人教版A版高中数学必修五3.4基本不等式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线l：过点，当取最小值时直线l的斜率为（
）
A．2
B．
C．
D．2
2．已知函数，若，.则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，则的最小值为（
）
A．2
B．1
C．4
D．3
4．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为8，则取最小值时，首项（
）
A．8
B．4
C．2
D．1
6．已知正数满足，则的最小值是（
）
A．18
B．16
C．8
D．10
7．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．3
8．在中，，则的形状是
(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
9．若，，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知正实数满足，则的最小值为（
）
A．10
B．11
C．13
D．21
二、填空题
11．海伦公式亦叫海伦—秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为______.
12．已知，，则的最小值为___________．
13．若且，则的最小值是________.
14．已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围为______．
15．如图，向量，，，是以为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则的最大值是______.
三、解答题
16．做一个体积为，高为2m的长方体容器，问底面的长和宽分别为多少时，所用的材料表面积最少？并求出其最小值.
17．设函数（，实数）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求证：.
工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求：工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元.
19．已知为正数,且,证明:
(1)；
(2).
20．完成下列证明：
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求证：.人教版A版高中数学必修五3.4基本不等式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线l：过点，当取最小值时直线l的斜率为（
）
A．2
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
将点带入直线可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解．
【详解】
因为直线过点，所以，即，
所以
当且仅当，即时取等号
所以斜率，故选A
【点睛】
本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．
2．已知函数，若，.则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式分离出常数，根据的正负进行分类讨论的数学思想方法，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解】
由，得，化简得，
当时，上式成立，只有D选项符合.
当时，由于，当且仅当时等号成立，所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题.
3．已知，则的最小值为（
）
A．2
B．1
C．4
D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
将的表达式构造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.
【详解】
因为，所以，取等号时即，
故选：C.
【点睛】
形如形式的函数，可利用基本不等式求解函数最小值：，取等号时有：.
4．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】
，
因为不等式恒成立，
所以，即，
解得，所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
5．已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为8，则取最小值时，首项（
）
A．8
B．4
C．2
D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，可得，由基本不等式和等比数列的通项公式可得结果.
【详解】
∵，设公比为，
∴
当且仅当，即时取等号，此时，故选C.
【点睛】
该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
6．已知正数满足，则的最小值是（
）
A．18
B．16
C．8
D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
然后运用基本不等式求出最小值
【详解】
当且仅当，即，时，取得最小值
故选
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题
7．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
变换，代入式子得到，利用均值不等式得到最值，得到，，代入计算得到答案.
【详解】
，故，
，当，即时等号成立.
此时，，当时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
8．在中，，则的形状是
(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦定理可知，与已知条件相加，得到的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到，从而得到的大小，判断出的形状，得到答案.
【详解】
由余弦定理可知，
两式相加，得到
所以，当且仅当时，等号成立，
而
所以，
因为，所以
所以，即，又，
所以是等边三角形，
故选D项.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.
9．若，，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由变形，代入式子得到，取，带入化简利用均值不等式得到答案.
【详解】
，
设
原式
当即时有最大值为
故答案选C
【点睛】
本题考查了最大值，利用消元和换元的方法简化了运算，最后利用均值不等式得到答案，意在考查学生对于不等式知识的灵活运用.
10．已知正实数满足，则的最小值为（
）
A．10
B．11
C．13
D．21
【答案】B
【解析】
【分析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】
解：正实数满足，
则，
，
即：，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为11.
故选：B.
【点睛】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力．
二、填空题
11．海伦公式亦叫海伦—秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意，得到，设，则，根据，由基本不等式，即可求出结果.
【详解】
由海伦公式可知，
不妨设，则，
则.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
12．已知，，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用均值不等式，即得解.
【详解】
由于，，
，当且仅当取得最小值．
故答案为：
【点睛】
本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
13．若且，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据且，利用“1”的代换，将，转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为且，
所以.
当且仅当，且，即时，取等号.
所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围为______．
【答案】（﹣∞，]
【解析】
【分析】
由正实数x，y满足，可求得x+y≥5，由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围．
【详解】
因为正实数x，y满足，而4xy≤（x+y）2，
代入原式得（x+y）2﹣4（x+y）﹣5≥0，解得x+y≥5或x+y≤﹣1（舍去），
由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0可得a（x+y）≤（x+y）2+1，
即a≤x+y+，令t=x+y∈[5，+∞），
则问题转化为a≤t+，
因为函数y=t+在[5，+∞）递增，
所以ymin=5+=，
所以a≤，
故答案为（﹣∞，]
【点睛】
本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x+y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
15．如图，向量，，，是以为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
将两边平方，利用数量积的运算化简可得，用基本不等式即可求得最大值．
【详解】
因为，，，
所以,
因为为圆上，所以，
，
，
，
，
，
，故答案为1．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题．数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，
在
上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量
的模（平方后需求）.
三、解答题
16．做一个体积为，高为2m的长方体容器，问底面的长和宽分别为多少时，所用的材料表面积最少？并求出其最小值.
【答案】长和宽均为4
m时，最小值为64
【解析】
【分析】
利用体积求得ab=16，只需表示出表面积，结合高为2m，利用基本不等式求出最值即可.
【详解】
设底面的长和宽分别为，
因为体积为32，高为c=2m，
所以底面积为16，即ab=16
所用材料的面积S=2ab+2bc+2ca=32+4（a+b），当且仅当a=b=4时取等号，
答：当底面的长和宽均为4
m时，所用的材料表面积最少，其最小值为64
【点睛】
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
17．设函数（，实数）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)将化为,解一元二次不等式可得答案;
(2)先求出函数的最小值,再证明最小值即可.
【详解】
（1）∵，∴，
即，解得.
（2），
当时，；当时，；
当时，
∵，∴，
当且仅当即时取等号，∴.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了求分段函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.
18．工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求：工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元.
【答案】工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元.
【解析】
【分析】
先设出比例系数，利用已知求出系数，结合基本不等式求解最值.
【详解】
设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则；
当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，
所以；
所以运费与仓储费之和为，
因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.
故工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的实际应用，关键是构建数学模型，侧重考查数学建模的核心素养.
19．已知为正数,且,证明:
(1)；
(2).
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）将a+b+c＝2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明.
【详解】
(1)将a+b+c＝2平方得:，
由基本不等式知:，
三式相加得:，
则
所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立
(2)由，同理
则，
即当且仅当时等号成立
【点睛】
本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.
20．完成下列证明：
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求证：.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）运用分析法，两边平方，化简配方即可得证；（Ⅱ）运用变形和基本不等式，即可得证。
【详解】
（I）要证：≥
只需证：≥，
即证：，
即证：,
即证：，即证：，
这显然成立，故.
（II）依题意，
因为，故，
故
当且仅当，即，
即时等号成立.
【点睛】
本题主要考查不等式的证明的方法——分析法和综合法，意在考查学生运用分析法和使用基本不等式时涉及到的变形能力，化简能力以及推理能力。
