2.5一元二次方程的根与系数的关系 暑假自主学习同步优生提升训练 2021—2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》暑假自主学习
同步优生提升训练（附答案）
1．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
2．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
3．设a、b、c是△ABC三边，并且关于x的方程x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，正确的结论是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
4．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k
5．当b﹣c＝3时，关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（　　）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
7．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（　　）
A．0 B．﹣2 C．0 或﹣ D．﹣2或0
8．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是　 　．
9．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
10．已知一元二次方程x2﹣2x+n＝0的一个根为1+，则另一个根为　 　．
11．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　 　．
12．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　 　．
13．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围．
14．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
15．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m为正整数时，求方程的根．
16．已知关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
17．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
19．已知关于x的方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
参考答案
1．解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
2．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
3．解：∵设a、b、c是△ABC三边，并且关于x的方程x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（a+b）]2﹣4×（2ab+c2）＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
即△ABC是直角三角形，
故选：B．
4．解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）?1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
5．解：∵b﹣c＝3，
∴c＝b﹣3，
∵2x2﹣bx+c＝0，
∴△＝（﹣b）2﹣4×2×c＝b2﹣8c
＝b2﹣8（b﹣3）
＝b2﹣8b+24
＝（b﹣4）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，
∴，
∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．
当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；
当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．
故选：C．
7．解：∵方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣1，
∵x12+x22＝3，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m﹣1）＝3，
解得m＝0或m＝﹣，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m﹣1）＝4m2+5＞0，
∴m为任意实数，方程均有实数根，
∴m＝0或m＝﹣均符合题意．
故选：C．
8．解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，
∴△＝32﹣4×1×（﹣k）＝9+4k＜0，
解得：k＜﹣．
故答案为：k＜﹣．
9．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＜3且a≠2．
故答案为：a＜3且a≠2．
10．解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：（1+）+a＝2，
解得：a＝1﹣，
即方程的另一个根为1﹣，
故答案为：1﹣．
11．解：∵方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝m，x1x2＝﹣1，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
m2+4＝9，
解得：m＝，
∵当m＝±时，判别式△≥0，
∴m＝都符合，
故答案为：．
12．解：∵设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2022＝0，即m2+2m＝2022，m+n＝﹣2，
则m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝2022﹣2＝2020，
故答案为：2020．
13．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m﹣1≠0，即（2m）2﹣4（m﹣1）（m﹣3）＞0且m≠1，
解得m＞且m≠1，
∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为m＞且m≠1．
14．解：（1）∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2，
∴x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∴△＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，
则（1﹣3）×（1﹣2）＝m2，
2＝m2，
m＝±，
原方程变形为x2﹣5x+4＝0，
设方程的另一个根为a，
则1×a＝4，
a＝4，
则方程的另一个根为4．
15．解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．
解得m＜2；
（2）由（1）知，m＜2．
有m为正整数，
∴m＝1，
将m＝1代入原方程，得
x2﹣2x＝0
x（x﹣2）＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
16．解：（1）由题意，得△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×m×2
＝（4m2+4m+1）﹣8m
＝4m2﹣4m+1
＝（2m﹣1）2．
∵不论m为何实数，（2m﹣1）2≥0恒成立，即△≥0恒成立，
∴方程总有两个实数根．
（2）此题答案不唯一
由求根公式，得，
∴原方程的根为x1＝2，．
∵方程的两个根都是正整数，
∴取m＝1，
此时方程的两根为x1＝2，x2＝1．
17．解：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
18．（Ⅰ）证明：△＝（m+2）2﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（Ⅱ）解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
19．解：（1）∵a＝，b＝﹣（m﹣2），c＝m2方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即△＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2＝﹣4m+4＝0，
∴m＝1．
原方程化为：x2+x+1＝0 x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣2．
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x1+x2＝﹣＝4m﹣8，x1x2＝＝4m2
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（4m﹣8）2﹣2×4m2＝8m2﹣64m+64＝224，
即：8m2﹣64m﹣160＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣2（不合题意，舍去），
又∵m1＝10时，△＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
20．解：（i）∵方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．