝1时，·有最小值－2.
6．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，过点(4,0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(2，－1)，则椭圆E的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得＋＝0，
因为AB的中点坐标为(2，－1)，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，
所以＝－＝，
又kAB＝＝＝，
所以＝，即a＝2b，所以e＝＝＝.
7．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为( )
A.
B.
C.
D．3
答案 A
解析 如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c,0)为右焦点，设D(x，y)，由＝2，
得(c，－b)＝2(x－c，y)，即
解得所以D.
因为点D在椭圆上，所以＋＝1，
解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝.
8.如图所示，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )
A．2
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，
不妨令AB＝3，BF2＝4，AF2＝5，
∵AB2＋BF＝AF，∴∠ABF2＝90°，
又由双曲线的定义得BF1－BF2＝2a，AF2－AF1＝2a，
∴AF1＋3－4＝5－AF1，
∴AF1＝3，∴2a＝AF2－AF1＝2，∴a＝1，BF1＝6.
在Rt△BF1F2中，F1F＝BF＋BF＝36＋16＝52，
又F1F＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴e＝.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x
B．y2＝－4x
C．x2＝－4y
D．x2＝－2y
答案 AC
解析 直线2x－y－1＝0与x轴的交点坐标是，
即抛物线的焦点坐标是，
此时抛物线的标准方程是y2＝2x，
与y轴的交点坐标是(0，－1)，
抛物线的焦点坐标是(0，－1)，
此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
10．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．BF＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案 BCD
解析 由题意，得以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，且∠ABD＝90°，
由抛物线定义，可得AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FBD＝30°，
∵S△ABF＝BF2＝9，∴BF＝6.
又焦点F到准线的距离为p＝BFsin
30°＝3，
则抛物线方程为y2＝6x，
则BCD正确，A错误．
11．已知双曲线C：－＝1，则下列说法正确的是( )
A．直线y＝x＋1与双曲线有两个交点
B．双曲线C与－＝1有相同的渐近线
C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D．双曲线的焦点坐标为(－13,0)，(13,0)
答案 BC
解析 A错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；B正确，两曲线渐近线方程均为y＝±x；C正确；右焦点(，0)到渐近线y＝x的距离为3；D错误，因为c2＝a2＋b2＝13，所以双曲线焦点坐标为(，0)和(－，0)．
12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有( )
A．△PF1F2的周长为4＋2
B．当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2中PF1＝2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
答案 AD
解析 由椭圆的方程可得，a＝2，b＝，c＝，
对于选项A，△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋2，故选项A正确；
对于选项B，当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，令x＝－，可得y＝±1，所以PF1＝1，故选项B不正确；
当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2×tan
30°＝2×＝，故选项C不正确；
当点P位于椭圆的上、下顶点时，PF1＝PF2＝a＝2，而F1F2＝2c＝2，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知抛物线y2＝2mx(m>0)的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2－2x－2ty＋t2－15＝0，则m＝________.
答案 6
解析 由题意可知圆的方程为x2＋y2－2x－2ty＋t2－15＝0，
即(x－1)2＋(y－t)2＝16，
可得弦AB的中点的横坐标为1，圆的半径为4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，
所以x1＋x2＋m＝8，可得m＝6.
14．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，顶点Q(0,2)，P是双曲线C右支上的动点，则PF1＋PQ的最小值等于________．
答案 6
解析 结合题意，绘制图象，
根据双曲线的性质可知PF1－PF2＝2a＝2，
得到PF1＝PF2＋2，
所以PF1＋PQ＝PF2＋PQ＋2≥QF2＋2，
而Q(0,2)，F2(2,0)，
所以QF2＝＝4，
所以最小值为6.
15．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
答案 －1
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，F2的坐标为(c,0)，P点坐标为(不妨取第一象限内点P)，由题意知PF2＝F1F2，所以＝2c，a2－c2＝2ac，2＋2－1＝0，解得＝±－1，负值舍去，所以e＝＝－1.
16．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案
解析 根据题意，得a2＝9，b2＝16.
所以c＝＝5，且A(3,0)，F(5,0)．
因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
所以直线BF的方程为y＝±(x－5)．
①若直线BF的方程为y＝(x－5)，
与渐近线y＝－x交于点B，
此时S△AFB＝AF·|yB|＝×2×＝；
②若直线BF的方程为y＝－(x－5)，与渐近线y＝x交于点B，
此时S△AFB＝AF·|yB|＝×2×＝.
因此，△AFB的面积为.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足PF2＝F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
解 设PF1的中点为M，连接F2M(图略)．
由PF2＝F1F2，
故F2M⊥PF1，即F2M＝2a.
在Rt△F1F2M中，F1M＝＝2b，
故PF1＝4b.
根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，
即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即4x±3y＝0.
18．(12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解 ①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝，
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
19．(12分)给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
(2)过点(4,0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两点，试探究是否总有⊥？请说明理由．
解 (1)因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合．
又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
所以条件④不适合题意．
当选择条件③时，AF＝xA＋1＝1＋1＝2，
此时适合题意．
故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x.
(2)由题意得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消x得，y2－4ty－16＝0，
所以Δ>0恒成立，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
则x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)＝t2y1y2＋4t(y1＋y2)＋16＝－16t2＋16t2＋16＝16，
所以·＝x1x2＋y1y2＝16－16＝0，
所以⊥.
综上所述，无论l如何变化，总有⊥.
20．(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．
解 (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p>0，其准线方程为x＝－，
因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，
所以4＋＝6，所以p＝4，
所以此抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
设直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有解得k>－1，且k≠0，且x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)，
所以所求k的值为2.
21．(12分)设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，A(0,2)，B(2,0)，且＋＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l的倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E，F两点，求△OEF的面积．
解 (1)由题意知，b＝2，椭圆方程为＋＝1，设P(x，y)，A(0,2)，B(2,0)，由＋＝，
得(2,2)＝(x，y)，则
可得＋＝1，即a2＝8.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)c＝＝2.所以直线l的方程为y＝x－2，代入椭圆方程＋＝1，
整理得3x2－8x＝0，则x＝0或x＝.
所以交点坐标为(0，－2)和，
所以EF＝＝，
O到直线l的距离d＝＝，
所以S△OEF＝××＝.
22．(12分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆C1：＋＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点
①求证：OA⊥OB；
②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值．
(1)解 设P(x，y)(x≥0)，
由题意，＝x＋1(x≥0)，
两边平方，整理得y2＝4x.
∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
(2)证明 ①设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x＝my＋4.
代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.
∴OA⊥OB.
②设D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线DE的方程为x＝ty＋λ，
代入＋＝1，
得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.
于是y3＋y4＝－，y3y4＝.
从而x3x4＝(ty3＋λ)(ty4＋λ)＝.
∵OD⊥OE，∴x3x4＋y3y4＝0.
代入，整理得7λ2＝48(t2＋1)．
∴原点到直线DE的距离d＝＝为定值．章末复习课
一、圆锥曲线的定义及标准方程
1．求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．
例1 (1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
答案 C
解析 把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等，
∴点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，则∠F1PF2＝________.
答案 60°
解析 双曲线方程16x2－9y2＝144，
化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．
设PF1＝m，PF2＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，
又已知m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝＝
＝＝＝.
所以∠F1PF2＝60°.
反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．
答案 x2－＝1
解析 由题意得解得则b2＝c2－a2＝3，
因此双曲线方程为x2－＝1.
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 C
解析 方法一 因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，解得a＝，所以b＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
方法二 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以
解得
如图所示，由d1＋d2＝6，即AD＋BE＝6，可得CF＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1.
二、圆锥曲线的几何性质
1．本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．
2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
例2 (1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝(x－c)．②
联立①②，得P点纵坐标y＝(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)．
因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，
所以sin
60°＝＝＝，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝＝.故选D.
(2)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2
B.
C.
D.
答案 A
解析 由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝.故离心率e＝＝2.
反思感悟 求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，
故e＝＝.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA＝c，则双曲线的渐近线方程为__________．
答案 x±y＝0
解析 c2＝a2＋b2，①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，
双曲线过点，
即－＝1.②
由FA＝c，得c2＝a2＋，③
由①③得p2＝4b2.④
将④代入②，得＝2.
∴＝2，即＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
三、直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．
2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养．
例3 已知椭圆E的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短半轴长为2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过焦点F2的直线l交椭圆E于A，B两点，满足⊥，求直线l的方程．
解 (1)由题意，知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短半轴长为2，
可得c＝1，b＝2，则a＝＝，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知直线l与x轴不重合，设直线l：x＝ny＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理得(4n2＋5)y2＋8ny－16＝0，
Δ>0显然成立．
可得y1＋y2＝－，y1y2＝－，
又由⊥，则·＝0，得(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝0，
所以(ny1＋2，y1)·(ny2＋2，y2)＝0，
即(n2＋1)y1y2＋2n(y1＋y2)＋4＝0，
代入可得(n2＋1)＋2n×＋4＝0，解得n2＝，
所以直线l的方程为x＝±y＋1，
即直线l的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.
反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断．
(2)一元二次方程的判断式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．
跟踪训练3 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，求a的取值范围．
解 (1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，
∴c＝，b＝，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由e＝，设椭圆的方程为＋＝1，
联立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是.
四、圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．
例4 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且与抛物线y2＝x交于M，N两点，△OMN(O为坐标原点)的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)，F1，F2为左、右焦点，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．
解 (1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与抛物线y2＝x交于M，N两点，
可设M(x，)，N(x，－)，
∵△OMN的面积为2，
∴x＝2，解得x＝2，
∴M(2，),
N(2，－)，
由已知得解得a＝2，b＝2，c＝2，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A(2，)，B(2，－)，C(－2，－)，故S△ABC＝×2×4＝4；
②当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－8＝0，
则Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－8)＝32(k2＋1)＞0，
x1＋x2＝，x1·x2＝，
AB＝
＝
＝4·，
点O到直线kx－y－2k＝0的距离d＝＝，
∵O是线段AC的中点，∴点C到直线AB的距离为2d＝，
∴S△ABC＝AB·2d＝··＝8·.
∵＝≤＝，又k2≠k2＋1，
∴等号不成立．
∴S△ABC＝8·＜4，
综上，△ABC面积的最大值为4.
反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．
(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．
跟踪训练4 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，右顶点是A(2,0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若·＝0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．
解 (1)右顶点是A(2,0)，离心率为，
∴a＝2，＝，
∴c＝1，则b＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线MN的斜率不存在时，设lMN：x＝m，
与椭圆方程＋＝1联立得|y|＝，MN＝2，
设直线MN与x轴交于点B，MB＝AB，
即＝2－m，
∴m＝或m＝2(舍去)，
∴直线m过定点；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：y＝kx＋b(k≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，得
(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
Δ＝(8kb)2－4(4k2＋3)(4b2－12)＞0，k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，
·＝0，则(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
∴7b2＋4k2＋16kb＝0，
∴b＝－k或b＝－2k，
∴直线lMN：y＝k或y＝k(x－2)，
∴直线过定点或(2,0)(舍去)，
综上知，直线过定点.
1．我们把方程分别为－＝1和－＝1的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同的( )
A．离心率
B．渐近线
C．焦点
D．顶点
答案 B
解析 共轭双曲线－＝1和－＝1的c＝，设a>0，b>0，可得它们的焦点坐标分别为(±c,0)，(0，±c)，渐近线方程均为y＝±x，离心率分别为和，它们的顶点坐标分别为(±a,0)，(0，±b)．
2．(多选)已知O为坐标原点，M(1,2)，P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F为其焦点，若F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则下列说法正确的有( )
A．若PF＝6，则点P的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D．△PMF周长的最小值为3＋
答案 ACD
解析 因为双曲线的方程为－y2＝1，
所以a2＝3，b2＝1，则c＝＝2，
因为抛物线C的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，
所以＝2，即p＝4，
选项A，若PF＝6，则点P的横坐标为x0＝PF－＝4，所以选项A正确；
选项B，因为抛物线C的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为＝＝，所以选项B错误；
选项C，因为O(0,0)，F(2,0)，所以△POF外接圆的圆心的横坐标为1，又因为△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以r＝3，所以该外接圆面积为S＝πr2＝9π，所以选项C正确；
选项D，因为△PMF的周长为C＝PF＋PM＋MF＝xP＋＋PM＋＝(xP＋PM)＋2＋≥xM＋2＋＝3＋，所以选项D正确．
3．椭圆r：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆r的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于______．
答案 －1
解析 注意到直线过点(－c,0)即为左焦点F1，
又斜率为，所以其倾斜角为60°，
即∠MF1F2＝60°.
又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
故∠MF2F1＝30°，那么∠F2MF1＝90°.
MF1＝F1F2·cos
60°＝2c·＝c，
MF2＝F1F2·sin
60°＝2c·＝c，e＝＝＝＝－1.
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM·kPN＝4，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，
则N(－x1，－y1)，
所以kPM·kPN＝·＝，
因为－＝1，－＝1，
所以两式相减可得＋＝0，
即＝，
因为kPM·kPN＝4，所以＝4，
则e＝＝＝.
