人教版A版高中数学必修五第一章解三角形达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，（ ）
A．
B．
C．或
D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
在三角形中，根据正弦定理可知，，所以
，再根据正弦定理即可求出c.
【详解】
在三角形中，由正弦定理知，，所以由内角和定理知，由正弦定理知，
，故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角形中正弦定理的应用，属于中档题.
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理及同角基本关系式即可得出．
【详解】
∵，∴．
∴cosB，
∴sinB，B∈（0，π）．
∴B或．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角函数求值、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．在△ABC中，已知cos
Acos
B＞sin
Asin
B，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】C
【解析】
由cos
Acos
B＞sin
Asin
B，得cos
A·cos
B－sin
Asin
B＝cos
(A＋B)＞0，所以A＋B＜90°，所以C＞90°，C为钝角．故选C.
4．在中，角所对的边分边为，已知，则此三角形的解的情况是（
）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】C
【解析】
由三角形正弦定理可知无解，所以三角形无解，选C.
5．在中，若，，，则AC边上的高为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边长，利用余弦定理求出的值，进而可得的值，利用三角形的面积公式求出的面积，设出边上的高，利用三角形的面积公式，列出关于的方程，求出方程的解即可得到边上的高．
【详解】
由题意可知，,.又
.
故选B.
【点睛】
本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解答本题的关键是求出的值，利用三角形的面积公式列出关于的方程．要求学生熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式．
6．在锐角三角形ABC中，和的大小关系是
（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据为锐角三角形，可推出，从而正弦函数的单调性，即可得解.
【详解】
在锐角三角形,，所以，所以
.
故选C.
【点睛】
此题考查了正弦定理，诱导公式，以及三角函数的单调性，根据题意得出是解题的关键．
7．在中，，，是的中点，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设
，则
选B.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
8．△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝3，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是
( )
A．①②
B．①④
C．①②③
D．③④
【答案】A
【解析】
中，，，，可得，
故满足条件的角有个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确
，，，可得，
故满足条件的角有个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确
，，，可得，，则，三角形有唯一的解，故错误
，，，可得，，则不存在，三角形无解，故错误
故选
9．已知平面上有四点O，A，B，C，向量满足：
，则△ABC的周长是( )
A．3
B．9
C．3
D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
由
可得是正三角形，先利用平面向量数量积公式求出外接圆半径，再由正弦定理可得正三角形边长，从而可得结果.
【详解】
平面上有四点，
满足，
是的重心，
，
，
即，同理可得：，
即是垂心，故是正三角形，
，
设外接圆半径为，则，
即，即，
即，故周长，故选A.
【点睛】
本题主要考查向量垂直及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，
在
上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量
的模（平方后需求）.
10．在△ABC
中，，则△ABC一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理将边化为正弦，将式子变式，结合两角和差公式、和差化积公式等即可求出
与的关系，进而得出结论.
【详解】
由正弦定理变式：，
化简可得，
由和差化积公式：，
移项因式分解可得：，
由于括号内式子不等于0，所以：，所以，即三角形为等腰三角形.
故选A.
【点睛】
本题考查正弦定理、两角和差公式以及和差化积公式，要熟练掌握公式，注意结合三角形的性质对结论进行判断与取舍..
二、填空题
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则
【答案】
【解析】
本小题主要考查三角形中正弦定理的应用．依题由正弦定理得：,即,∴
12．在△ABC中，已知
则△ABC的形状为_______.
【答案】等边三角形
【解析】
由及正弦定理得，
又，即
，
∴，即，
∴，∴．
∴，∴．
∴．故△ABC为等边三角形．所以答案为：等边三角形．
13．中，，，，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
∵在中，，，，
∴由余弦定理得：，
即，
解得，（舍去），
∴的面积．
故答案为.
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说
,当条件中同时出现
及
、
时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
14．在中的内角、、所对的边、、，，，，则__________．
【答案】
1
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得，结合余弦定理即可求解.
【详解】
，由正、余弦定理得
.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，解答本题的关键是将角化边.
15．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、.C的对边，则＝________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由关于的余弦定理可得a、b、c的关系，等式两侧同时加上、后，经化简即可得出结果.
【详解】
由余弦定理：，
化简得：，
两边同时加项：，
化简可得：.
【点睛】
本题考查余弦定理以及式子的化简与计算，难点在于构造问题所需的形式，可以将式子通分后与余弦定理化简后的形式做对比，得出要构造的形式.
三、解答题
16．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求b,c的值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出，再利用正弦定理可得结果；
(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.
【详解】
(1)∵,且，
∴，
由正弦定理得，
∴；
(2)∵，
∴，
∴，
由余弦定理得，
∴.
【点睛】
本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.
17．某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C,D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
【答案】这人还要再走15千米可到达城A
【解析】
【分析】
设，先利用余弦定理求出，，则，可求，在中，由正弦定理求得，答案可得.
【详解】
如图所示，设.
在中，由余弦定理的推论得，
∴.
∴.
在中，由正弦定理得，
∴(千米).
∴这人还要再走15千米可到达城A.
【点睛】
本题主要考查了解三角新的实际应用.解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案.
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2·cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos
A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求在方向上的投影.
【答案】（1）－（2）
【解析】
(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，
∴cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.
(2)由cosA＝－，0
由正弦定理，有，所以，sinB＝.
由题知a>b，则A>B，故B＝，
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影为||cosB＝.
19．已知在中，，点是边的中点，点在边上，且,,.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，在中，，然后在中，由正弦定理可得，根据三角函数的恒等变换可得的值；
（2）由（1）知，中，根据余弦定理求的值.
【详解】
（1）如图所示，因为点是边的中点，且，所以.
在中，,
所以.
在中，由正弦定理可得，而，
所以，
即，
所以，故.
（2）由（1）知，.
在中，由余弦定理得，
所以，
解得（舍去）.
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想，两个定理和平面图形几何性质的灵活应用，属于中档题型.
20．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．
【答案】北偏西45°方向
【解析】
【分析】
先求出AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10，再求得∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.再利用余弦定理求出cos∠BAC＝，即得∠BAC＝30°.再求出台风移动的方向．
【详解】
如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意知AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10.
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝.所以∠BAC＝30°.
又因为B位于A南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向．
又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45°方向．
【点睛】
（1）本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理在解三角形的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本题时要注意因为B位于A南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向．人教版A版高中数学必修五第一章解三角形达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，（ ）
A．
B．
C．或
D．以上都不对
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
3．在△ABC中，已知cos
Acos
B＞sin
Asin
B，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．在中，角所对的边分边为，已知，则此三角形的解的情况是（
）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
5．在中，若，，，则AC边上的高为
（
）
A．
B．
C．
D．
6．在锐角三角形ABC中，和的大小关系是
（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
7．在中，，，是的中点，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
8．△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝3，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是
( )
A．①②
B．①④
C．①②③
D．③④
9．已知平面上有四点O，A，B，C，向量满足：
，则△ABC的周长是( )
A．3
B．9
C．3
D．6
10．在△ABC
中，，则△ABC一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
二、填空题
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则
12．在△ABC中，已知
则△ABC的形状为_______.
13．中，，，，则的面积为__________．
14．在中的内角、、所对的边、、，，，，则__________．
15．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、.C的对边，则＝________．
三、解答题
16．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求b,c的值.
17．某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C,D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2·cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos
A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求在方向上的投影.
19．已知在中，，点是边的中点，点在边上，且,,.
（1）求；
（2）求.
20．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．