人教版A版高中数学必修二4.1圆的方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得圆M的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.
【详解】
由题意可得圆M的圆心坐标为，
以为圆心，以3为半径的圆的方程为．
故选:A.
【点睛】
本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.
2．已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】
由题得OC中点坐标为（3,4），
圆的半径为，
所以圆的方程为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由有，所以直线过定点，则所求圆的方程为，故选择A.
4．圆：的圆心坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将一般方程标准化,即可得出圆心坐标.
【详解】
由圆得:得圆心坐标为.
故选:.
【点睛】
本题考查由圆的方程求圆心坐标,考查学生的计算能力,难度容易.
5．若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（???）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB垂直，可得AB斜率k＝1，结合直线方程的点斜式列式，即可得直线AB的方程.
【详解】
∵AB是圆（x﹣1）2+y2＝25的弦，圆心为C（1，0）
AB的中点P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，AB的斜率k＝,
可得直线AB的方程是y+1＝x﹣2，化简得x﹣y﹣3＝0
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的弦的性质，考查直线方程的求法，属于基础题.
6．圆的圆心到直线的距离为1，则（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
【考点】
圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.
已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
7．圆截直线所得的弦长为，则（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.
【详解】
圆,即
则由垂径定理可得点到直线距离为
根据点到直线距离公式可知,化简可得
解得
故选:A
【点睛】
本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.
8．已知实数、满足方程，则最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准形式，可得出圆心的坐标和圆的半径，将视为坐标原点到圆上一点距离的平方，即可得出结果.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径长为，
，所以，原点在圆外.
的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，.
故选：A.
【点睛】
本题考查最值的计算，利用该代数式的几何意义求解是解答的关键，同时也考查了圆外一点到圆上一点距离最值的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
9．已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆心，利用点到直线距离可构造方程求得，根据点的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程.
【详解】
圆的圆心在直线上，可设，
圆与轴正半轴相切与点，且圆的半径，.
到直线的距离，，解得：或，
或，
在直线的左上方，，，，
圆的标准方程为：.
故选：
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量.
10．过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设切线方程为：，与抛物线联立，表示线段的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.
【详解】
设过点的抛物线的切线方程为：，
即（
），
代入得，
由得，（1）
所以方程（1）有两个不相等的实数根，，
且，，
在（
）中令得，，
设的外接圆圆心为点，
则，
下求：线段中点横标，纵标，
线段的中垂线方程为，
令得，
由（1）知，故，
设的外接圆半径为，
则，
所以的外接圆方程为，
即.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题
11．圆的半径为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
将一般式化为标准式即可求得
【详解】
由，则半径为
故答案为：
【点睛】
本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题
12．圆的圆心坐标是_______，半径长为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程直接写出圆心半径即可.
【详解】
因为圆，
所以圆心坐标为，半径.
故答案为：,1
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程，属于容易题.
13．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题画出大致图像，设圆心为，结合圆的几何性质由勾股定理可得，即可求解
【详解】
如图，设圆心为，由圆的几何性质可得，解得，则圆的标准方程为：
故答案为：
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题
14．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程．
【详解】
设圆的半径为，由题意可得，所以，
由题意设圆心，由题意可得，
由直线与圆相切可得，所以，
而，，所以，即，解得，
所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得，
所以圆心坐标为：，半径为，
所以圆的标准方程为：.
故答案为：．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.
15．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线的斜率，可得出直线的方程，再利用当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，由此求出点的坐标，并计算出点到直线的距离，作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，
直线的斜率，
所以，直线的方程为，即.
当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：
设点，点在直线的下方，则，
点到直线的距离为，当时，取最大值，
此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题
16．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
【答案】（1）；；（2）
【解析】
【分析】
（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.
（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.
【详解】
（1）由圆的方程为
则
所以可知圆心，半径
（2）由弦的中垂线为,则
所以可得，
故直线AB的方程为：
即
【点睛】
本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.
17．经过点，，的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设圆的方程为，代入点，，，列方程求解即可.
【详解】
解：设圆的方程为，
由已知可得，解得：，
故圆的方程为，即，
故答案为：.
【点睛】
本题考查待定系数法求圆的方程，是基础题.
18．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
19．在平面直角坐标系中，已知、.
（1）求以点为圆心，且经过点的圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，判断直线与（1）中圆的位置关系，并说明理由.若直线与圆相交，求直线被圆所截得的弦长.
【答案】（1）；（2）直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为.
【解析】
【分析】
（1）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）计算圆心到直线的距离，由可判断直线与圆相交，并利用勾股定理可计算出直线被圆所截得的弦长.
【详解】
（1）圆的半径为，
因此，圆的标准方程为；
（2）圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相交.
因此，直线被圆所截得的弦长为.
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了直线与圆的位置关系的判断以及直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
20．已知点，以为圆心的圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）如果圆上存在两点关于直线对称，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算点到直线的距离，作为圆的半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）由题意可知直线过圆心，可得出，可得，然后利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】
（1）因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径长.
由题意，得圆心到直线的距离，
故所求圆的方程为；
（2）因为圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心.
所以，即.
解得，
当时，取最大值.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，同时也考查了圆的对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二4.1圆的方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程(
)
A．
B．
C．
D．
3．圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．圆：的圆心坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（???）
A．
B．
C．
D．
6．圆的圆心到直线的距离为1，则（
）
A．
B．
C．
D．2
7．圆截直线所得的弦长为，则（
）
A．
B．
C．
D．2
8．已知实数、满足方程，则最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．圆的半径为______________.
12．圆的圆心坐标是_______，半径长为_______.
13．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为______.
14．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______.
15．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．
三、解答题
16．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
17．经过点，，的圆的方程为__________．
18．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
19．在平面直角坐标系中，已知、.
（1）求以点为圆心，且经过点的圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，判断直线与（1）中圆的位置关系，并说明理由.若直线与圆相交，求直线被圆所截得的弦长.
20．已知点，以为圆心的圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）如果圆上存在两点关于直线对称，求的最大值.
试卷第1页，总3页
