2021—2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定常考热点优生辅导训练(Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》常考热点优生辅导训练（附答案）
1．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
2．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8．P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（　　）
A．8 B．2 C．4 D．2
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为（　　）
A．2 B．2 C．6 D．8
4．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG＝（BC﹣AD），其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（4，5） B．（5，4） C．（4，4） D．（5，3）
6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
8．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；
其中正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝24cm，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为　 　cm．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，若AF＝1，则菱形ABCD的面积等于　 　．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为　 　．
12．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝　 　度．
13．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝　 　．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
16．已知：如图，?ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点．过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△FBE≌△COE；
（2）将?ABCD添加一个条件，使四边形AFBO是菱形，并说明理由．
17．在Rt△ABC中∠B＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AC于E，过A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接FC
求证：（1）△AEF≌△CED；
（2）四边形ADCF是菱形．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
19．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
20．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC中点，BD⊥DC，EA平分∠DEB．
（1）求证：AE＝DC；
（2）求证：四边形ABED是菱形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，故选：B．
2．解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝8，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA＝AD＝8，
∵PE＝ED，PF＝FB，
∴EF＝BD＝4．故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCD═AC×BD＝96，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝6，故选：C．
4．解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是菱形，正确；
③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
∴EN＝BC，GN＝AD，
∴EG＝（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误．
综上所述，①②③共3个正确．故选：C．
5．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（5，4）．故选：B．
6．解：在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD＝AB＝AC＝2，OA＝AC＝1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE＝OD＝＝＝，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝；故选：C．
7．解：延长EF交DC的延长线于H点．
∵在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，
∴∠B＝80°，BE＝BF．
∴∠BEF＝（180°﹣80°）÷2＝50°．
∵AB∥DC，∴∠FHC＝∠BEF＝50°．
又∵BF＝FC，∠B＝∠FCH，
∴△BEF≌△CHF．
∴EF＝FH．
∵EP⊥DC，
∴∠EPH＝90°．
∴FP＝FH，则∠FPC＝∠FHP＝∠BEF＝50°．故选：C．
8．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴HF＝BD，故④说法正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故②说法不正确；
∴AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③说法正确，
故选：C．
9．解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13cm，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12cm，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
∵OB＝OD＝＝＝5（cm），
∴BD＝2OD＝10（cm），
∴EG＝BD＝10（cm），
故答案为：10．
10．解：连接DB，
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，
∴∠AEF＝90°，AB＝2AE，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴∠FAE＝30°，
∴AE＝，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴AD＝AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AB＝2AE＝，
∴AC＝2AO＝，
∴菱形ABCD的面积＝，
故答案为：
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD＝2，
∴∠AOB＝90°，
∵E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2，
∴OA＝，
∴AB＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4；
故答案为：4．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO＝＝25°，
故答案为：25．
13．解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO＝OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE＝BD，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠ABC＝140°，
∴∠OBE＝70°，
∴∠OED＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
14．（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，在
△FCE和△BOE中，，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
15．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∵AF＝DC，
∴DB＝DC，即D是BC的中点；
（2）证明：∵AF∥DC，AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，DB＝DC，
∴AD＝BC＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
16．（1）证明：如图，取BC的中点G，连接EG．
∵E是BO的中点，
∴BE＝OE，
又∵BF∥AC，
∴∠FBE＝∠COE．
在△FBE△COE中，，
∴△FBE≌△COE（AAS）；
（2）解：当AC＝BD时，四边形AFBO是菱形．理由如下：
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴平行四边形AFBO是菱形．
17．（1）证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS）．
（2）∵在Rt△ABC中∠B＝90°，∠ACB＝30°，
∴AB＝AC．
由（1）知，△AEF≌△CED，则AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
由题意知，AE＝AB，∠EAD＝∠BAD，AD＝AD，
∴△AED≌△ABD．
∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC．
∴四边形ADCF是菱形．
18．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAE＝∠C，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
∵DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
在Rt△ADB中，
∵E为AB的中点，
∴BE＝DE，
∴四边形DEBF是菱形．
20．证明：（1）∵E为BC中点，BD⊥DC，
∴DE＝BC＝BE＝CE，
∵EA平分∠DEB，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEB，AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE，
∴AD＝CE，
∴四边形AECD平行四边形，
∴AE＝DC；
（2）由（1）知，四边形AECD平行四边形，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴AD∥BE，
由（1）知，DE＝BE＝CE，
∴AD＝BE＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED是菱形．