人教版A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为
A．或5
B．或5
C．
D．
【答案】C
【解析】
【详解】
设等比数列的公比为q,
∵9S3=S6,
∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6,
∴8=q3,即q=2,
∴an=2n-1,
∴=,
∴数列是首项为1,公比为的等比数列,
故数列的前5项和为=.
故选C.
2．已知数列中，，，则等于(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
变形为，利用累加法和裂项求和计算得到答案.
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用.
3．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案．
【详解】
设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，
所以，解得，
由，，解得,故选B．
【点睛】
本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力．
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
【答案】B
【解析】
【详解】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故选B．
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：
A．281盏
B．9盏
C．6盏
D．3盏
【答案】D
【解析】
【分析】
设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．
【详解】
设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，
所以，解得，
即塔的顶层共有3盏灯，故选D．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
6．已知等差数列满足，，是数列的前n项和，则使得的n的最小值为（
）
A．33
B．32
C．31
D．30
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到，根据,可得即得到答案.
【详解】
，,则,所以,,可得,，,所以的的最小值为.
故选:.
【点睛】
本题考查了数列和的最小值，考查了等差数列的性质,确定数列通项的正负分界点是解题的关键,难度一般.
7．设等比数列的前项和为，若，，则（
）
A．31
B．32
C．63
D．64
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列前项和的性质，得到，，成等比数列，进而可求出结果.
【详解】
因为为等比数列的前项和，
所以，，成等比数列，
所以，
即，解得.
故选C
【点睛】
本题主要考查等比数列前项和的计算，熟记前项和的性质即可，属于常考题型.
8．已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设等差数列的公差为，
解得
故选
点睛：设等差数列的公差为，由已知条件及等差数列通项公式得到，解得和的值，可得，再利用裂项求和的方法即可得出答案．
9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯
A．81盏
B．112盏
C．162盏
D．243盏
【答案】D
【解析】
【分析】
从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得．
【详解】
从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为363，则，，∴．
故选D．
【点睛】
本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．
10．已知等比数列的前项和为，，，则（
）
A．31
B．15
C．8
D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，由此求得，进而求得.
【详解】
由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
二、填空题
11．在正项等比数列中，，.
则满足的最大正整数的值为
【答案】12
【解析】
【详解】
解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，
由题意可得，解之可得：a1，q＝2，
故其通项公式为an2n﹣6．
记Tn＝a1+a2+…+an，
Sn＝a1a2…an＝2﹣5×2﹣4…×2n﹣6＝2﹣5﹣4+…+n﹣6．
由题意可得Tn＞Sn，即，
化简得：2n﹣1，即2n1，
因此只须n，（n＞1），即n2﹣13n+10＜0，
解得n，
由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．
故答案为12
【考点定位】
等比数列的性质，考查分析转化能力、计算能力.较难题.
12．数列的通项公式，其前项和，则________．
【答案】99.
【解析】
【分析】
化简数列的通项公式，利用裂项法求和，即可求解．
【详解】
由题意，可得，
∴，
解得.
【点睛】
本题考查了数列的求和及应用，其中解答中化简数列通项公式为，利用裂项法求和是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
13．已知数列，则其前项的和等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知此数列为，将代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和.
【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公比的等差数列的前n项和，
由公式可得：，所以数列通项：，
求和得：.
【点睛】
本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.
14．已知是首项为1，公比为2的等比数列，数列满足，且（），若，则的值为____．
【答案】10
【解析】
【分析】
先求出的表达式，进而得到，带入，解方程即可.
【详解】
∵是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，
又，且
（），
∴时，
即
由，可知：时
，即
∴
故答案为10
【点睛】
等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．
③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．
④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
15．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．
【答案】6
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2?a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化简即可得出．
【详解】
数列为正项的递增等比数列，，a2?a4=81=a1a5，
即解得，则公比，∴，
则
，
∴，即，得，此时正整数的最大值为6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知数列的前项和为，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用和的关系计算得到答案.
【详解】
当时，
满足通项公式
故答案为
【点睛】
本题考查了和的关系，忽略的情况是容易发生的错误.
三、解答题
17．已知首项相等的两个数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求的前n项和；
（3）在（2）的条件下，数列是否存在不同的三项构成等比数列？如果存在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)
等式两边同时除以,化简即可得到,即证明出所求;
(2)由(1)可知,因为,则,利用错位相减即可求得的前n项和;
(3)由(2)的结论可知可知是递增数列,假设数列存在不同的三项构成等比数列设为只需证明即可,但是化简后得,即为偶数(偶数+奇数),其结果不能为零,即可证得不存在.
【详解】
（1）∵，∴，∴，
∴，是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，∴，
①
②
①-②，得
所以，，
（3）不存在.因为，所以是递增数列.
设正整数满足，则，
而是偶数，
所以，是奇数，所以，，所以，.
即，中任意三个不同的项不能构成等比数列.
【点睛】
本题考查了用定义证明等差数列的方法,考查错位相减法求和,考查等比中项的应用,考查学生分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.
18．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；
（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，可得，所以，
又由，所以，
所以数列的通项公式为．
（2）由题意知，
则数列的前项和为
．
【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19．在正项等比数列{}中，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件且可解得公比,再代入通项公式即可得到;
(2)利用错位相减法可求得.
【详解】
设正项等比数列{an}的公比为(,
（1）∵∴,所以
∴q＝2，(舍去)
所以；
（2）∵，
∴，①
，②
①﹣②得＝，
∴.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.
20．已知等比数列是递增数列，它的首项，且是与的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前n和为，若对任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)设公比为q,由题意得,,由于是递增数列,利用通项公式代入即可求得,则可求得;
(2)
已知条件化简可得,利用裂项求和即可求得进而可求得恒成立时的的取值范围.
【详解】
（1）设等比数列的公比为q，由题意得，，即，
即，所以，（舍去）或.所以，.
（2），
显然，是递增数列,且.因为对任意的恒成立,所以,.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式,考查了裂项求和,难度较易.人教版A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为
A．或5
B．或5
C．
D．
2．已知数列中，，，则等于(
)
A．
B．
C．
D．
3．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：
A．281盏
B．9盏
C．6盏
D．3盏
6．已知等差数列满足，，是数列的前n项和，则使得的n的最小值为（
）
A．33
B．32
C．31
D．30
7．设等比数列的前项和为，若，，则（
）
A．31
B．32
C．63
D．64
8．已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为（）
A．
B．
C．
D．
9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯
A．81盏
B．112盏
C．162盏
D．243盏
10．已知等比数列的前项和为，，，则（
）
A．31
B．15
C．8
D．7
二、填空题
11．在正项等比数列中，，.
则满足的最大正整数的值为
12．数列的通项公式，其前项和，则________．
13．已知数列，则其前项的和等于______．
14．已知是首项为1，公比为2的等比数列，数列满足，且（），若，则的值为____．
15．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．
16．已知数列的前项和为，若，则______.
三、解答题
17．已知首项相等的两个数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求的前n项和；
（3）在（2）的条件下，数列是否存在不同的三项构成等比数列？如果存在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.
18．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．在正项等比数列{}中，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．
20．已知等比数列是递增数列，它的首项，且是与的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前n和为，若对任意，都有，求的取值范围.
