5.4三角函数的图像与性质
一、单选题
1．若在是减函数，则的最大值是
A．
B．
C．
D．
2．设正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数（，，）的图象与轴交于点，在轴右边到轴最近的最高坐标为，则不等式的解集是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．函数（且）的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．定义域为的偶函数满足，当时，，给出下列四个结论：
①
；
②若，则；
③函数在内有且仅有3个零点；
其中，正确结论的序号是______.
8．已知函数
(n∈Z)，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(102)＝________.
9．已知函数，若函数的图象关于点对称，且，则_____
三、解答题
10．求函数，的值域.
11．已知函数，．
（1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合；
（2）若，，求的值．
试卷第1页，总3页
2T·T
T2官
乎
乎
m平平叶乎m5.4三角函数的图像与性质
一、单选题
1．若在是减函数，则的最大值是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.
详解：因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，选A.
点睛：函数的性质：
(1).
(2)周期
(3)由
求对称轴，
(4)由求增区间；
由求减区间.
2．设正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意作函数、的图象，结合当时，
可得；由函数的单调性可得；再由结合对数函数的性质可得；即可得解.
由可得：，，
在同一坐标系中分别作函数、的图象如图：
当时，，，此时，
所以当时，即；
由函数单调递增且、可得；
由可得；
所以.
故选：C.
3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据正弦函数的单调性，结合在区间上单调递增，建立不等式关系，即可求解．
函数在区间上单调递增，
当时，，
当时，，
由于函数在区间上单调递增，
所以，，解得，
，所以，，因此，的取值范围是.
故选：A．
4．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】研究函数的奇偶性，单调性，函数值的正负后可排除3个选项，得出正确选项．
，函数为偶函数，排除B.
又，∴，排除D.
在上，递增，递减，在上，递减，递增，排除A.
故选：C.
5．已知函数（，，）的图象与轴交于点，在轴右边到轴最近的最高坐标为，则不等式的解集是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】
由题意得
所以
因此
，选D.
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
6．函数（且）的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数极值点的个数，求出的值，推出结果即可.
函数（且）是偶函数，排除B；
当时，，
可得：，令，
作出与图像如图：
可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，，排除C；
当时，，故时，函数单调递增，
时，函数单调递减，排除A
故选：D
二、填空题
7．定义域为的偶函数满足，当时，，给出下列四个结论：
①
；
②若，则；
③函数在内有且仅有3个零点；
其中，正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】由得函数关于点中心对称，又为偶函数，所以可推得的周期为4，又得，且当时，，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.
由得函数关于点中心对称，
又，，
为上的偶函数，，
，，
的周期为4，
当时，得，
又当时，，所以函数图象如图：
由图知，，，故①正确；
又，从而可知②不正确；
当时，，故③正确.
故答案为：①③
8．已知函数
(n∈Z)，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(102)＝________.
【答案】
【解析】首先根据函数解析式求得函数的周期为12，并且求得f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(12)＝0，从而将式子简化，利用特殊角的正弦值求得结果.
由诱导公式知，
∴，
且f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(12)＝0，102＝12×8＋6，
∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(102)＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f(6)
.
故答案为：.
9．已知函数，若函数的图象关于点对称，且，则_____
【答案】
【解析】
试题分析：，
，则，又，∴.
考点：三角函数图形的变换，三角函数的对称点心.
三、解答题
10．求函数，的值域.
【答案】
【解析】换元法，设转化为二次函数求值域.注意新元的取值范围.
设,则
，
所以函数值域为
11．已知函数，．
（1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）的最大值为，此时的取值集合为；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，可得出函数的最大值，解方程可得出对应的的取值集合；
（2）由得出，利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值.
（1）因为
，
当，即时，函数取最大值，
所以函数的最大值为，此时的取值集合为；
（2）因为，则，即，
因为，所以，
则，
所以.
试卷第1页，总3页
