人教版A版高中数学必修五3.1不等关系与不等式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，为真命题的是
(
)
A．若ac>bc，则a>b
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，则<
D．若ac2>bc2，则a>b
2．若，则下列不等式不能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若，则下列结论中不恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．设M＝2a（a﹣2）+7，N＝（a﹣2）（a﹣3），则有（ ）
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N
5．若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．“”的一个充分条件是（
）
A．或
B．且
C．且
D．或
7．若，则下列不等式中不正确的是（）.
A．
B．
C．
D．
8．已知，且，则下列不等式中恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知实数满足，，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
10．若，是两个实数，且，有如下三个式子：①
，②，③
.其中恒成立的有（）.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
11．若a<0，－112．用不等号连结：若，则______．
13．“”是“且”的______条件．
14．若关于的不等式
(的解集为，则________.
15．设，且，，则的最小值为___________.
三、解答题
16．若实数x，y，z满足y＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4.试确定x，y，z的大小关系.
设x与的大小.
已知函数，，设，，，且为偶函数，判断能否大于零？
19．整改校园内一块长为15
m，宽为11
m的长方形草地(如图A)，将长减少1
m，宽增加1
m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x
m，宽增加x
m(x>0)，试研究以下问题：
x取什么值时，草地面积减少？
x取什么值时，草地面积增加？
20．（1）比较与的大小；
（2）已知，，求证：，当且仅当时等号成立.人教版A版高中数学必修五3.1不等关系与不等式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，为真命题的是
(
)
A．若ac>bc，则a>b
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，则<
D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】D
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一判断真假.
【详解】
当c<0时，若ac>bc，则a当0>a>b，0>c>d时，ac若a>b>0或0>a>b，则，但当a>0>b时，，故C为假命题；
若ac2>bc2，则，则a>b，故D为真命题．
故答案为：D.
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
2．若，则下列不等式不能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可.
【详解】
选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等关系和不等式，属于基础题.
3．若，则下列结论中不恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由不等式的基本性质可知A、B是正确的；选项C是重要不等式，由于，所以等号不成立，因此C正确；D选项中恒成立，答案选D.
考点：不等式的性质
4．设M＝2a（a﹣2）+7，N＝（a﹣2）（a﹣3），则有（ ）
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N
【答案】A
【解析】
【分析】
利用差比较法，比较出的大小关系
【详解】
M﹣N＝（2a2﹣4a+7）﹣（a2﹣5a+6）
＝a2+a+1＝（a+）2+＞0，∴M＞N．
故选：A
【点睛】
本小题主要考查差比较法比较大小，属于基础题.
5．若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，
，选项D错误，
因为选项C正确，故选C．
【考点】
指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
6．“”的一个充分条件是（
）
A．或
B．且
C．且
D．或
【答案】C
【解析】
对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C.
7．若，则下列不等式中不正确的是（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断.
【详解】
由，得，，，故D不正确，C正确；，，，故A正确；，，，取等号时，故B正确，故选D.
【点睛】
本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号的条件一定要记得添加.
8．已知，且，则下列不等式中恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
主要利用排除法求出结果．
【详解】
对于选项A：
当时，不成立；
对于选项B：当时，，所以不成立；
对于选项D：当时，不成立；
故选C．
【点睛】
本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9．已知实数满足，，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把给出的已知条件，右侧配方后可得，再把给出的两个等式联立消去后，得到，利用基本不等式可得，从而得到结果.
【详解】
因为所以，
，即，所以，
∴，∴
即，
故答案选A．
【点睛】
该题考查的是有关比较大小的问题，涉及到的知识点有利用作差比较法确定式子的大小的问题，属于简单题目.
10．若，是两个实数，且，有如下三个式子：①
，②，③
.其中恒成立的有（）.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用作差法以及举例的方法证明每个不等式是否恒成立.
【详解】
①
不恒成立；
②恒成立；
③当时，，所以不恒成立.故选B.
【点睛】
本题考查不等式的证明，难度一般.利用作差法证明不等式时，可通过因式分解的方式然后判断与的大小关系得出结果.
二、填空题
11．若a<0，－1【答案】
【解析】
【分析】
根据基本不等式的性质即可判断．
【详解】
∵a＜0，-1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，0＜b2＜1，∴ab2＞a，∴ab＞ab2＞a.
故答案为.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
12．用不等号连结：若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质在题设不等式的不等号两边同乘以可得两者之间的大小关系．
【详解】
因为，所以即．
故填．
【点睛】
本题考查不等式的性质，它是代数式等价变形的依据，常见的性质有：
（1）已知，若，则；若，则；
（2）若，则（）；
因此不等式同时除以一个符号不定的代数式，要注意讨论该代数式的符号．
13．“”是“且”的______条件．
【答案】必要非充分
【解析】
【分析】
根据不等式的性质可知若“且”，则必有“”成立，通过反例可以说明前者的逆命题不成立.
【详解】
若“且”，则，故“”成立；
若，
则，但，
所以“”是“且”成立的必要不充分条件.
故填必要非充分.
【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.
14．若关于的不等式
(的解集为，则________.
【答案】
【解析】
关于的不等式的解集为，，，，故答案为.
15．设，且，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据柯西不等式即可求解.
【详解】
因为，即，
所以，
即，当且仅当时等号成立.
故的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.
三、解答题
16．若实数x，y，z满足y＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4.试确定x，y，z的大小关系.
【答案】y≥z＞x
【解析】
【分析】
利用作差法即可比较大小．
【详解】
因为y－z＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，所以y≥z.
又y＋z＝3x2－4x＋6，y－z＝x2－4x＋4，
所以z－x＝－x＝1＋x2－x
＝2＋＞0，所以z＞x，即y≥z＞x.
【点睛】
本题考查了不等式的大小比较，作差是关键，属于基础题.
17．设x与的大小.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
两式相减
，判断的符号即可得结果.
【详解】
作差，
.
∵，
∴，，
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题.
比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.
18．已知函数，，设，，，且为偶函数，判断能否大于零？
【答案】大于零.
【解析】
【详解】
是偶函数
，，
，，则，则．又，，
，
，
能大于零．
考点：分段函数的应用；二次函数的性质；函数的奇偶性.
19．整改校园内一块长为15
m，宽为11
m的长方形草地(如图A)，将长减少1
m，宽增加1
m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x
m，宽增加x
m(x>0)，试研究以下问题：
x取什么值时，草地面积减少？
x取什么值时，草地面积增加？
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先计算原草地的面积和整改后的草地面积，即得草地面积增加了.
设减少x
m，宽增加x
m后，计算出新草地的面积，再比较和原草地面积的大小，即得x取什么值时，草地面积减少,
x取什么值时，草地面积增加.
【详解】
原草地面积S1＝11×15＝165(m2)，
整改后草地面积为：S＝14×12＝168(m2)，
∵S>S1，∴整改后草地面积增加了．
研究：长减少x
m，宽增加x
m后，草地面积为：
S2＝(11＋x)(15－x)，
∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，
∴当0当x＝4时，x2－4x＝0，∴S1＝S2.
当x>4时，x2－4x>0，∴S1>S2.
综上所述，当0当x＝4时，草地面积不变，
当x>4时，草地面积减少．
【点睛】
本题主要考查实数大小的比较，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
20．（1）比较与的大小；
（2）已知，，求证：，当且仅当时等号成立.
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
采用作差法比较大小和证明不等式.
【详解】
（1），
，
当且仅当，时，等号成立.
（2），当且仅当时取等号.又，，所以仅当时取等号.即，当且仅当时等号成立.
【点睛】
本题考查作差法在比较大小和证明不等式中的应用，难度一般.证明不等式时，注意说明取等号的条件.
