《2.3用公式法求解一元二次方程》自主学习同步优生提升训练（附答案）2021年暑假自主学习九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》暑假自主学习
同步优生提升训练（附答案）
1．方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
2．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（　　）
A．ax﹣1＝0 B．a2x﹣1＝0 C．x2﹣a＝0 D．x3﹣a＝0
3．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，实数a、b、c满足4a﹣2b+c＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程的根的情况无法确定
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（　　）
A．c＝10 B．c＝5 C．c＝﹣5 D．c＝4
6．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0根的判别式的值是（　　）
A．20 B．﹣20 C．﹣28 D．28
7．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k满足（　　）
A．k≥0 B．k≤0且k≠﹣1 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0
8．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　 　．
9．关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　 　．
10．在△ABC中，BC＝2，AC＝，AB＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则∠A的度数是　 　．
11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，则m的取值范围是　 　．
12．一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为　 　．
13．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为　 　．
14．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
15．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4； （2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．
16．解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0； （2）（x+2）（x+3）＝6x+7．
17．已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．
18．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝4，若b、c是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根，求等腰△ABC的周长．
19．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
①不解方程，判别方程根的情况；
②若方程有一个根为﹣1，求m的值．
20．关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m﹣2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求出此时方程的根．
21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．
23．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
参考答案
1．解：∵x2﹣2x＝0，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
2．解：A、当a＝0时，方程ax﹣1＝0没有实数解，所以A选项不符合题意；
B、当a＝0时，方程a2x﹣1＝0没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、当a＜0时，Δ＝02+4a＝4a＜0，方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D、x3＝a，则a＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．解：当把x＝﹣2代入方程ax2+bx+c＝0能得出4a﹣2b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，
故选：A．
4．解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．解：∵方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣c）2﹣4×1×4＞0，即c2＞16，
则c＜﹣4或c＞4，
故选：D．
6．解：根据题意得：
△＝（﹣2）2﹣4×（﹣6）
＝4+24
＝28，
故选：D．
7．解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≤0且k≠﹣1．
故选：B．
8．解：根据题意得△＝32﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故答案为k＞﹣．
9．解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4c＝0，
∴c＝，
∴原方程可表示为：x2+bx+＝0，
∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm+＝（m+2）2+b（m+2）+，
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+，
当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+＝m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案为：1．
10．解：∵一元二次方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝0，即（﹣4）2﹣4b＝0，
∴b＝4．
∴AB＝4，
∵AC?＝（）?＝12，BC2＝2?＝4，AB?＝4?＝16，
∴AC2+BC2＝AB2＝16，
∵△ABC为直角三角形，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°．
故答案是：30°．
11．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数a都有实数根，
∴△＝n2﹣4m（﹣m﹣3）≥0，m≠0，
∴只要4m（m+3）≥0，方程一定有实数根，
解得：m＞0或m≤﹣3．
故答案为m＞0或m≤﹣3．
12．解：∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，
∴△＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0，
解得：b＞﹣，
故答案为：b＞﹣．
13．解：当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
当原方程是一元二次方程时，
△＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
14．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣≤k＜且k≠0．
故答案为：﹣≤k＜且k≠0．
15．解：（1）（x﹣1）2＝4，
开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2，
方程整理得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
16．解：（1）方程整理得：（x﹣2）2＝25，
开方得：x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
解得：x1＝7，x2＝﹣3；
（2）方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∵△＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
17．解：（1）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴△＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴方程有两个不等的实数根；
（2）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴△＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴x＝，
∴x1＝a，x2＝a﹣2，
∵方程只有一个实数根小于1，a﹣2＜a，
∴a﹣2＜1，且a≥1，
∴1≤a＜3．
18．解：根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣16k+8
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∴x＝，
即x1＝2，x2＝2k﹣1，
∵△ABC为等腰三角形，
而b＝c＝2时，b+c＜a不合题意，
∴2k﹣1＝4，解得k＝，
∴等腰△ABC的周长为4+4+2＝10．
19．解：①∵Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）
＝4m2﹣4m2+4
＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
②将x＝﹣1代入方程，得：1﹣2m+m2﹣1＝0，
整理，得：m2﹣2m＝0，
解得m＝0或m＝2．
20．解：（1）∵方程有实数根，
∴（﹣2）2﹣4×1×（3m﹣2）≥0，
∴m≤1；
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴方程为：x2﹣2x+1＝0，
∴x1＝x2＝1．
21．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
22．解：（1）①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；
②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，△＝（m﹣1）2＝1，
解得m1＝0，m2＝2，
而m≠0，
∴m＝2．
23．（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．