5.1.2弧度制
一、单选题
1．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据扇形的面积公式，代入相应值即可.
由得，所以，
故选：C.
【名师点评】
本题考查扇形的面积公式，若扇形的圆心角为（弧度制）且为正值，半径为r，弧长为，周长为，面积为，则，，.
2．若弧度为的圆心角所对弦长为m，则该圆心角所对的弧长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设扇形半径为r，由题意，利用扇形弧长公式即可得解.
设扇形半径为r，由已知，，
则弧长.
故选：A.
3．圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且，由过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，明确能取到，从而明确轴截面的中心角为的范围，进而得到结果.
设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且
过圆锥顶点的截面的面积为：，
又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，
故此时，故
圆锥底面半径r
∴侧面展开图的中心角为弧度
故选A.
4．从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题．如图，在等腰直角三角形中，，，以为直径作半圆，再以为直径作半圆，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
月牙形面积等于半圆面积减去弓形部分的面积，从而确定月牙形面积和面积的关系，而面积可求，从而求出阴影部分的面积，再求出整个图形的面积，由几何概型的概率计算公式求解即可.
不妨设，则，则如图，月牙形的面积，所以月牙形的面积和三角形的面积相等，而.
整个图形的面积.
阴影部分的面积为2，
由几何概型的概率计算公式得：所求概率为.
故选：D.
5．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设某时刻两圆相切于点，此时动点所处的位置为点，以切点在如图上运动为例，记直线与此时小圆的交点为，利用弧长公式计算，可知小圆的圆弧与圆弧的长相等，可得点与点重合，即动点在线段上运动，同理可知，此时点在与垂直的线段上运动，再通过观察四个选项可得答案.
如图所示：
由题意可知，小圆总与大圆相内切，且小圆总经过大圆的圆心，
设某时刻两圆相切于点，此时动点所处的位置为点，
则大圆圆弧与小圆转过的圆弧相等，
以切点在如图上运动为例，记直线与此时小圆的交点为，
记，则，
所以，
所以大圆圆弧的长为，小圆圆弧的长为，
所以，
所以小圆的圆弧与圆弧的长相等，
所以点与点重合，即动点在线段上运动，
同理可知，此时点在与垂直的线段上运动，
点在其它位置类似可得，、的轨迹为互相垂直的线段.
观察四个选项可知，只有选项符合.
故选：A.
6．直线l：x﹣y0将圆O：分成的两部分的面积之比为（
）
A．(4π):(8π)
B．(4π﹣3):(8π+3)
C．(2π﹣2):(10π+2)
D．(2π﹣3):(10π+3)
【答案】B
【解析】根据题意，设直线l与圆O：x2+y2=4交于点M?N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得∠MON以及|MN|=2；进而计算可得S△MON和S扇形OMN的值，据此可得直线l将圆O分成的两部分的面积，计算即可得答案.
解：根据题意，设直线l与圆O：x2+y2=4交于点M?N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，
则点O到直线l的距离|OP|1，
又由圆O：x2+y2=4的半径|OM|=r=2，则∠MOP，则∠MON；
同时|MP|，则|MN|=2，
且S△MON|OP|×|MN|，
则S扇形OMNr2，
则劣弧对应的弓形的面积S1，
另一部分的面积S2=πr2﹣S1=4π﹣()，
故两部分的面积之比(4π﹣3)：(8π+3).
故选：B.
二、填空题
7．2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形面积的数值是__________.
【答案】
【解析】计算，所对的弧长，计算面积得到答案.
如图，在中，，，由，得，
所对的弧长，扇形的面积.
故答案为：.
8．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为、面积为，则该圆锥的体积为________.
【答案】
【解析】先由扇形的圆心角为、面积为，求出圆锥的母线长及底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可.
解：由扇形的面积公式有：，解得
，
由弧长公式有，即，即该圆锥的母线长为，底面圆周长为
，
即底面圆半径为3，由勾股定理可得圆锥的高为，
由圆锥的体积公式可得，
故答案为.
9．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：
①当时，；
②时，为减函数；
③对任意，都有；
④对任意，都有
其中判断正确的序号是__________．
【答案】①③
【解析】先求出，再逐一判断每个选项的正误得到答案.
如图，设圆心为交圆于另一点，连接，
则
当时，
，故①正确；
在上为增函数，故②错误；
当时，
故③正确；
当时，
故④错误.
故答案为①③．
三、解答题
10．已知角.
（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；
（2）在区间上找出与角终边相同的角.
【答案】（1），是第三象限角；（2）．
【解析】
（1）先把度数改写弧度，再改写成形式，并确定所在象限；
（2）解不等式可得结论．
（1），是第三象限角，∴是第三象限角．
（2）由得，因为，∴，对应角依次为．
11．如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米，紫龙卧雪30元/米，朱砂红霜40元/米.
（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
【答案】（1），其中，.（2）当时，日效益总量可取得最大值.
【解析】（1）利用扇形面积公式可求出四个区域的面积，从而可计算出日收益．
（2）利用导数可求得日收益的最大值．
（1）依题意得，，则
，其中，.
（2），
令，得，
当，，当时，，
所以，是函数的极大值点，且唯一；
从而当时，日效益总量可取得最大值.
试卷第1页，总3页5.1.2弧度制
一、单选题
1．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若弧度为的圆心角所对弦长为m，则该圆心角所对的弧长为（
）
A．
B．
C．
D．
3．圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题．如图，在等腰直角三角形中，，，以为直径作半圆，再以为直径作半圆，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（
）
A．
B．
C．
D．
6．直线l：x﹣y0将圆O：分成的两部分的面积之比为（
）
A．(4π):(8π)
B．(4π﹣3):(8π+3)
C．(2π﹣2):(10π+2)
D．(2π﹣3):(10π+3)
二、填空题
7．2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形面积的数值是__________.
8．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为、面积为，则该圆锥的体积为________.
9．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：
①当时，；
②时，为减函数；
③对任意，都有；
④对任意，都有
其中判断正确的序号是__________．
三、解答题
10．已知角.
（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；
（2）在区间上找出与角终边相同的角.
11．如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米，紫龙卧雪30元/米，朱砂红霜40元/米.
（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
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