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章末检测试卷(五)
(时间：120分钟
满分：150分)
第5章
导数及其应用
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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)
的几何意义是
A.在x＝x0处的函数值
B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
√
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2.已知函数f(x)＝ln
x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于
√
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3.二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，
故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，
又其图象过原点，故顶点在第三象限.
√
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4.以正弦曲线y＝sin
x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是
解析 y′＝cos
x，∵cos
x∈[－1,1]，
∴切线的斜率的取值范围是[－1,1]，
√
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5.设曲线y＝
在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a等于
∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
√
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6.函数f(x)＝
的部分图象大致为
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∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故排除D.
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A.1
B.－1
C.4
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要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上是增函数，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上是减函数，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，
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8.已知函数f(x)＝(2x2－3x)ex，则函数y＝3[f(x)]2＋2f(x)－1零点的个数是
A.6
B.5
C.4
D.3
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√
解析 f(x)＝(2x2－3x)ex，f′(x)＝(2x2＋x－3)ex＝(2x＋3)(x－1)ex，
在(1，＋∞)上是增函数，
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且当x→－∞时，f(x)→0，
所以函数y＝3[f(x)]2＋2f(x)－1零点的个数是5.
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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则
A.函数f(x)有极大值f(3)
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√
D.函数f(x)有极小值f(－3)
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解析 当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－3
3时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3).
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10.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的值可以是
解析 由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则Δ＝4a2－12≤0，
√
√
√
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C.在区间(1，e)内无零点
D.在区间(1，e)内有零点
√
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√
令f′(x)>0，得x>3；
令f′(x)<0，得0令f′(x)＝0，得x＝3，
故函数f(x)在区间(0,3)上是减函数，
在区间(3，＋∞)上是增函数，
所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln
3<0，
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12.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
解析 对于A，f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；
对于B，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；
√
√
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三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝_____.
解析 由题意得f′(x)＝2f′(2)＋3x2，
∴f′(2)＝2f′(2)＋12，
∴f′(2)＝－12.
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14.函数g(x)＝x3－6x2＋9x－10的零点有____个.
解析 g(x)＝x3－6x2＋9x－10，
故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上是增函数，在[1,3]上是减函数，
则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，
函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点.
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15.若函数y＝ex－ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是_____.
解析 y′＝ex－a，由题意得ex－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
即a≤ex在区间[1，＋∞)上恒成立.
∴a≤e，即a的最大值是e.
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e
16.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.下列关于f(x)的命题：
①函数f(x)的极大值点为0,4；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，
那么t的最大值为4；
④当1⑤函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确命题的序号是________.
x
－1
0
4
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f(x)
1
2
2
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①②⑤
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解析 由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，
函数f(x)的极大值点为0,4，故①正确；
因为在[0,2]上f′(x)≤0，
故函数f(x)在[0,2]上是减函数，故②正确；
由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；
由f(x)＝a知，因为极小值f(2)未知，所以函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4，所以④不正确，⑤正确.
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四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f(x)＝aln
x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.
(1)求实数a，b的值；
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
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由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，
∴切点为(2,4)或(－1,1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
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18.(12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数f(x)的一个极值点.
(1)求函数f(x)的增区间；
解 由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，
f′(1)＝0，则a＝3.
f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的增区间为(－∞，0)和(1，＋∞).
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(2)当x∈[－1,2]时，求函数f(x)的最小值.
解 当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
?
＋
0
－
0
＋
?
f(x)
－1
↗
极大值
↘
极小值
↗
8
当x＝－1时，f(－1)＝2(－1)3－3(－1)2＋4＝－1；
当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，
所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.
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19.(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
解 f′(x)＝3(x2－2)，
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(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围.
解 令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，
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(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
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(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
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解 f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0，得x>2或x<1；
由f′(x)<0，得1∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上是增函数，在(1,2)上是减函数，
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21.(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为
(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
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(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值.
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①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，
所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；
②若4令L′(x)＝0，得x＝a＋31，
易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a.
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综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，
该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；
当4最大利润为500e9－a万元.
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①求a，b的值；
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
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则只需c≥f(x)min.
当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
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∴f(x)min＝f(2)，
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(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围.
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当a＝0时，f(x)＝ln
x，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a>0时，∵x>0，
∴2ax2＋x＋a>0，
∴f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
1
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22
此时f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
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2
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22章末复习课
一、导数的计算
1．此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档．
2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养．
例1 (1)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 根据题意，知函数f(x)＝，
其导函数f′(x)＝
＝＝.
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝________.
答案 2
解析 因为f(x)＝x·ln(2x－1)，
所以f′(x)＝ln(2x－1)＋·(2x－1)′
＝ln(2x－1)＋，则f′(1)＝2.
反思感悟 导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝ln
x＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为( )
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0
D．x＋y＋3＝0
答案 C
解析 由f(x)＝ln
x＋2x2－4x，得f′(x)＝＋4x－4，
所以f′(1)＝1，又f(1)＝－2，
所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.
(2)已知曲线f(x)＝aln
x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．3
答案 A
解析 由f(x)＝aln
x＋x2，得f′(x)＝＋2x，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3.
二、函数的单调性与导数
1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档．
2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
例2 已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，
f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，
由于φ′(x)＝ex＋2>0，
故f′(x)是增函数，注意到f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)由f(x)≥x3＋1得，
ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0，
①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；
②当x>0时，分离参数a得，a≥－，
记g(x)＝－，
g′(x)＝－，
令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，
则h′(x)＝ex－x－1，
令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，
故h′(x)是增函数，h′(x)≥h′(0)＝0，
故函数h(x)是增函数，h(x)≥h(0)＝0，
由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，
故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)是增函数；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)是减函数；
因此，g(x)max＝g(2)＝，
综上可得，a的取值范围是.
反思感悟 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的．
跟踪训练2 设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
答案 D
解析 因为f(x)＝＋ln
x，x>0，
所以f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，
即－＋＝＝0，解得x＝2.
当0当x>2时，f′(x)>0，
所以x＝2为f(x)的极小值点．
三、与导数有关的综合性问题
1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，
多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档．
2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养．
例3 已知函数f(x)＝－ax2＋ln
x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝－2ax＋＝，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
令f′(x)>0，得x∈；
令f′(x)<0，得x∈，
所以f(x)在上是增函数，
在上是减函数．
(2)由f(x)>－a，得a(x2－1)－ln
x<0，
因为x∈(1，＋∞)，所以－ln
x<0，x2－1>0，
当a≤0时，a(x2－1)－ln
x<0，符合题意；
当a≥时，设g(x)＝a(x2－1)－ln
x(x>1)，
则g′(x)＝>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)>g(1)＝0，不符合题意；
当00，
得x∈，
令g′(x)<0，得x∈，
所以g(x)min＝g则存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，
综上，a的取值范围是.
反思感悟 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题．
跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解 (1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，
所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，
又200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，
所以V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上是增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上是减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
1．曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为( )
A．－6
B．6
C．12
D．－12
答案 A
解析 由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，
则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
∵f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，
∴27－6a＋3＝0，
∴a＝5.
3．函数y＝x4－2x2＋5的减区间为( )
A．(－∞，－1)和(0,1)
B．(－1,0)和(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
答案 A
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得x<－1或04．已知a>0，函数f(x)＝2x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
答案 6
解析 f′(x)＝6x2－a，令f′(x)>0，得x>或x<－，所以≤1，解得0(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)
的几何意义是( )
A．在x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
答案 C
2．已知函数f(x)＝ln
x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于( )
A．－
B．－
C.
D．1
答案 C
解析 因为f(x)＝ln
x，则f′(x)＝，所以f′(2)＝.
3．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 C
解析 ∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限．
4．以正弦曲线y＝sin
x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.∪
B．[0，π)
C.
D.∪
答案 A
解析 y′＝cos
x，∵cos
x∈[－1,1]，∴切线的斜率的取值范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
5．设曲线y＝在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－
B.
C．－2
D．2
答案 A
解析 由题意得，y′＝＝(x>0)，∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，∴＝－a，解得a＝－.
6．函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 C
解析 f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)＝<1，故排除A；∵当x>0时，f′(x)＝，又当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故排除D.
7．若函数f(x)＝(x>1)有最大值－4，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．4
D．－4
答案 B
解析 由函数f(x)＝(x>1)，得f′(x)＝＝，要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上是增函数，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上是减函数，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝＝－4，解得a＝－1，满足题意．
8．已知函数f(x)＝(2x2－3x)ex，则函数y＝3[f(x)]2＋2f(x)－1零点的个数是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
答案 B
解析 f(x)＝(2x2－3x)ex，f′(x)＝(2x2＋x－3)ex＝(2x＋3)(x－1)ex，
令f′(x)>0，得x<－或x>1，
令f′(x)<0，得－所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
且f?＝，f(1)＝－e，
且当x→－∞时，f(x)→0，
令3[f(x)]2＋2f(x)－1＝0，得f(x)＝－1或f(x)＝，
所以f(x)＝－1有两个解，f(x)＝有三个解，
所以函数y＝3[f(x)]2＋2f(x)－1零点的个数是5.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A．函数f(x)有极大值f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－)
C．函数f(x)有极大值f()
D．函数f(x)有极小值f(－3)
答案 AD
解析 当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的值可以是( )
A．－
B．－1
C.
D．2
答案 ABC
解析 由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
11．设函数f(x)＝x－ln
x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间内无零点
B．在区间内有零点
C．在区间(1，e)内无零点
D．在区间(1，e)内有零点
答案 AD
解析 由题意得f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>3；
令f′(x)<0，得0令f′(x)＝0，得x＝3，
故函数f(x)在区间(0,3)上是减函数，
在区间(3，＋∞)上是增函数，
所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln
3<0，
又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f?＝＋1>0.
所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
12．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝
答案 ACD
解析 对于A，f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；
对于B，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；
对于C，f′(x)＝，方程ln
x＝有解，有“巧值点”；
对于D，f′(x)＝－，由＝－，得x＝－1，有“巧值点”．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝________.
答案 －12
解析 由题意得f′(x)＝2f′(2)＋3x2，
∴f′(2)＝2f′(2)＋12，
∴f′(2)＝－12.
14．函数g(x)＝x3－6x2＋9x－10的零点有________个．
答案 1
解析 g(x)＝x3－6x2＋9x－10，
故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上是增函数，在[1,3]上是减函数，
则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，
函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点．
15．若函数y＝ex－ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是________．
答案 e
解析 y′＝ex－a，由题意得ex－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
即a≤ex在区间[1，＋∞)上恒成立．
∴a≤e，即a的最大值是e.
16．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
①函数f(x)的极大值点为0,4；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1⑤函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确命题的序号是________．
答案 ①②⑤
解析 由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，函数f(x)的极大值点为0,4，故①正确；
因为在[0,2]上f′(x)≤0，故函数f(x)在[0,2]上是减函数，故②正确；
由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；
由f(x)＝a知，因为极小值f(2)未知，所以函数y＝f(x)－a的零点个数可能为0,1,2,3,4，所以④不正确，⑤正确．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝aln
x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程．
解 (1)f′(x)＝＋2x，
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
所以即解得
(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.
设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝x，
故切线方程为y－－＝x(x－x0)．
由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，
∴切点为(2,4)或(－1,1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数f(x)的一个极值点．
(1)求函数f(x)的增区间；
(2)当x∈[－1,2]时，求函数f(x)的最小值．
解 (1)由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，
f′(1)＝0，则a＝3.
f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)的增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
(2)当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
↗
极大值
↘
极小值
↗
8
当x＝－1时，f(－1)＝2(－1)3－3(－1)2＋4＝－1；
当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，
所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.
19．(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3(x2－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝，
当x<－或x>时，f′(x)>0；
当－∴函数f(x)的增区间是(－∞，－)，(，＋∞)，减区间是(－，)．
∴当x＝－时，f(x)取得极大值为f(－)＝5＋4，
当x＝时，f(x)取得极小值为f()＝5－4.
(2)令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，
由(1)可得g(x)的极大值为5＋4－a，
极小值为5－4－a，
∵g(x)＝0有3个不同的实根，故
解得5－4∴当5－4∴实数a的取值范围是(5－4，5＋4)．
20．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝32－≥－，
由f′(x)≥m恒成立，可得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0，得x>2或x<1；
由f′(x)<0，得1∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上是增函数，在(1,2)上是减函数，
∴f(x)极大值＝f(1)＝－a，f(x)极小值＝f(2)＝2－a.
∵f(x)恰有一个零点，∴－a<0或2－a>0，
即a<2或a>.
∴a的取值范围为(－∞，2)∪.
21．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
解 (1)设该产品一年的销售量为Q(x)＝，
则＝500，所以k＝500e40，
则该产品一年的销售量Q(x)＝，
则该产品一年的利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，
所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；
②若4令L′(x)＝0，得x＝a＋31，
易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；
当422．(12分)已知函数f(x)＝2ax－＋ln
x.
(1)若f(x)在x＝1，x＝处取得极值．
①求a，b的值；
②若存在x0∈，使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值；
(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围．
解 (1)①函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，
即解得
②若存在x0∈，使得不等式f(x0)－c≤0成立，
则只需c≥f(x)min.
∵f′(x)＝－－＋＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；
当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
∴f(x)在x＝处取得极小值，
即f?＝＋ln
＝－ln
2，
又f(2)＝－＋ln
2，
∴f(x)min＝f(2)，
∴c≥f(x)min＝－＋ln
2，
∴c∈，
故cmin＝－＋ln
2.
(2)当a＝b时，f′(x)＝.
当a＝0时，f(x)＝ln
x，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a>0时，∵x>0，
∴2ax2＋x＋a>0，
∴f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a<0时，设g(x)＝2ax2＋x＋a＝2a2＋a－，
∵－>0，
故只需Δ≤0，从而得a≤－，
此时f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
综上可得，a∈∪[0，＋∞)．(共37张PPT)
章末复习课
第5章
导数及其应用
一、导数的计算
二、函数的单调性与导数
三、与导数有关的综合性问题
内容索引
知识网络
随堂演练
知识网络
一、导数的计算
1.此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档.
2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养.
√
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝_____.
解析 因为f(x)＝x·ln(2x－1)，
2
反思感悟 导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝ln
x＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为
A.x－y＋3＝0
B.x＋y－3＝0
C.x－y－3＝0
D.x＋y＋3＝0
所以f′(1)＝1，又f(1)＝－2，
所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，
即x－y－3＝0.
√
(2)已知曲线f(x)＝aln
x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为
A.－3
B.1
C.2
D.3
则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，
由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，
即a＋2＝－1，解得a＝－3.
√
二、函数的单调性与导数
1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档.
2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
例2 已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
解 当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，
f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，
由于φ′(x)＝ex＋2>0，
故f′(x)是增函数，注意到f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；
则h′(x)＝ex－x－1，
令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，
故h′(x)是增函数，h′(x)≥h′(0)＝0，
故函数h(x)是增函数，h(x)≥h(0)＝0，
故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)是增函数；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)是减函数；
反思感悟 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的.
C.x＝2为f(x)的极大值点
D.x＝2为f(x)的极小值点
√
当0当x>2时，f′(x)>0，
所以x＝2为f(x)的极小值点.
三、与导数有关的综合性问题
1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，
多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.一般出现在高考题解答题中，难度中高档.
2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养.
例3 已知函数f(x)＝－ax2＋ln
x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围.
解 由f(x)>－a，得a(x2－1)－ln
x<0，
因为x∈(1，＋∞)，所以－ln
x<0，x2－1>0，
当a≤0时，a(x2－1)－ln
x<0，符合题意；
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)>g(1)＝0，不符合题意；
则存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，
反思感悟 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题.
跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
解 因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，
所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，
又200πrh＋160πr2＝12
000π，
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去).
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上是增函数；
由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
随堂演练
1.曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为
A.－6
B.6
C.12
D.－12
1
2
3
4
√
解析 由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，
则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，
得a＝－6.
1
2
3
4
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
∵f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，
∴27－6a＋3＝0，
∴a＝5.
2.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于
A.2
B.3
C.4
D.5
√
1
2
3
4
3.函数y＝x4－2x2＋5的减区间为
A.(－∞，－1)和(0,1)
B.(－1,0)和(1，＋∞)
C.(－1,1)
D.(－∞，－1)和(1，＋∞)
√
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，
令y′<0，得x<－1或04.已知a>0，函数f(x)＝2x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值
是_____.
解析 f′(x)＝6x2－a，令f′(x)>0，
6
解得01
2
3
4