人教版A版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的不等式()的解集为,且,则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分析：先通过解一元二次不等式得到不等式的解集，再利用区间长度进行求解．
详解：因为，
所以，
即，
又，
所以，
解得．
点睛：本题考查一元二次不等式的解法等知识，意在考查学生的数学转化能力和基本计算能力．
2．若一元二次不等式对一切实数都成立,则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由一元二次不等式，可知，所以，得到的范围.
【详解】
因为一元二次不等式，对一切实数都成立，
所以，即，解得
所以的取值范围为
故选A项.
【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.
3．
不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1
D．{x|－1≤x≤5}
【答案】B
【解析】
【分析】
将不等式化为，将不等式左边影视分解，再利用一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集．
【详解】
由题意，将不等式化为，
则，解得或，
即不等式的解集为或，故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系，求解步骤是：判断最高次的系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集即可，着重考查了推理与运算能力．
4．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.
5．在上定义运算：，若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新运算的定义,
,即求恒成立,整理后利用判别式求出范围即可
【详解】
对于任意的实数恒成立,
,即恒成立,
,
故选：C
【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题,
当时,利用判别式是解题关键
6．
若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则正数a的取值范围是( )
A．
B．(0，1]
C．
D．(0，1]∪
【答案】D
【解析】
【详解】
画出前三个不等式表示的平面区域，为图中△OAB，当直线l：x＋y＝a在l0与l1之间(包括l1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l在l2的位置或从l2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形；又l在l1，l2的位置时，a的值分别为1，.所以或a≥.选D.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
7．
不等式x2≥2x的解集是( )
A．{x|x≥2}
B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|x≤0或x≥2}
【答案】D
【解析】
由x2≥2x解得：x(x－2)≥0，所以x≤0或x≥2.选D.
8．已知0（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（
）
A．－1B．0C．1D．3【答案】C
【解析】
由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而01，
由不等式<0解得
即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则19．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围.
【详解】
令，对称轴方程为，
若存在，使不等式成立，
等价于，
当时，即，，解得，
因为，所以；
当时，即，，解得，
因为，所以；
因为，所以.
故选C.
【点睛】
主要考查了一元二次不等式存在性问题，属于中档题.这类型问题关键是等价转化为最值问题，通过讨论对应二次函数最值的情况，从而求出参数范围.
10．已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据A,B解集的关系求得的根，再根据不等式恒成立解得实数的取值范围.
【详解】
可设，则为方程的两个根，
因为所以恒成立，
因此
由恒成立得恒成立，
即
故选：B
【点睛】
本题考查二次函数、二次方程与二次不等式关系，考查综合分析求解能力，属较难题.
二、填空题
11．不等式组的解集为________.
【答案】{x|0＜x＜1}
【解析】
【分析】
直接利用二次不等式的解法求解即可．
【详解】
解：∵x2－1＜0，
∴－1＜x＜1，
∵x2－3x＜0，
∴0＜x＜3，
∴0＜x＜1.
故答案为：{x|0＜x＜1}
【点睛】
本题考查二次不等式的解法，考查计算能力．
12．“若对任意的”是真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
分，两种情况讨论，得到不等式组关系，即得解.
【详解】
“若对任意的”是真命题，
当，不成立；
当
综上：
故答案为：
【点睛】
本题考查了已知全称命题真假求参数范围，考查了学生概念理解，分类讨论，转化划归的能力，属于基础题.
13．不等式对任意的恒成立，则实数的最小值__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由参变量分离法得出，可得出，利用二次函数的性质求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
由得，
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
则.
另一方面，且.
所以，函数在时取得最大值，即，.
因此，实数的最小值为.
故答案为.
【点睛】
本题考查利用不等式恒成立求参数的取值范围，在解题时充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，求得的值，由此求得不等式的解集.
【详解】
由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，即，解得.
【点睛】
本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题，解题过程中要注意正负号的影响.
15．已知，，若对，总，使得，则实数m的取值范围是________.注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.
【答案】
【解析】
【分析】
，总，使得，转化为，借助一次函数，二次函数的性质求解最大，最小值即得解.
【详解】
，总，使得，等价于，
由于在单调递增，因此；
的对称轴为：
（1）若，即，
，无解.
（2）若，即，
.
（3）若，即，
，无解.
综上：.
【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
16．若不等式的解集为.
（1）求证：；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得是的两根，利用韦达定理，化简可得结论；（2）结合（1）原不等式可化为，利用一元二次不等式的解法可得结果.
【详解】
（1）∵不等式的解集为
∴是的两根,且
∴
∴，所以
;
（2）因为，,
所以，即
,
又
即
，
解集为
【点睛】
本题考查了求一元二次不等式的解法，是基础题目．若，则的解集是；的解集是.
17．（1）求不等式的解集；
（2）已知矩形的面积为，求它的周长的最小值．
【答案】（1）；（2）16
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为一元二次不等式，解不等式得结果；（2）假设矩形的长，将周长转化为基本不等式的形式，从而求得周长的最小值.
【详解】
（1）不等式可化为
即，解得：
该不等式的解集为
（2）设矩形的长为，则它的宽为，
则矩形的周长为
当且仅当，即时取等号
矩形周长的最小值为
【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解，基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.
18．解关于的不等式
【答案】当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
【解析】
【分析】
先将不等式化为，当时，分，，三种情况讨论，求出解集；当，化简原不等式，直接求出结果；当时，化简不等式，解对应一元二次不等式，即可求出结果.
【详解】
不等式可化为.
①当时，原不等式可以化为，
根据不等式的性质，这个不等式等价于.
因为方程的两个根分别是2，，
所以当时，，
则原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是；
当时，，则原不等式的解集是.
②当时，原不等式为，解得，
即原不等式的解集是.
③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，
这个不等式等价于，由于，
故原不等式的解集是或.
综上所述，当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.
19．已知关于的不等式.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）将不等式化为即可求得结果；（2）将不等式化为；当时直接求得；当时，不等式变为，计算的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集；当时，不等式变为，根据方程两根大小关系即可得到解集.
【详解】
（1）当时，不等式可化为：
不等式的解集为
（2）不等式可化为：，
（i）当时，，解得：
不等式解集为
（ii）当时，，
的根为：，
①当时，
不等式解集为
②当时，，不等式解集为
③当时，
不等式解集为
（iii）当时：
此时
不等式解集为或
【点睛】
本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整.
20．若，设其定义域上的区间（）.
（1）判断该函数的奇偶性，并证明；
（2）当时，判断函数在区间（）上的单调性，并证明；
（3）当时，若存在区间（），使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在（）为增函数，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）由（1）得，当时，在为减函数，故若存在定义域，，使值域为，则有，从而问题可转化为，是方程的两个解，进而问题得解．
【详解】
解：（1）因为
由解得或，即的定义域为，关于原点对称．
为奇函数.
（2）在（）为增函数；
证明：的定义域为，则．
设，，则，且，，
，
即，
因为时，所以，即，
所以在（）为增函数．
（3）由（1）得，当时，在（）为递减函数，
若存在定义域（），使值域为，
则有
，是方程在上的两个相异的根，
即，
即在上的两个相异的根，
令，
则在有2个零点，
解得
即当时，，
当时，方程组无解，即（）不存在．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系，结合对数函数的性质转化为一元二次方程，利用根的分布是解决本题的关键，考查学生的转化能力，属于难题．人教版A版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的不等式()的解集为,且,则
A．
B．
C．
D．
2．若一元二次不等式对一切实数都成立,则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．
不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1D．{x|－1≤x≤5}
4．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A．
B．
C．
D．
5．在上定义运算：，若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
6．
若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则正数a的取值范围是( )
A．
B．(0，1]
C．
D．(0，1]∪
7．
不等式x2≥2x的解集是( )
A．{x|x≥2}
B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|x≤0或x≥2}
8．已知0（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（
）
A．－1B．0C．1D．39．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．不等式组的解集为________.
12．“若对任意的”是真命题，则实数的取值范围是__________.
13．不等式对任意的恒成立，则实数的最小值__________．
14．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______．
15．已知，，若对，总，使得，则实数m的取值范围是________.注：表示的是函数中对应的函数值，表示的是中对应的函数值.
三、解答题
16．若不等式的解集为.
（1）求证：；
（2）求不等式的解集.
17．（1）求不等式的解集；
（2）已知矩形的面积为，求它的周长的最小值．
18．解关于的不等式
19．已知关于的不等式.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式.
20．若，设其定义域上的区间（）.
（1）判断该函数的奇偶性，并证明；
（2）当时，判断函数在区间（）上的单调性，并证明；
（3）当时，若存在区间（），使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围.