人教版A版高中数学必修二4.3.1空间直角坐标系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z＝0，则动点P的轨迹是（
）
A．平面
B．直线
C．不是平面，也不是直线
D．以上都不对
2．已知点，点，，则、两点间距离的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
3．若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（
）
A．4
B．2
C．4
D．3
4．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（
）．
A．
B．
C．
D．
5．已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于（
）
A．(0,4,2)
B．(-2,0,0)
C．(0,-4,-2)
D．(2,0,-2)
6．在空间直角坐标系中，点与点关于坐标原点对称，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知点，点是空间直角坐标系中的两点，下列说法正确的是（
）
A．点M与点N关于坐标平面xoy对称
B．点M与点N关于坐标平面xoz对称
C．点M与点N关于坐标平面yoz对称
D．点M与点N不关于坐标平面对称
8．在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
10．在空间直角坐标系中,已知.若
分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．空间中，点）位于___________平面上（填“”“”或“”）
12．点P（1，1，2）关于平面的对称点坐标是：________________.
13．已知点A(-2,
3,
4),
在z轴上求一点B
,
使|AB|=7
,
则点B的坐标为________．
14．已知两点，关于坐标平面xoy对称，则________.
15．已知B与点关于点对称，则点B的坐标是______．
三、解答题
16．如图，在正方体中，，分别是，的中点，棱长为，求点，的坐标．
17．如图，在长方体中，，，，写出点，，，的坐标．
18．已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为，侧棱长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
19．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上.
（1）当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度；
（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值.
20．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出点D、N、M的坐标；
(2)求线段MD、MN的长度．
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二4.3.1空间直角坐标系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z＝0，则动点P的轨迹是（
）
A．平面
B．直线
C．不是平面，也不是直线
D．以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：如图，
在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z=0，则动点P的轨迹是坐标平面xOy面．
考点：轨迹方程
2．已知点，点，，则、两点间距离的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由空间两点的距离公式列式，由二次函数的性质求最值即可.
【详解】
，
∴．故选C．
【点睛】
本题主要考查了空间两点距离公式的计算，属于基础题.
3．若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（
）
A．4
B．2
C．4
D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：，所以线段AB的长为
考点：空间两点间距离
4．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【详解】
关于轴对称后．
故选：A.
5．已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于（
）
A．(0,4,2)
B．(-2,0,0)
C．(0,-4,-2)
D．(2,0,-2)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中点与点的对称性，容易求得两点的坐标，即可得向量.
【详解】
因为A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，故；
又点B关于x轴的对称点为C，故，
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查空间中点关于面的对称点的求解，属基础题.
6．在空间直角坐标系中，点与点关于坐标原点对称，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对称得到，计算得到答案.
【详解】
点与点关于坐标原点对称，则，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了空间直角坐标系中的对称问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
7．已知点，点是空间直角坐标系中的两点，下列说法正确的是（
）
A．点M与点N关于坐标平面xoy对称
B．点M与点N关于坐标平面xoz对称
C．点M与点N关于坐标平面yoz对称
D．点M与点N不关于坐标平面对称
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点关于平面的对称性质判断得到答案.
【详解】
A.
点M关于坐标平面xoy对称的点为，故错误；
B.
点M关于坐标平面xoz对称的点为，故正确；
C.
点M关于坐标平面yoz对称的点为，故错误；
D.
点M与点N不关于坐标平面对称，根据知错误；
故选：.
【点睛】
本题考查了点关于坐标平面对称的问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8．在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据顶点的坐标，分别向三个坐标平面正投影，找出正投影的图形形状、边长等，从而解出三个图形的面积，进而比较大小．
【详解】
解：三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；
三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；
三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；
所以得，故选C．
【点睛】
本题考查了点的正投影知识，点的正投影是将点向面作垂线，垂足便是该点正投影对应的点，这里其实是将正投影转化为我们熟悉的线面垂直问题，如何作垂直，找出垂足是解决本问题的关键．
9．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在空间坐标系里画出四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积.
【详解】
如图，在空间坐标系里画出四个点，可得,面,
因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径
所以，外接球的表面积为，故选B项.
【点睛】
本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.
10．在空间直角坐标系中,已知.若
分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
根据点在面上的投影，D,B在xoy面上投影分别为（1,1,0）
，（2,，2，0），所以投影三角形面积，在面yoz面上的投影分别为（,，），（），投影梯形面积，在面xoz面上的投影分别为，，投影梯形的面积，故，选C.
二、填空题
11．空间中，点）位于___________平面上（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】
根据坐标平面中点的坐标特征判断．
【详解】
点中纵坐标为0，其它两个坐标不为0，点在平面上．
故答案为：．
【点睛】
本题考查空间直角坐标系，考查坐标平面上点坐标的特征，属于简单题．
12．点P（1，1，2）关于平面的对称点坐标是：________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间里的点的对称关系可得对称点的坐标.
【详解】
根据空间里的点的对称关系得点P（1，1，2）关于平面的对称点坐标是：,
故答案为：.
【点睛】
本题考查空间里的点的对称关系，属于基础题.
13．已知点A(-2,
3,
4),
在z轴上求一点B
,
使|AB|=7
,
则点B的坐标为________．
【答案】或
【解析】
【分析】
设z轴上任意一点B的坐标，由空间中两点间的距离公式列出方程，即可求得坐标.
【详解】
设点B的坐标为：，由两点间距离公式可得：，
解得：或10，所以B点的坐标为：或.
【点睛】
本题考查空间中两点间的距离以及在坐标轴上点的坐标的特点，由距离公式列式即可求得结果.
14．已知两点，关于坐标平面xoy对称，则________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
与点（a，b，c）关于平面xoy对称的点的坐标为（a，b，﹣c）．
【详解】
∵两点P（3，1，a），Q（3，b，2）关于坐标平面xOy对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
则a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查代数式值的求法，考查空间直角坐标系中对称点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．已知B与点关于点对称，则点B的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.
【详解】
设B,则，所以，所以的坐标为．
【点睛】
本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题
16．如图，在正方体中，，分别是，的中点，棱长为，求点，的坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】
可通过投影的方式求解点的坐标，也可以通过中点坐标公式计算坐标.
【详解】
解法：点在面上的射影为，，竖坐标为，．
点在面上的射影为的中点，，竖坐标为，．
解法：，，，为的中点，为的中点．故点的坐标为，
点的坐标为．
【点睛】
本题考查空间中的点的坐标的计算，难度容易.中点坐标公式：已知，则中点坐标为：.
17．如图，在长方体中，，，，写出点，，，的坐标．
【答案】，，，
【解析】
【分析】
根据长度直接写出对应位置的坐标即可.
【详解】
因为，所以；
因为，所以；
因为，，所以；
因为，，，所以.
【点睛】
本题考查在空间直角坐标系中根据立体图形写出对应点的坐标，难度容易.坐标轴上和坐标平面内的点容易写出，不在轴上也不在坐标平面内的点可通过长度以及射影写出坐标.
18．已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为，侧棱长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
建立如图（1）所示的空间直角坐标系，利用勾股定理可以求出正四棱锥的高，利用坐标定义可以求出各点坐标；
建立如图（2）所示的空间直角坐标系，利用勾股定理可以求出正四棱锥的高，利用坐标定义可以求出各点的坐标.
【详解】
若建立如图（1）所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，，，，.
若建立如图（2）所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为.
【点睛】
本题考查了建立空间直角坐标系求点的坐标问题，根据坐标的定义解题是关键.
19．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上.
（1）当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度；
（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，推导出，，由此能求出．
（2）当点是面对角线中点时，点，点在面对角线上运动，设点，，则，由此能求出当时，取得最小值为，此时点．
【详解】
（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
点在线段上，点在线段上．
由题意知点，
当时，，，
．
（2）当点是面对角线中点时，点，
点在面对角线上运动，设点，，
则，
当时，取得最小值为，此时点．
【点睛】
本题考查线段长的求法，考查空间直角坐标系的性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出点D、N、M的坐标；
(2)求线段MD、MN的长度．
【答案】（1）
；（2）|MD|＝，|MN|＝
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）在直角坐标系中，D,N的坐标直接写出，M点坐标先找到在底面上投影的横纵坐标，再写出其坐标；（2）利用空间两点之间的距离公式求解.
试题解析：
(1)因为D是原点，则D(0,0,0)．
由AB＝BC＝2，D1D＝3，
得A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B1(2,2,3)、C1(0,2,3)．
∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．
同理可得M(1,2,3)．
(2)由两点间距离公式，得
|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
试卷第1页，总3页
