《2.2用配方法求解一元二次方程》自主学习同步优生提升训练（附答案）2021年暑假自主学习九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》暑假自主学习
同步优生提升训练（附答案）
1．若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．16 B．8 C．4 D．0
2．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
3．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则ab的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9
4．把方程x2﹣10x＝﹣3左边化成含有x的完全平方式，其中正确的是（　　）
A．x2﹣10x+（﹣5）2＝28 B．x2﹣10x+（﹣5）2＝22
C．x2+10x+52＝22 D．x2﹣10x+5＝2
5．已知M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，则M、N的大小关系是（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
6．若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0
7．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）
A．17 B．11 C．15 D．11或15
8．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　．
9．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　 　．
10．已知等腰三角形的两边长分别为x和y（x≠y），且x和y满足x2﹣8x+y2﹣12y+52＝0，则这个等腰三角形的面积为　 　．
11．若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣1，则b﹣a的值是　 　．
12．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是　 　．
13．关于x的一元二次方程a（x+2）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝﹣1，则方程a（x﹣1）2+b＝0的解是　 　．
14．已知（x+y+3）（x+y﹣3）﹣72＝0，求的平方根是　 　．
15．已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则△ABC的周长等于　 　．
16．解方程：（3x﹣2）2＝（2x﹣3）2．
17．（1）已知a2﹣3a﹣1＝0，求下列各式的值：
①a2+；
②3a3﹣7a2﹣9a+2020．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边，其中a，b满足a2+b2＝4a+10b﹣29，c满足|4﹣c|＝1，判定△ABC的形状．
18．我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　 　＝　 　．﹣a2+12a＝　 　＝　 　．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
19．阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题：
在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2﹣2a+2的最小值吗？小明作出了如下的回答：
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来：a2﹣2a+2＝a2﹣2?a?1+12+1＝（a﹣1）2+1，
因为完全平方式是非负的，所以它一定大于等于0，余下的1为常数，所以有a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1，
所以a2﹣2a+2的最小值是1，当且仅当a﹣1＝0即a＝1时取得最小值，其中，我们将代数式a2﹣2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题：
（1）记S＝（x+3）2+4，求S的最小值，并说明x取何值时S最小；
（2）已知a2+b2+6a﹣8b+25＝0，求a、b的值；
（3）记T＝a2+2ab+3b2+4b+5，求T的最小值，并说明a、b取何值时T最小．
20．阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值．
解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0．
∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0，
∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0，
∴y＝4，x＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知a、b满足2a2+b2+2ab﹣6a+9＝0．求a、b的值．
21．阅读下内容，再解决问题．
在把多项式m2﹣4mn﹣12n2进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：
m2﹣4mn﹣12n2＝m2﹣4mn+4n2﹣4n2﹣12n2＝（m﹣2n）2﹣16n2＝（m﹣6n）（m+2n），像这样构造完全平方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题．
（1）把多项式因式分解：a2﹣6ab+5b2；
（2）已知a、b、c为△ABC的三条边长，且满足4a2﹣4ab+2b2+3c2﹣4b﹣12c+16＝0，试判断△ABC的形状．
参考答案
1．解：∵x2＝16，
∴x1＝4，x2＝﹣4，
则x1+x2＝0，
故选：D．
2．解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，
则x2+6x+9＝﹣4+9，
即：（x+3）2＝5，
故选：C．
3．解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，
即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，
可得a+3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
则原式＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
4．解：x2﹣10x＝﹣3，
x2﹣10x+（）2＝﹣3+（）2，
即x2﹣10x+（﹣5）2＝22．
故选：B．
5．解：M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，
∵M﹣N＝（3x2﹣x+3）﹣（2x2+3x﹣1）＝3x2﹣x+3﹣2x2﹣3x+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
6．解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．
故选：B．
7．解：（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
解得x1＝5，x2＝1．
若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；
若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：C．
8．解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
9．解：∵x2+4x＝﹣n，
∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，
又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，
则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
10．解：x2﹣8x+y2﹣12y+52＝0，
x2﹣8x+16+y2﹣12y+36＝0，
（x﹣4）2+（y﹣6）2＝0，
则x﹣4＝0，y﹣6＝0，
解得，x＝4，y＝6，
当三角形的腰长为4时，高＝＝，
则三角形的面积＝×6×＝3，
当三角形的腰长为6时，高＝＝4，
则三角形的面积＝×4×4＝8，
故答案为：3或8．
11．解：x2﹣6x+b＝x2﹣6x+9﹣9+b＝（x﹣3）2+b﹣9＝（x﹣a）2﹣1，
∴a＝3，b﹣9＝﹣1，即a＝3，b＝8，故b﹣a＝5．
故答案为：5．
12．解：y2﹣6y+10＝y2﹣6y+32+1＝（y﹣3）2+1≥1，
则代数式y2﹣6y+10的最小值是1．
故答案为：1．
13．解：∵一元二次方程a（x+2）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴二次函数y＝a（x+2）2+b与x轴的交点坐标是（﹣3，0）（﹣1，0），
∴二次函数y＝a（x﹣1）2+b与x轴的交点坐标是（0，0）（2，0），
∴方程a（x﹣1）2+b＝0的解是x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
14．解：∵（x+y+3）（x+y﹣3）＝72，
∴（x+y）2﹣9＝72，
即（x+y）2＝81，
∴x+y＝9或x+y＝﹣9（舍去）．
∴的平方根是±，
故答案是：±．
15．解：∵a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣124+49＝0，
则（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
∴a＝3，b＝7；
∵△ABC是等腰三角形，
∴①等腰三角形三边长为3，3，7，
∵3+3＝6＜7，
∴3，3，7构不成三角形，
②等腰三角形三边长为3，7，7，
∵3+7＝10＞7，故能构成三角形，
∴△ABC的周长为17，
故答案为：17．
16．解：3x﹣2＝±（2x﹣3），
3x﹣2＝2x﹣3或3x﹣2＝﹣2x+3，
所以x1＝﹣1，x2＝1．
17．解：（1）①∵a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝3a，a≠0，
∴a﹣＝3，
∴（a﹣）2＝9，即a2﹣2+＝9，
∴a2+＝11；
②∵a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2＝3a+1，
∴3a3﹣7a2﹣9a+2020
＝3a?a2﹣7a2﹣9a+2020
＝3a（3a+1）﹣7a2﹣9a+2020
＝9a2+3a﹣7a2﹣9a+2020
＝2a2﹣6a+2020
＝2（a2﹣3a）+2020
＝2022；
（2）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a＝2，b＝5，
∵|4﹣c|＝1，
∴c＝3或5，
当c＝3时，a+c＝b，不能组成三角形，
当c＝5时，△ABC为等腰三角形．
18．解：（1）根据题意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36；
故答案为：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36；
（2）存在，理由为：
∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36≤36，
∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4；
（3）根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，
则x＝3时，S最大值为9．
19．解：（1）∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+4≥4，
∴x+3＝0时，S取得最小值4，
即x＝﹣3时，S最小＝4；
（2）∵a2+b2+6a﹣8b+25＝0，
∴（a+3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣3，b＝4；
（3）T＝a2+2ab+3b2+4b+5
＝（a+b）2+2（b+1）2+3，
∴当a+b＝0，b+1＝0时，T取得最小值3，
即当a＝1，b＝﹣1时，T最小＝3．
20．解：∵2a2+b2+2ab﹣6a+9＝0，
∴a2﹣6a+9+a2+b2+2ab＝0．
∴（a﹣3）2+（a+b）2＝0，
∴a﹣3＝0且a+b＝0．
∴a＝3，b＝﹣3．
21．解：（1）a2﹣6ab+5b2
＝a2﹣6ab+9b2﹣4b2
＝（a﹣3b）2﹣（2b）2
＝（a﹣3b+2b）（a﹣3b﹣2b）
＝（a﹣b）（a﹣5b）；
（2）4a2﹣4ab+2b2+3c2﹣4b﹣12c+16＝0
4a2﹣4ab+b2+b2﹣4b+4+3c2﹣12c+12＝0
（2a﹣b）2+（b﹣2）2+3（c﹣2）2＝0
解得，a＝1，b＝2，c＝2，
∴△ABC为等腰三角形．