人教版A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程表示圆的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
2．当圆的面积最小时，的取值是(
)
A．
B．
C．
D．
3．圆上有两点A,B关于直线对称，则k=(
)
A．2
B．
C．
D．不存在
4．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若方程表示圆，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．方程表示圆，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知方程表示圆，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．
B．
C．
D．
9．已知实数x，y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（
）
A．3
B．5
C．9
D．25
10．为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则其圆心坐标是___________，半径是___________．
12．已知点，则以线段为直径的圆的一般方程为____．
13．直线与圆交于两点，则的最小值是________.
14．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________．
15．已知矩形，，，、分别为边、的中点.沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，的中点的轨迹长度为______.
三、解答题
16．已知线段的端点的坐标为，端点在圆：上运动.求线段的中点的轨迹.
17．已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的外接圆的方程．
18．已知圆过三点，直线.
（Ⅰ）求圆的方程
（Ⅱ）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.
19．已知点在圆上运动，，点线段的中点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.
20．已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）当时，求曲线的方程；
（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程表示圆的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程表示圆，直接得到，求解，即可得出结果.
【详解】
由表示圆，可得：，
解得.
故选：D
【点睛】
本题主要考查由二元二次方程表示圆求参数，熟记圆的一般方程满足的条件即可，属于基础题型.
2．当圆的面积最小时，的取值是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程，求出圆的半径，从而可得圆面积最小时的取值.
【详解】
解：由圆，
化为标准方程为：，
可得：
可得当时，最小，即圆的面积最小，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查圆的一般方程与标准方程的转化，相对不难，注意运算准确.
3．圆上有两点A,B关于直线对称，则k=(
)
A．2
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，点、关于直线对称，得直线经过圆心，将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心，将其坐标代入直线方程即可
【详解】
由题意得直线经过圆心，所以，解得，故选A
【点睛】
本题考查圆的对称性，当圆上两点关于某直线对称时，该直线一定经过圆心。
4．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】
由于方程表示的曲线为圆，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
5．若方程表示圆，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
分析：二元二次方程表示圆的充要条件是，由此得出的取值范围．
详解：二元二次方程表示圆的充要条件是，所以．故选A．
点睛：通过配方得出，二元二次方程表示圆的充要条件为：；
6．方程表示圆，则的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆的一般方程，表示出圆的半径，然后通过半径大于0，得到关于的方程，求出的范围.
【详解】
因为方程表示圆，
则半径
所以
即
解得
故选D项.
【点睛】
本题考查圆的一般方程求圆的半径，属于简单题.
7．已知方程表示圆，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先根据圆的一般式方程可知，再根据题意即可列出不等式，最后通过计算得出结果。
【详解】
由圆的一般式方程可得即，解得，故选C。
【点睛】
本题考查的是圆的相关性质，对圆的一般式方程的性质的了解是解决本题的关键，方程想要表示圆，则需要满足，是简单题。
8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
9．已知实数x，y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（
）
A．3
B．5
C．9
D．25
【答案】D
【解析】
【分析】
由配方可得原方程表示以为圆心，1为半径的圆,
表示点与原点的距离的平方，由圆的性质可得所求最大值为．
【详解】
，即为，
可得上式方程表示以为圆心，1为半径的圆，
表示点与原点的距离的平方，
由圆的性质可得圆上的点与原点的距离的最大值为，
则的最大值为25．
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的方程和应用，注意运用两点的距离公式和圆的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
10．为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.
【详解】
因为，恰好为椭圆的两个焦点，
因为，
所以.
因为，得，
所以，则.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.
二、填空题
11．圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则其圆心坐标是___________，半径是___________．
【答案】（–1，–2）
【解析】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．
【详解】
圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，即（x+1）2+（y+2）2=5，∴其圆心坐标位（–1，–2），半径为，故答案为：(1).
（–1，–2）
(2).
.
【点睛】
本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
12．已知点，则以线段为直径的圆的一般方程为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由线段的中点为圆心，线段为直径算出即可
【详解】
因为点
所以圆心为：，
所以圆的标准方程为：
所以圆的一般方程为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是求圆的一般方程，较简单.
13．直线与圆交于两点，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直线经过的定点，再由圆的方程得出圆心和半径，再由几何知识得出最短弦与过该点的直径垂直，由此可求出答案．
【详解】
解：由题意，直线即过定点，
圆的标准方程为，
∴圆心为，半径为2，
∴点在圆的内部，且到圆心的距离为，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查几何法求弦长，属于基础题．
14．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________．
【答案】x－y＋2＝0
【解析】
【分析】
设直线l方程为y＝kx+b，由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称，利用得k,由C1和C2的中点在直线l上可得b，从而得到直线方程．
【详解】
由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），
∵圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y＝kx+b，
∴＝﹣1且＝k?+b，
解得k＝1，b＝2，故直线方程为x﹣y＝﹣2，
故答案为：x－y＋2＝0．
【点睛】
本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．
15．已知矩形，，，、分别为边、的中点.沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，的中点的轨迹长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】
判断出沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，点的轨迹.根据三角形的中位线，确定翻折过程中点的轨迹，由此计算出的轨迹长度.
【详解】
设与相交于，由于在矩形中，分别是的中点，且，所以四边形是正方形.
沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，不变，故点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆.设是的中点，由于是的中点，所以是三角形的中位线，所以,.由于在翻折过程中，两点的位置不变，所以点的位置不变，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆.所以的轨迹长度为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查空间中的点的轨迹问题，考查空间想象能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题
16．已知线段的端点的坐标为，端点在圆：上运动.求线段的中点的轨迹.
【答案】以点为圆心，1为半径的圆.
【解析】
【分析】
先设，，由中点公式得，由，
代入运算可得，再化简即可得解.
【详解】
解：设，，则由中点公式得
，解得.
因为点在圆上，
则，
所以，
即.
所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆.
【点睛】
本题考查了曲线与方程，重点考查了运算能力，属基础题.
17．已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的外接圆的方程．
【答案】（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0
【解析】
【分析】
（1）根据高与底边所在直线垂直确定斜率，再由其经过点，从而由点斜式得到高所在直线方程，再写成一般式.
（2）设出的外接圆的一般方程，将三个顶点坐标代入得到关于的方程组，从而求出外接圆的方程.
【详解】
（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为-2，则AB边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0
【点睛】
主要考查了直线方程与圆的方程的求解，属于基础题.
18．已知圆过三点，直线.
（Ⅰ）求圆的方程
（Ⅱ）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据圆的一般方程，解方程组，可得结果.
（Ⅱ）利用圆的弦长公式，可得结果.
【详解】
（Ⅰ）设圆的方程为：
所以
故
圆的方程.
（Ⅱ）过圆心作，
则可得
解得或.
故所求直线方程
为或.
【点睛】
本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.
19．已知点在圆上运动，，点线段的中点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值，最小值为
【解析】
【分析】
（1）利用中点公式可得,则,代入圆中求解即可；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心,半径等于1的圆,转化问题为圆心到直线的距离加减半径,先求得圆心到直线的距离,进而求解即可.
【详解】
（1）根据线段中点坐标公式得,解得,
∵点,即在圆上运动,
∴坐标代入,得,化简得,
即点的轨迹方程为
（2）由（1）,∵点的轨迹是以为圆心,半径等于1的圆,
∴圆心到直线的距离,
则点到直线的距离的最大值为,最小值为.
【点睛】
本题考查相关点法求轨迹方程,考查圆上一点到圆外一直线的距离的最值问题,考查转化思想.
20．已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）当时，求曲线的方程；
（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由题意设
，
，再表示出得出
.然后求得结果.
(2)
由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再代入面积公式表示出
再利用函数的单调性求得范围.
【详解】
（1）设
，则，
因为，则
所以，
整理得
.
所以，当时，曲线的方程为
.
（2）设.
由题意知，
直线的方程为：，直线的方程为：.
由（Ⅰ）知，曲线的方程为
，
联立
，消去，得，得
联立，消去，得，得
设
则在上递增
又，
的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题.
试卷第1页，总3页
