人教版A版高中数学必修二4.1.1
圆的标准方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程(
)
A．
B．
C．
D．
2．圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．圆：的圆心坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
4．圆的圆心到直线的距离为1，则（
）
A．
B．
C．
D．2
5．圆截直线所得的弦长为，则（
）
A．
B．
C．
D．2
6．已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．直线x﹣y﹣4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x+2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（
）
A．[2，4]
B．[4，8]
C．[8，16]
D．[16，32]
8．已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
9．圆：关于直线对称的圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为(
)
A．1
B．2
C．
D．8
二、填空题
11．圆的半径为______________.
12．圆的圆心坐标为________.
13．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为______.
14．抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________.
15．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．
三、解答题
16．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
17．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
18．在平面直角坐标系中，已知、.
（1）求以点为圆心，且经过点的圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，判断直线与（1）中圆的位置关系，并说明理由.若直线与圆相交，求直线被圆所截得的弦长.
19．已知点，以为圆心的圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）如果圆上存在两点关于直线对称，求的最大值.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相切于点，与轴交于点，又椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆与直线相切于点，且经过点，求圆的方程.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二4.1.1
圆的标准方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】
由题得OC中点坐标为（3,4），
圆的半径为，
所以圆的方程为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由有，所以直线过定点，则所求圆的方程为，故选择A.
3．圆：的圆心坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将一般方程标准化,即可得出圆心坐标.
【详解】
由圆得:得圆心坐标为.
故选:.
【点睛】
本题考查由圆的方程求圆心坐标,考查学生的计算能力,难度容易.
4．圆的圆心到直线的距离为1，则（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
【考点】
圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.
已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
5．圆截直线所得的弦长为，则（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.
【详解】
圆,即
则由垂径定理可得点到直线距离为
根据点到直线距离公式可知,化简可得
解得
故选:A
【点睛】
本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.
6．已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆心，利用点到直线距离可构造方程求得，根据点的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程.
【详解】
圆的圆心在直线上，可设，
圆与轴正半轴相切与点，且圆的半径，.
到直线的距离，，解得：或，
或，
在直线的左上方，，，，
圆的标准方程为：.
故选：
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量.
7．直线x﹣y﹣4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x+2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（
）
A．[2，4]
B．[4，8]
C．[8，16]
D．[16，32]
【答案】C
【解析】
【分析】
求得A，B坐标，进而求得，求得圆心到直线的距离并加减半径，得到的范围，从而表示，可得面积的取值范围.
【详解】
由题可知对直线x﹣y﹣4＝0，令，得，令，得，
即
点P在圆（x+2）2+y2＝2上，其中圆心所以满足
其中
，所以
则△ABP面积，则
故选：C
【点睛】
本题考查与圆有关的距离范围问题，应转化为圆心到直线的距离加减半径，属于中档题.
8．已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知条件可知圆心到轴距离为，运用勾股定理和弦长公式求出圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
已知圆的圆心坐标为，则圆心到轴距离为，
又因为轴被截得的弦长为，则运用勾股定理可得，
所以圆的方程为.
故选：.
【点睛】
本题考查了求圆的标准方程，求解过程中已知弦长求半径，可由弦长公式逆用，结合勾股定理求出半径，进而得到圆的方程，本题较为基础.
9．圆：关于直线对称的圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程.
【详解】
因为圆，即，
所以圆的圆心坐标为，半径为.
圆心关于直线对称的点是，则，解得.
则所求圆的方程为.
故选：.
【点睛】
本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力.
10．已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为(
)
A．1
B．2
C．
D．8
【答案】A
【解析】
分析：由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线方程，利用运用抛物线的定义可得，从而可得结果.
详解：因为的圆心
所以，可得以为焦点的抛物线方程为，
由，解得，
抛物线的焦点为，准线方程为，
即有，
当且仅当在之间）三点共线，可得最大值，故选A.
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
二、填空题
11．圆的半径为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
将一般式化为标准式即可求得
【详解】
由，则半径为
故答案为：
【点睛】
本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题
12．圆的圆心坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据圆的标准方程，即可得答案.
【详解】
∵圆，
∴圆心坐标为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查圆心坐标的求解，属于基础题.
13．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题画出大致图像，设圆心为，结合圆的几何性质由勾股定理可得，即可求解
【详解】
如图，设圆心为，由圆的几何性质可得，解得，则圆的标准方程为：
故答案为：
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题
14．抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________.
【答案】(x－1)2＋y2=4
【解析】
∵抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，∴不妨设A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x轴的交点为M，∴M点的坐标为(－1,0)，
则过M，A，B三点的圆的圆心在x轴，设圆心坐标为C(a,0)，
则|CA|=|CM|，即，解得a=1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2=4.
15．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线的斜率，可得出直线的方程，再利用当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，由此求出点的坐标，并计算出点到直线的距离，作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，
直线的斜率，
所以，直线的方程为，即.
当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：
设点，点在直线的下方，则，
点到直线的距离为，当时，取最大值，
此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题
16．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
【答案】（1）；；（2）
【解析】
【分析】
（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.
（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.
【详解】
（1）由圆的方程为
则
所以可知圆心，半径
（2）由弦的中垂线为,则
所以可得，
故直线AB的方程为：
即
【点睛】
本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.
17．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
18．在平面直角坐标系中，已知、.
（1）求以点为圆心，且经过点的圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，判断直线与（1）中圆的位置关系，并说明理由.若直线与圆相交，求直线被圆所截得的弦长.
【答案】（1）；（2）直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为.
【解析】
【分析】
（1）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）计算圆心到直线的距离，由可判断直线与圆相交，并利用勾股定理可计算出直线被圆所截得的弦长.
【详解】
（1）圆的半径为，
因此，圆的标准方程为；
（2）圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相交.
因此，直线被圆所截得的弦长为.
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了直线与圆的位置关系的判断以及直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
19．已知点，以为圆心的圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）如果圆上存在两点关于直线对称，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算点到直线的距离，作为圆的半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）由题意可知直线过圆心，可得出，可得，然后利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】
（1）因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径长.
由题意，得圆心到直线的距离，
故所求圆的方程为；
（2）因为圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心.
所以，即.
解得，
当时，取最大值.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，同时也考查了圆的对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相切于点，与轴交于点，又椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆与直线相切于点，且经过点，求圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）求出直线l的方程，代入椭圆方程，令，求出a,b关系，结合即得解；
（2）求出B点坐标，得出的中垂线方程，方程，联立求出Q点坐标，计算圆的半径，得出圆Q的方程.
【详解】
（1）由题设条件，直线l的方程为：
联立方程组：，消元得：
由直线和椭圆相切，
又
故椭圆方程为：
（2）由（1）得：
代入得
又中点为：
方程为：
的中垂线方程为：
联立得：
圆Q的半径为：
故圆Q的方程为：
【点睛】
本题考查了直线和椭圆，直线和圆综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
试卷第1页，总3页
