人教版八上高分笔记之导与练 11.2.1.2 直角三角形两锐角互余（原卷+答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
11.2与三角形有关的角
第2课时
直角三角形的两锐角互余
知识点：1．直角三角形的两个锐角
2．有两个角??
??的三角形是直角三角形.
易错点睛
在ΔABC中，BD⊥AC于点D，若∠ABD＝40°，则∠BAC的度数为?
【点睛】高BD可能在ΔABC内部，也可能在ΔABC外部.
题型一
直角三角形性质的应用
如图，在ΔABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数.
解题策略：先由三角形的角平分线找到相等的角，再由三角形的高找到合适的直角三角形，最后结合已知条件解决问题.我们可以记住一个结论：从三角形的一个顶点作高和角平分线，它们的夹角等于三角形另外两个角的差的一半.
变式练习：
如图，BD，CE分别是ΔABC的高和角平分线，且相交于点0．若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（???)
A.60°
B.55°
C.50°
D.40°
第1题
第2题
第3题
将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（???)
A.85°
B.75°
C.65°
D.60°
如图，在ΔABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF的度数为（
??)
A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
题型二、直角三角形的判定
［教材P17习题11.2T10变式题］如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.
求证：ΔEPF为直角三角形.
变式练习：
如图，已知∠AOD＝30°，C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中，当ΔAOC恰好是直角三角形时，∠A的度数可能为??
注意：直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解.
2.如图，在ΔABC中，AD是边BC上的高，E是边AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE.求证：ΔACE是直角三角形.
基础练习
如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，D为AC上一点，DELBC于点E，EF⊥AB于点F，∠ADE＝140°，则∠FED的度数是?
?
2．在ΔABC中，∠BAC＝55°，BE，CF是ΔABC的高，直线BE，CF交于点O，则∠BOC的度数为
第1题
第3题
第4题
第5题
3.如图，在RtΔABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB?边上的一点，DC交BE于点F，若∠ADC＝80°，CB＝30°，则∠C的度数为
4.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE：∠ABC＝5：8，则∠CAB的度数为?
5.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画RtΔABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有
8
个．
6.如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
7.【教材变式】（P17第10题改）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，∠BED＝90°．求证：AB//CD．
综合题探究
8.如图，AD是ΔABC的角平分线，E为BC延长线上一点，EP⊥AD于点P．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°．求∠E的度数；
（2）若∠ACB-∠B＝30°．求∠E的度数．
答案：
知识点：1．直角三角形的两个锐角互余
2．有两个角??互余??的三角形是直角三角形.
易错点睛
在ΔABC中，BD⊥AC于点D，若∠ABD＝40°，则∠BAC的度数为?50°或130°
【点睛】高BD可能在ΔABC内部，也可能在ΔABC外部.
题型一
直角三角形性质的应用
如图，在ΔABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数.
解：在ΔABC中，∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-65°-45°=70°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴BAB=∠BAC=35°
又AD是边BC上的高，
∴∠ADB=90°.
在RtΔABD中，∠BAD＝90°-∠B＝90°-65°＝25°．
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-25°=10°.
解题策略：先由三角形的角平分线找到相等的角，再由三角形的高找到合适的直角三角形，最后结合已知条件解决问题.我们可以记住一个结论：从三角形的一个顶点作高和角平分线，它们的夹角等于三角形另外两个角的差的一半.
变式练习：
如图，BD，CE分别是ΔABC的高和角平分线，且相交于点0．若∠BCA＝70°，则∠BOE的度数是（?B??)
A.60°
B.55°
C.50°
D.40°
第1题
第2题
第3题
将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（?B??)
A.85°
B.75°
C.65°
D.60°
如图，在ΔABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于
点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF的度数为（
C??)
A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
题型二、直角三角形的判定
［教材P17习题11.2T10变式题］如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.
求证：ΔEPF为直角三角形.
证明：∵AB//CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°．
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∠PEF=∠BEF,∠PFB=∠DFE.
∴∠PEF+∠PFE=(∠BEP+∠DFE)=90°.?
∴ΔEPF为直角三角形.
变式练习：
如图，已知∠AOD＝30°，C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中，当ΔAOC恰好是直角三角形时，∠A的度数可能为??60°或90°
注意：直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解.
2.如图，在ΔABC中，AD是边BC上的高，E是边AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE.求证：ΔACE是直角三角形.
证明：：AD是边BC上的高，
∴∠DMC+∠DCM=90°.
∴∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,∴∠AME+∠MAE=90°.?
∴∠AEM=180°-(∠AME+∠MAE)=90°.?
∴ΔACE是直角三角形。
基础练习
如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，D为AC上一点，DELBC于点E，EF⊥AB于点F，∠ADE＝140°，则∠FED的度数是?50°?
2．在ΔABC中，∠BAC＝55°，BE，CF是ΔABC的高，直线BE，CF交于点O，则∠BOC的度数为??55°或125°
第1题
第3题
第4题
第5题
3.如图，在RtΔABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB?边上的一点，DC交BE于点F，若∠ADC＝80°，CB＝30°，则∠C的度数为40°
4.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE：∠ABC＝5：8，则∠CAB的度数为??50°
5.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画RtΔABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有
8
个．
6.如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的角平分线，BE⊥AC于点E，交DA的延长线于点F，若∠ABC＝22°，∠C＝34°，求∠F的度数．
解：∵∠ABC＝22°，∠C＝34°，∴∠BAC＝124°，
AD为ΔABC的角平分线，∴∠CAD＝62°＝∠EAF，
∵BE⊥AC.∴∠F+∠EAF=90°.∴∠F=28°.?
7.【教材变式】（P17第10题改）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，∠BED＝90°．求证：AB//CD．
证明：∵∠BED＝90°，∴∠EBD＋∠EDB＝90°．
又∵∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，
∴∠ABD+∠CDB=180°,∴AB//CD.?
综合题探究
8.如图，AD是ΔABC的角平分线，E为BC延长线上一点，EP⊥AD于点P．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°．求∠E的度数；
（2）若∠ACB-∠B＝30°．求∠E的度数．
解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°．
∴∠BAC＝60°．∵AD平分∠BAC．∴∠DAC＝∠BAD＝30°．
∴∠PDE＝180°-30°-85°＝65°
又∵PE⊥AD．∴∠DPE＝90°，
∴∠E+∠PDE=90°,∴∠E=25°;
（2）设∠B＝ɑ，∴∠ACB＝ɑ＋30°，∵∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝150°-2ɑ，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝75°-α，
∴∠PDC=180°-∠ACB-∠CAD=180°-(α+30°)-(75°-α°)=75°,?
∵EP⊥AD,∴∠EPD=90°,∴∠E=90°-75°=15°。?
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)