5.6函数y＝Asin（ωx＋φ）
一、单选题
1．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象( )
A．向左平移单位长度
B．向右平移单位长度
C．向左平移单位长度
D．向右平移单位长度
3．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若函数f
(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(，0)中心对称，则函数f
(x)在[－，]上的最小值是（
）
A．－1
B．
C．－
D．－
5．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上最大值是1
6．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（
）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．在上单调递增
7．函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
二、填空题
8．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为________.
9．将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象关于原点对称，则a的值为_________．
10．设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确是________（填写序号）
①的图象过点；
②在上单调递减；
③的一个对称中心是；
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
三、解答题
11．已知函数（，，）的图象如下图所示
（1）求出函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.
12．函数在一个周期内的图象如图所示.已知，.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最小值.
试卷第1页，总3页5.6函数y＝Asin（ωx＋φ）
一、单选题
1．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【点拨】求得函数的最小正周期，利用三角函数图象变换规律可得出结果.
【解析】
函数的最小周期为，
将该函数图象向右平移个周期，即向右平移个单位长度后，
得到图象对应的函数为，
故选：D.
2．为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象( )
A．向左平移单位长度
B．向右平移单位长度
C．向左平移单位长度
D．向右平移单位长度
【答案】C
【解析】
试题分析：，因此把向左移个单位可得．
考点：三角函数图象变换．
3．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【点拨】由题意结合辅助角公式可得，进而可得g(x)＝2sin，由三角函数的性质可得，化简即可得解.
【解析】
设f(x)＝cosx＋sinx＝2sin，
向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin，
∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴，
∴m＝,
由m>0可得m的最小值为.
故选：A.
4．若函数f
(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(，0)中心对称，则函数f
(x)在[－，]上的最小值是（
）
A．－1
B．
C．－
D．－
【答案】B
【点拨】先利用辅助角公式化简，再利用对称中心求出的值，得到的解析式，利用自变量的取值范围即可得出结论.
【解析】
由题意得：f
(x)＝2sin(2x＋θ＋)，
又图象关于(，0)中心对称，
所以2×＋θ＋＝kπ，k∈Z.
所以θ＝kπ－，又0<θ<π，
所以θ＝，
所以f
(x)＝－2sin2x，
因为x∈[－，]，
所以2x∈[－，]，
，
所以f
(x)的最小值是.
故选：B.
5．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上最大值是1
【答案】A
【点拨】根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.
【解析】
将横坐标缩短到原来的得：
当时，
在上单调递增
在上单调递增，正确；
的最小正周期为：
不是的周期，错误；
当时，，
关于点对称，错误；
当时，
此时没有最大值，错误.
本题正确选项：
6．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（
）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．在上单调递增
【答案】C
【点拨】根据函数图象相邻的最高点之间的距离为，得到，易得.将函数的图象向左平移个单位长度后，可得，再根据是奇函数，得到，然后逐项验证即可.
【解析】
因为函数图象相邻的最高点之间的距离为，
所以其最小正周期为，则.
所以.
将函数的图象向左平移个单位长度后，
可得的图象，
又因为是奇函数，令，
所以.又，
所以.
故.
当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；
当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；
在上，，单调递增，故C正确；
在上，，单调递减，故D错误.
故选：C
7．函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
【答案】C
【点拨】利用最小正周期为π，求出的值，根据平移得出，然后利用对称性求解.
【解析】
因为函数的最小正周期为π，所以，图象向左平移个单位后得到，由得到的函数是奇函数可得，即.令得，，故A,B均不正确；令得，，时可得C正确.故选C.
二、填空题
8．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为________.
【答案】4
【点拨】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．
【解析】
函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），
把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），
根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，
故
+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，
故答案为4．
9．将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象关于原点对称，则a的值为_________．
【答案】
【点拨】求出平移后的函数解析式，由新函数图象过原点得出，
【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度，得解析式为，它的图象关于原点对称，则，即，，
故答案为：．
10．设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确是________（填写序号）
①的图象过点；
②在上单调递减；
③的一个对称中心是；
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
【答案】③
【点拨】先根据对称轴及最小正周期，求得函数的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可.
【解析】
函数的最小正周期是，所以，则，
又图象关于直线对称，
所以对称轴为，代入可得，解得，
因为，所以当时，
，则，
对于①，当时，，的图象不过点，所以①不正确；
对于②，的单调递减区间为，解得，
当时，，又因为，则在上不是减函数，所以②错误；
对于③，的对称中心为，解得，当时，，所以是的一个对称中心，所以③正确；
对于④，将向右平移个单位长度，可得，所以不能得到的图象，所以④错误.
综上可知，正确的为③.
故答案为:
③.
三、解答题
11．已知函数（，，）的图象如下图所示
（1）求出函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.
【答案】（1）；
（2），.
【点拨】（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b．求出函数f（x）的解析式；
（2）利用平移变换的运算求出函数y＝g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．
【解析】
（1）
由图可得
且而,
故
综上
（2）显然
由得
的单调递增区间为..
由.
12．函数在一个周期内的图象如图所示.已知，.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【点拨】（1）首先根据函数图象得到，根据周期得到，再根据得到，从而得到函数解析式.
（2）根据函数的变换得到，再求最小值即可.
【解析】
（1）由图可得.
因为，所以，即.
又，所以，.
因为，所以.
所以.
（2）的图象向左平移个单位得到：
，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到：
，
因为，所以.
当，即时，取得最小值.
试卷第1页，总3页
