2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定自主学习优生提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》自主学习
优生提升训练（附答案）
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
2．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
5．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝AD，则∠ACE的度数为（　　）
A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
6．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（　　）
A． B． C． D．2
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为（　　）
A．2 B． C． D．
9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
10．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（　　）
A．24 B．12 C．4 D．2
11．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
12．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
13．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．若AD＝2，则当四边形ABCD的形状是　 　时，四边形AOBE的面积取得最大值是　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是　 　．
15．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为　 　．
16．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点G的坐标为　 　．
17．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，求BE的长．
18．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝8，DE＝6，求EF的长．
19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，求证：AB＝FB．
20．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．
（1）求证：△EBF≌△ABC；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）△ABC满足　 　时，四边形AEFD是正方形．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE（A正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（B错误），
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（C正确），
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE（D正确），
所以不正确的是B，
故选：B．
2．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
在Rt△OEN中,
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE?DE＝5，
∴CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×5＝6，
∴S正方形ABCD＝6,
故选：B．
3．解：∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF＝EC，①正确；
延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP＝∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，
∴NP＝EP，
∴AN＝PF
在△ANP与△FPE中，，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF；故②正确；
∠PFE＝∠BAP，
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM，
∴∠PMF＝∠ANP＝90°，
∴AP⊥EF，故③正确；
∵矩形PECF中，EF＝CP，
∴当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，
此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4，
则CP＝BC＝2，
∴EF的最小值为2，故④正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤错误．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AD，∠DBC＝45°，
∵BE＝AD，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：A．
6．解：∵正方形ABCD的边长为，
∴OB＝OC＝BC＝×＝1，OB⊥OC，
∵CE＝OC，
∴OE＝2，
在Rt△OBE中，BE＝＝．
故选：C．
7．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED＝，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
8．解：过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F，如图，
∵Rt△ABC 是等腰直角三角形，
∴AC＝CB＝1，∠CAB+∠ABC﹣90°，
∵四边形ABDE 是正方形，
∴∠ABD＝90°，AB＝BD，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
∴∠CAB＝∠FBD，
在Rt△ACB和Rt△DFB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DFB（AAS），
∴BF＝AC，FD＝CB，
∴BF＝AC＝FD＝CB＝1，
∴CF＝CB+BF＝1+1＝2，
在Rt△CFD 中，由勾股定理得：CD＝，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∵AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
10．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝12，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵BE＝DF＝8，
∴BF＝DE＝BD﹣BE＝4，
∴OE＝OF，EF＝DF﹣DE＝4，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝×12×4＝24，
故选：A．
11．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，
故选：D．
12．解：如图作FH∥BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH∥BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案为2+．
13．解：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB．
∵OE＝CD，
∴OE＝AB．
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠BOA＝90°．
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形；
当AD＝2时，四边形ABCD的形状是正方形，
AB＝AD＝2，OE＝AB＝2，
即四边形AOBE的面积取得最大值是2．
故答案为：正方形，2．
14．解：连接BD，如图所示：
∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF＝2，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝2×2＝4，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC＝BD＝4．
故答案为：4
15．解：当点P在AD上时，
∵PD＝3AP，PD+AP＝8，
∴AP＝2，
当点P在AB上时，
∵PD2＝AP2+AD2，
∴9AP2＝AP2+64，
∴AP＝2，
综上所述：AP＝2或2，
故答案为2或2．
16．解：过E、G分别向x轴作垂线EA、EB，交x轴于A、B两点，
∵正方形OEFG，
∴OG＝OE，∠GOE＝90°，
∵∠GBO＝∠EAO＝90°，
∴∠GOB+∠AOE＝90°，
∠GOB+∠BGO＝90°，
∴∠AOE＝∠BGO，
在△BOG与△AEO中
∴△BOG≌△AEO（AAS），
∴OB＝AE＝3，BG＝OA＝2，
∴G（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
17．解：（1）DG⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS）．
∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．
∴DG⊥BE；
（2）连接GE，
∵正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，
∴BD＝，GE＝2，
设BE＝x，则BG＝x﹣，
在Rt△BGE中，利用勾股定理可得：
x2+（x﹣）2＝22，
∴x＝（+），
∴BE的长为（）．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，
∴BF＝DE＝6，
∵BC＝DC＝8，
∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，
在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH＝DC＝AB，
即B是AH的中点，
又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
20．（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，
即∠CBA＝∠FBE，
在△EBF和△ABC中，
，
∴△EBF≌△ABC（SAS）；
（2）证明：∵△EBF≌△ABC，
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形．
理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∵∠BAC＝150°，
∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
∴平行四边形ADEF是正方形，
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝150°