人教版高中数学必修五第二章数列达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等差数列中，，则公差（
）
A．1
B．
C．2
D．
2．已知各项都是正数的等比数列，为其前项和，且，，那么（
）
A．
B．
C．或
D．或
3．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（
）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
4．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（
）
A．0
B．
C．2
D．2
5．等比数列，前三项和，则公比q的值为
A．
B．
C．
D．
6．在等比数列中，已知，，则等于（
）
A．90
B．70
C．40
D．30
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:，…，该数列的特点是：前两个数均为
，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（
）
A．
B．
C．
D．
8．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则=
（
）
A．120
B．105
C．90
D．75
9．设等比数列的前项和为，且，则（
）
A．255
B．375
C．250
D．200
10．已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题
11．已知数列中，，，则___________.
12．设常数，的二项展开式中项的系数为40，记等差数列的前项和为，已知，，则
.
13．若无穷等比数列{an}满足：a2a3＝a4，a5，（n∈N
），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为_____.
14．已知为等差数列，为其前项和，若，则_______.
15．已知数列满足，若，则的值为__________．
三、解答题
16．已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.
17．已知等差数列的前n
项和为，且.
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前n
项和.
18．设数列的前项和为,已知
（Ⅰ）求,
并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
19．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，.
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值.
20．已知各项均为正数的数列{an}满足an+12﹣an+1an﹣2an2＝0（n∈N
），且是的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若bn＝，Sn＝b1+b2+…+bn，求Sn+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值．人教版A版高中数学必修五第二章数列达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等差数列中，，则公差（
）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式列方程组即可得解．
【详解】
由等差数列中，，，
，，
联立解得公差，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知各项都是正数的等比数列，为其前项和，且，，那么（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，由，求得，进而得到，再利用等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，设等比数列的公比为，其中，
因为，，可得，
两式相除，可得，
即，解得或（舍去），
把，代入，可得，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的求和公式的应用，其中解答中熟练应用等比数列的求和公式，合理利用整体代换法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（
）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列的公比为整数，得到，再由等比数列的性质得出，可求出、的值，于此得出和的值，进而可对四个选项进行验证.
【详解】
由等比数列的公比为整数，得到，
由等比数列的性质得出，解得，即，解得，
，则，数列是等比数列.
，，
所以，数列是以为公差的等差数列，A、B、C选项正确，D选项错误，
故选：D.
【点睛】
本题考查等比数列基本性质的应用，考查等比数列求和以及等比数列的定义，充分利用等比数列下标相关的性质，将项的积进行转化，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。
4．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（
）
A．0
B．
C．2
D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．
解：把椭圆得，
椭圆的参数方程为：（θ为参数），
∴x+y=2cosθ+sinθ，
∴（x+y）max==．
∴Mn==2．
故选D．
考点：数列的极限；椭圆的简单性质．
5．等比数列，前三项和，则公比q的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题设条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式及定积分知识列出方程组，能求出公比q．：∵等比数列的前n项和为，
或，故选C．
考点：等比数列的前n项和；定积分．
6．在等比数列中，已知，，则等于（
）
A．90
B．70
C．40
D．30
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的前和公式求出，再利用与的关系，即可求出答案.
【详解】
∵，∴.由
得，∴，
∴.∴，
∴.
故选:C
【点睛】
本题考查等比数列的前和公式，合理应用公式是解题的关键，属于基础题.
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:，…，该数列的特点是：前两个数均为
，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
,则：
.
本题选择A选项.
8．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则=
（
）
A．120
B．105
C．90
D．75
【答案】B
【解析】试题分析：
考点：等差数列通项公式与性质
9．设等比数列的前项和为，且，则（
）
A．255
B．375
C．250
D．200
【答案】A
【解析】
【分析】
由等比数列的性质，仍是等比数列，先由是等比数列求出，再由是等比数列，可得.
【详解】
由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.
故选：A
【点睛】
本题考查等比数列前n项和的性质，这道题也可以先由求出数列的首项和公比q，再由前n项和公式直接得。
10．已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列的首项为，公差为，由及列方程组即可求解。
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，由及得：
，解得：
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题。
二、填空题
11．已知数列中，，，则___________.
【答案】-9
【解析】
【分析】
当为奇数时，，当为偶数时，，利用叠加法即得解.
【详解】
当为奇数时，，
当为偶数时，，
故
故答案为:-9
【点睛】
本题考查了利用叠加法求通项公式，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
12．设常数，的二项展开式中项的系数为40，记等差数列的前项和为，已知，，则
.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，的二项展开式的通项为，令，故展开式中项的系数为，又，所以，又因为，，所以，解得，所以．
考点：二项式定理的通项及等差数列的通项的应用．
13．若无穷等比数列{an}满足：a2a3＝a4，a5，（n∈N
），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为_____.
【答案】.
【解析】
【分析】
先求解等比数列的通项公式，然后再求和.
【详解】
设等比数列的公比为，则；
解得，所以；
，
所以的所有项的和为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查等比数列所有项的求和问题，明确无穷等比数列的求和方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
14．已知为等差数列，为其前项和，若，则_______.
【答案】18
【解析】
∵为等差数列，为其前项和，若，
故选：A．
即答案为18.
15．已知数列满足，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先通过列举得到数列是以3为周期的数列，即得的值.
【详解】
根据题意可得：；；；；．
∴数列是以为周期的数列，∴．
【点睛】
本题主要考查数列的周期性，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.
三、解答题
16．已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，根据是的等差中项，得到的值，从而得到的通项公式；
（2）由（1）可知，利用等比数列的求和，得到，由恒成立，得到的取值范围.
【详解】
（1）因为数列是公差为的等差数列，
所以，故，所以；
所以数列是公比为3的等比数列，
因为是的等差中项，所以，
所以，
解得；
数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，
故数列是以1为首项，为公比的等比数列，
，
因为恒成立，
所以，
即实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查等差中项的应用，求等比数列的通项，等比数列求和，属于简单题.
17．已知等差数列的前n
项和为，且.
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前n
项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据等差数列的性质和前项和公式求出的值，进而可得公差，利用等差数列通项公式可得通项；（2）由题意得数列是等比数列，利用等比数列前项和公式可得结果.
试题解析：（1）∵，∴.
设公差为，
∴，∴.
∴.
（2）由（1），得.
∴.
考点：1、等差数列的性质及前项和公式；2、等比数列前项和公式.
18．设数列的前项和为,已知
（Ⅰ）求,
并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
试题分析：本题主要考查由求、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，由求，利用，分两部分求和，经判断得数列为等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用错位相减法，结合等比数列的前n项和公式，计算化简．
试题解析：（Ⅰ）时
所以时，
是首项为、公比为的等比数列，，．
（Ⅱ）
错位相减得:
．
考点：求、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法．
19．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，.
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值.
【答案】（1）点的坐标为或（2）当时，最大，其最大值为
【解析】
【分析】
（1）设,根据题意可知,根据可知.进而由正切的差角公式表示出.即可解关于的方程,求得点的坐标.
（2）表示出点的坐标及,即可表示出.结合基本不等式,即可求得的最大值.进而由正切函数的单调性求得的最大值及相应的值.
【详解】
（1）设,根据题意,
由,知
而
所以,解得或
故点的坐标为或
（2）由题意,点的坐标为,
.
因为,所以
当且仅当,即时等号成立
易知,在上为增函数
因此,当时,最大,其最大值为
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的应用,正切函数差角公式的用法及基本不等式的综合应用,属于中档题.
20．已知各项均为正数的数列{an}满足an+12﹣an+1an﹣2an2＝0（n∈N
），且是的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若bn＝，Sn＝b1+b2+…+bn，求Sn+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
【答案】（1）；（2）5
【解析】
【分析】
（1）数列{an}满足an+12﹣an+1an﹣2an2＝0，把这个式子分解为两个因式乘积的形式，（an+1+an）（an+1﹣2an）＝0，注意数列是一个正项数列，得到an+1﹣2an＝0，得到数列是一个等比数列，写出通项．
（2）本题构造了一个新数列，要求新数列的和，用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察Sn+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
【详解】
（1）∵an+12﹣an+1an﹣2an2＝0，∴（an+1+an）（an+1﹣2an）＝0，∵数列{an}的各项均为正数，
∴an+1+an＞0，∴an+1﹣2an＝0，即an+1＝2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4＝2a3+4，∴2a1+8a1＝8a1+4，∴a1＝2，
∴数列{an}的通项公式an＝2n．
（2）由（1）及bn＝
，得，bn＝﹣n?2n，∵Sn＝b1+b2++bn，
∴Sn＝﹣2﹣2?22﹣3?23﹣4?24﹣﹣n?2n①
∴2Sn＝﹣22﹣2?23﹣3?24﹣4?25﹣﹣（n﹣1）?2n﹣n?2n+1②
①﹣②得，Sn＝2+22+23+24+25++2n﹣n?2n+1＝，
要使Sn+n?2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，
∴使Sn+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
【点睛】
本题考查了求数列的通项公式，错位相减法求数列的和，也考查了数列能成立时n的最小值，属于中档题.
