人教版A版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线被圆截的弦长为（
）
A．4
B．2
C．
D．
2．直线被圆截得的弦长为，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（
）
A．（﹣1，1）
B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．{1，﹣1}
4．若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+(y﹣1)2=2有公共点，则实数a的取值范围是（
）
A．[﹣2，2]
B．[]
C．(﹣2，2)
D．()
5．过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（
）
A．x＝1
B．y＝2
C．x＝2或y＝1
D．x＝1或y＝2
6．已知过点的直线l与圆相切，则直线l的斜率为（
）
A．1
B．
C．2
D．
7．若方程
有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．直线被圆所得的弦长为（
）
A．
B．
C．
D．
9．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．经过点且与圆相切的直线的方程是____________.
12．圆被直线截得的弦长为____．
13．过原点作圆的两条切线，切点分别为，，则线段的长为
．
14．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则="______________________."
15．已知,且满足则的取值范围为_____.
三、解答题
16．赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径所在直线为轴，桥的拱高所在直线为轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱所在的圆的方程为.求.
17．已知圆.
（1）求圆心的坐标和半径的值；
（2）若直线与圆相交于两点，求.
18．已知直线，圆.
（1）判断直线与圆的位置关系，并证明；
（2）若直线与圆相交，求出圆被直线截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线的最短距离.
19．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为，.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程.
20．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；
（3）若，
是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线被圆截的弦长为（
）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将圆的一般方程化标准方程，再求得圆心到直线的距离，然后利用弦长公式求解.
【详解】
圆的标准方程为：，
圆心到直线的距离为：，
所以被圆截的弦长为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．直线被圆截得的弦长为，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出.
【详解】
圆心为，半径为；圆心到直线的距离为，因为弦长为2，所以，解得，故选A.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.
3．已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（
）
A．（﹣1，1）
B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．{1，﹣1}
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用两点间的距离与圆的半径的关系的应用求出结果.
【详解】
由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，
所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，
即：，整理得：﹣1＜a＜1.
故选：A.
【点睛】
本题考查了根据点和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.
4．若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+(y﹣1)2=2有公共点，则实数a的取值范围是（
）
A．[﹣2，2]
B．[]
C．(﹣2，2)
D．()
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系，利用几何法，可得圆心到直线的距离不大于半径，可得结果.
【详解】
由圆的方程
可知圆心，半径为
又直线与圆有公共点，
所以可知
则
故选：A
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，熟练使用几何法判断直线与圆的关系，属基础题.
5．过点A（1，2）作圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（
）
A．x＝1
B．y＝2
C．x＝2或y＝1
D．x＝1或y＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知圆的圆心，半径为，做出图像，即可求出切线方程.
【详解】
点A（1，2）在圆外，所以切线有两条，做出圆图象，
x2+（y﹣1）2＝1的圆心，半径为，
根据点的位置关系，过点的切线方程为x＝1或y＝2.
故选:D.
【点睛】
本题考查圆外一点求圆的切线，注意点的位置用观察法求解，属于基础题.
6．已知过点的直线l与圆相切，则直线l的斜率为（
）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由点P在在圆上知P为直线l与圆的切点，AP与直线l垂直，利用垂直关系列出斜率的关系即可得解.
【详解】
圆的圆心为，因为点在圆上，
所以P为直线l与圆的切点，则AP与直线l垂直，
.
故选：D
【点睛】
本题考查根据直线与圆的位置关系求参数，属于基础题.
7．若方程
有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，曲线与直线有2个交点，数形结合求得k的范围.
【详解】
如图所示，化简曲线得到，表示以为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为，过定点，
设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，当，直线与半圆有两个交点，
AD与半圆相切时，，解得，
，所以.
故选：D
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
8．直线被圆所得的弦长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
变换得到得到圆心为，半径为，计算圆心到直线的距离，
再计算弦长得到答案.
【详解】
圆，即，圆心为，半径为.
圆心到直线的距离，故弦长为：.
故选：.
【点睛】
本题考查了圆的弦长，意在考查学生的计算能力.
9．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题要借助图形来求参数的取值范围，曲线方程可化简为（），即表示圆心为半径为的半圆，画出图形即可得出参数的范围．
【详解】
曲线方程可化简为（），
即表示圆心为半径为的半圆，如图：
由图可知，当直线与此半圆相切时须满足圆心到直线距离等于，即，解得：或，
因为是下半圆，故可知：（舍），故，
当直线过点时，解得：，
观察图象可知：.
故选：B．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
10．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
点的坐标满足方程，
在圆上，
在坐标满足方程，
在圆上，
则作出两圆的图象如图，
设两圆内公切线为与，
由图可知，
设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，
可得，，
化为，，
即，
，
的取值范围，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
二、填空题
11．经过点且与圆相切的直线的方程是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线方程为，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案.
【详解】
依题满足条件的直线斜率存在，
设直线方程为：即.
又的圆心为，半径为,
又直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
所以，解之得：
所以直线的方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题.
12．圆被直线截得的弦长为____．
【答案】2
【解析】
【分析】
把圆的极坐标方程化为普通方程，把直线极坐标方程化为普通方程，可以发现直线是轴，让代入圆的普通方程中，这样可以求出弦长.
【详解】
,直线,所以，所以有或，因此弦长为.
【点睛】
本题考查了极坐标方程化为普通方程，考查了直线与圆的位置关系.
13．过原点作圆的两条切线，切点分别为，，则线段的长为
．
【答案】
【解析】
可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得
14．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则="______________________."
【答案】
【解析】
解：过点（3，
0）且与极轴垂直的直线方程为
x=3，曲线ρ=4cosθ
即
ρ2=4ρcosθ，
即
x2+y2=4x，（x-2）2+y2=4．
把
x="3"
代入
（x-2）2+y2=4
可得
y=±，故|AB|="2"
15．已知,且满足则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将方程组有解，转化为直线和圆有交点，由圆心到直线的距离不大于半径列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
∵,∴,
∵方程组有解,∴方程组可看作直线a+b=2﹣c与a2+b2=2﹣c2有交点,
∴,解得.
故答案为:.
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查点到直线的距离公式，属于难题.
三、解答题
16．赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径所在直线为轴，桥的拱高所在直线为轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱所在的圆的方程为.求.
【答案】
【解析】
【分析】
由曲线方程可知令，得到点的纵坐标，即可得到.
【详解】
根据题意可知：
在方程中，令，
则，
解得，（舍去）.
.
【点睛】
本题主要考查的是圆的标准方程，以及两点间的距离公式，考查的是学生的计算能力和理解能力，是基础题.
17．已知圆.
（1）求圆心的坐标和半径的值；
（2）若直线与圆相交于两点，求.
【答案】（1）圆心，半径为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将圆的一般式方程化为标准方程，即可求出结论；
（2）求出圆心到直线的距离，用几何法求出相交弦长.
【详解】
（1），得，
所以圆心，半径为；
（2）圆心到直线距离为，
.
【点睛】
本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系，注意应用几何法求相交弦长，减少计算量，属于基础题.
18．已知直线，圆.
（1）判断直线与圆的位置关系，并证明；
（2）若直线与圆相交，求出圆被直线截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线的最短距离.
【答案】（1）
相交，证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离，判断其与半径的大小，可得直线与圆的位置关系；
（2）由（1）可得圆心到直线的距离，再由弦长公式可得圆被直线截得的弦长.
【详解】
解：（1）相交，证明如下；
可将圆的一般方程化为：，
可得其圆心：，半径为：3，由直线，
可得圆心到直线的距离：，
故：，可得直线与圆相交；
（2）由（1）得直线与圆相交，且圆心到直线的距离，
故弦长为：，
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，同时需用到点到直线的距离公式与弦长公式，属于基础题.
19．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为，.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由题意得就是圆的直径，然后算出圆心和半径即可
（2）设出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可
【详解】
（1）由题意得就是圆的直径
所以圆心，半径，
所以圆的方程为.
（2）显然直线不可能垂直轴，
设直线的方程为，因为直线与圆有且只有一个公共点，
所以圆心到直线的距离，
解得或.
所以直线的方程为或.
【点睛】
直线与圆的位置关系常用几何法判断，即圆心到直线的距离与半径作比较.
20．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；
（3）若，
是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线系方程，即可得到所求定点．
【详解】
（1）设点的坐标为
由可得，，
整理可得
所以曲线的轨迹方程为.
（2）依题意，，且，则点到边的距离为
即点到直线的距离，解得
所以直线的斜率为.
（3）依题意，，则都在以为直径的圆上
是直线上的动点，设
则圆的圆心为，且经过坐标原点
即圆的方程为
，
又因为在曲线上
由，可得
即直线的方程为
由且可得，解得
所以直线是过定点.
【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
试卷第1页，总3页
