人教版A版高中数学必修五
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果集合，，，那么点的条件是（）.
A．
B．
C．
D．
2．已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为
A．3
B．4
C．5
D．6
3．设一元二次不等式的解集为,则ab的值是
A．-6
B．-5
C．6
D．5
4．
不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2}
B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2}
D．{x|－4≤x≤－2}
5．
若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]
B．[0,4]
C．[6,
D．[4,
6．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．9
7．不等式>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是( )
A．(-∞,0]
B．(-∞,1)
C．(-∞,4)
D．(4,+∞)
8．设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
9．已知变量满足约束条件,若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数的取值集合是( )
A．
B．
C．
D．
10．定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如果实数满足条件，那么的最大值为
12．已知实数满足线性约束条件,则目标函数的最大值是______.
13．已知实数，满足，则的最小值是_____.
14．已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_____________．
15．设平面点集，则所表示的平面图形的面积为
三、解答题
16．已知不等式组，
（1）画出不等式组所表示的平面区域（要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分）；
（2）求平面区域的面积．
17．已知x、y满足约束条件.
（1）作出不等式组表示的平面区域；（用阴影表示）
（2）求目标函数的最小值.
18．已知实数、满足，若的最大值为，最小值为，求实数的取值范围.
19．（1）已知，，，比较与的大小；
（2）已知，，，，求的取值范围．
20．已知抛物线上一点到其焦点F的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l必过一定点，并求出该定点的坐标；
（3）过点的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N，若，求直线m的斜率的取值范围．人教版A版高中数学必修五
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果集合，，，那么点的条件是（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，由此求得满足的不等式组，将点坐标代入上述不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
依题意，所以满足的不等式组为，由于，故，解得，.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查交集和补集的概念及运算，考查点与线性约束条件表示的区域的位置关系，属于基础题.
2．已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】
试题分析：由题意得，．最小值为5
考点：1．等差中项；2．均值不等式求最值
3．设一元二次不等式的解集为,则ab的值是
A．-6
B．-5
C．6
D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集为,
可得且和是的两根，从而利用根与系数的关系求解即可.
【详解】
由一元二次不等式的解集为,
可得：且和是的两根，
所以：，从而得：.
所以.
故选C..
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次方程根与系数的关系，属于基础题.
4．
不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2}
B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2}
D．{x|－4≤x≤－2}
【答案】C
【解析】
原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，解得－4＜x＜－2.选C.
5．
若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]
B．[0,4]
C．[6,
D．[4,
【答案】D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
6．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出满足约束条件的可行域，如图，
画出可行域，，，，
平移直线，
由图可知，直线经过时
目标函数有最大值，
的最大值为9.
故选D.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7．不等式>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是( )
A．(-∞,0]
B．(-∞,1)
C．(-∞,4)
D．(4,+∞)
【答案】C
【解析】
由题意，不等式可变形得，
而(当且仅当时等号成立),则，故选C.
8．设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】
试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．
【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．
9．已知变量满足约束条件,若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数的取值集合是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由得，若，则直线，此时取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若，则直线在轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线与直线平行时满足题意，此时，解得；若，则直线在轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线与直线平行时满足题意，此时，解得.综上可知，或，故选B.
10．定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用几何概型计算公式，求出试验包含的全部事件对应的集合以及满足条件的事件A对应的面积，即可求得．
【详解】
试验包含的全部事件对应的集合是
，满足条件的事件
，如图所示，
，
，所以，故选A．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划中可行域的画法和几何概型的概率计算．
二、填空题
11．如果实数满足条件，那么的最大值为
【答案】1
12．已知实数满足线性约束条件,则目标函数的最大值是______.
【答案】9
【解析】
【分析】
在直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域,平移直线,在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大,把点的坐标代入目标函数中即可求出目标函数的最大值.
【详解】
在直角坐标系内,不等式组所表示的平面区域如下图所示：
平移直线当直线经过点时,直线在纵轴上的截距最大.点的坐标是方程组
,所以目标函数的最大值是.
故答案为：9
【点睛】
本题考查了求线性目标函数最大值问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.
13．已知实数，满足，则的最小值是_____.
【答案】-4
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【详解】
解：由实数，满足作出可行域，
化目标函数为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，有最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题.
14．已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_____________．
【答案】
【解析】
满足条件的点的可行域如下：
由图可知，目标函数在点处取到最小值-3
15．设平面点集，则所表示的平面图形的面积为
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
因为
或
表示的面积如图阴影部分，
利用图形的对称性可知所表示的平面图形的面积为圆面积的一半.
故答案为.
三、解答题
16．已知不等式组，
（1）画出不等式组所表示的平面区域（要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分）；
（2）求平面区域的面积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）画出每一个二元一次不等式所表示的平面区域，然后取公共部分.
（2）根据（1）分别求得三角形三个顶点的坐标，然后用三角形的面积公式求解.
【详解】
（1）不等式组，
所表示的平面区域，如图所示：
（2）由，解得.
由，解得.
由，解得.
所以平面区域的面积．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组与可行域，还考查数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.
17．已知x、y满足约束条件.
（1）作出不等式组表示的平面区域；（用阴影表示）
（2）求目标函数的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先画四条直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，画成阴影即可；
（2）将目标函数的最小值看成直线在轴上截距的最大值，从可行域中找到最优解，进而求得目标函数的最小值.
【详解】
（1）可行域如图所示：
（2）易得点，
当直线过点时，直线在轴上截距达到最大，此时，取得最小值，
所以.
【点睛】
本题考查线性规划，考查数形结合思想的运用，求解时注意利用直线在轴上截距的最大值求得目标函数的最小值，考查基本运算求解能力.
18．已知实数、满足，若的最大值为，最小值为，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数的取值范围.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
由得，
目标函数的最大值为，最小值为.
当直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，
当直线经过点时，该直线在轴上的截距最小，
结合图形可知，直线的斜率不小于直线的斜率，不大于直线的斜率，即，解得，因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题.
19．（1）已知，，，比较与的大小；
（2）已知，，，，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用作差比较法即可得出结果；
（2）先对乘以1结果保持不变，将看为一个整体代入得，展开运用基本不等式可求得最小值，得到结果.
【详解】
（1）．
∵，，，∴，，，．
又，∴．∴．
（2）∵，，，∴，
当且仅当即当时等号成立．
故的取值范围是．
【点睛】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点应用作差法比较式子的大小，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
20．已知抛物线上一点到其焦点F的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l必过一定点，并求出该定点的坐标；
（3）过点的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N，若，求直线m的斜率的取值范围．
【答案】（1）（2）直线l过定点，证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）解法1：根据抛物线的定义列方程，求得p的值，写出抛物线方程；
解法2：将代入，再由点T到其焦点F的距离，
列出方程组求得p的值，再写出抛物线方程；
（2）可直线l的方程为，与抛物线方程联立，消去y，
利用根与系数的关系计算，从而证明直线l过定点；
（3）依题意设直线m的方程为，与抛物线方程联立，消去y，
利用根与系数的关系计算，由得k的取值范围．
【详解】
解：（1）解法1：由题意，根据抛物线的定义，有，解得，
所以抛物线C的方程为；
解法2：将代入得，，
又点到其焦点F的距离为5，焦点坐标为，所以，
将代入整理得，解得，
故抛物线C的方程为；
（2）依题意，直线l的斜率存在，设l的方程为，
由得，
设，，则，，
所以
，
令，得，所以直线l过定点．
（3）依题意，直线m的斜率k存在且，设m的方程为，
由消去y，得，
由，即，解得或．
设，，则，，且，，
所以
，
因为，所以，解得；
所以，直线m的斜率的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，也考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，以及化简整理的运算能力，是中档题．
