人教版A版高中数学必修五第三章不等式达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用待定系数法，令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），求出满足条件的x，y，利用不等式的基本性质，可得4a﹣2b的取值范围.
【详解】
令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），即，解得：x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3（a﹣b）+（a+b）.
∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6，∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10
故选B．
【点睛】
本题考查了利用不等式的性质求取值范围，其中令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键，属于基础题．
2．设满足约束条件，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意，可作出约束条件的可行域，如图所示，在可行域内，当时，取得最小值；不妨设的最大值为，则有或，即或，结合图形，当直线过点时，取得最大值为，所以的取值范围为.故正确答案为A.
3．设，若恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由于，则=
当2m=1-2m即m=时取等号；
所以恒成立，转化为的最小值大于等于，即
故选D
4．已知命题，命题，，则成立是成立的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
求解不等式可得，
对于命题，当时，命题明显成立；
当时，有：，解得：，
即命题为真时，
故成立是成立的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．设，若是的等比中项，则的最小值为（
）
A．8
B．
C．1
D．4
【答案】D
【解析】
∵是的等比中项，∴3=3a?3b=3a+b，∴a+b=1．
a＞0，b＞0．
∴==2．当且仅当a=b=时取等号．
故选D．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
6．已知为等比数列,,,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可得的值，进而由和可得解.
【详解】
或.
由等比数列性质可知
或
故选D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
7．设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，
（,）.若的最大值为40，则的最小值为
A．
B．
C．1
D．4
【答案】B
【解析】
，∴设z=ax+by，则z的最大值为40．
作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=ax+by，得，由图象可知当直线，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，
即A（8，10），代入z=ax+by，得40=8a+10b，即，
，
当且仅当，即4a2=25b2，2a=5b时取等号，∴5a+1b的最小值为，
本题选择B选项.
8．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分，两种情况，当，对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.
【详解】
当时，原不等式可化为，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，
解得，
综上.故选B.
【点睛】
本题主要考查了分类讨论思想，二次不等式恒成立的条件，属于中档题.
9．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.
10．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x,y满足+x+y=，设△ABC、
△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S、S、S，记,,,
则·取最大值时，3x+y的值为(
)
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
由条件可知，，那么
，等号成立的条件为
，说明点P在线段EF的中点处，此时，
，所有x=y=，3x+y=2，故选D.
二、填空题
11．若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
，当且仅当时等号成立.
【考点】
基本不等式.
12．已知a>0，b>0，且a≠b，比较与a＋b的大小．
【答案】>a＋b.
【解析】
【详解】
试题分析：作差法比较大小，，a>0，b>0，且a≠b，所以,
>a＋b.
考点：利用不等式比较大小
13．若直线（都是正实数）与圆相交于两点，当（是坐标原点）的面积最大时，的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：
由的面积为可得，为直角三角形，,则点到直线的距离为，即，那么只有当且仅当时，取最大值.
14．若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是
______.
【答案】8
【解析】
由题意可得：
当且仅当时等号成立。
要使恒成立,则16?m2?6m，解得?2?m?8，
则实数m的最大值是8.
故答案为：8.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
15．若函数，若对任意不同的实数??，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
将恒成立问题转化为最值问题，可得“最小值的两倍要大于它的最大值”，结合基本不等式，可得结果.
【详解】
对任何的，恒成立，
即最小值的两倍要大于它的最大值，则
，
当，即时，，
由基本不等式得，
根据上面的分析，则有，
解得，即；
当，即时，，
由基本不等式得，
根据上面的分析，则有，
解得，即.
综上所述.
故答案为：
【点睛】
本题重在于考查使用基本不等式求函数的最值，考验对问题的分析能力与理解能力，同时掌握等价转换的思想，化繁为简，属难题.
三、解答题
16．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；
（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．
【详解】
（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+3x＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得
x＞3或x＜﹣1．
故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．
（2）
由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组：或
．即
a≤x≤，或x≤﹣，
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题意可得﹣＝﹣1，故a＝2
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解，属于基础题．
17．已知
，
，
.
（1）求
的最小值；
（2）求
的最小值.
【答案】(1)
64
,(2)
x+y的最小值为18.
【解析】
试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；
（2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
试题解析：(1)由
，得
,又
，
，故,
故，当且仅当即时等号成立，∴
(2)由2,得,则
.当且仅当即时等号成立.∴
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．
18．设．
1若对任意恒成立，求实数m的取值范围；
2讨论关于x的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
1由题意可得对恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围；
2讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集．
【详解】
1由题意，若对任意恒成立，
即为对恒成立，
即有的最小值，由，可得时，取得最小值2，
可得；
2当，即时，的解集为R；
当，即或时，方程的两根为，，
可得的解集为．
【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及一元二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
19．已知不等式的解集为.
（1）若，求集合；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）把不等式化为，分类讨论，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，不等式，即，
即，解得，所以集合.
（2）由，可得，
当时，不等式的解集为.
由集合是集合的真子集可得，所以，
当时，不等式的解集为满足题意；
当时，不等式的解集为，
由集合是集合的真子集，可得，所以，
综上可得：，即实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的求解及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合集合的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
20．定义在R上的函数f（x）=ax2+x．
（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）]成立；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=，点p（m，n2）（m∈Z，n∈Z）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．
【答案】（Ⅰ）详见解析（II）-≤a≤-（Ⅲ）m=n=0或者m=-4，n=0
【解析】
【分析】
（Ⅰ）作差比较；
（Ⅱ）分离变量后再将恒成立转化为最值；
（Ⅲ）根据两个整数的和与积都为偶数，得这两个整数均为偶数．
【详解】
解：（Ⅰ）证明：∵[f（x1）+f（x2）]-f（）
=（ax12+x1+ax22+x2）-a（）2-
=，
∵a＞0，∴[f（x1）+f（x2）]-f（）≥0，
∴[f（x1）+f（x2）]≥f（）．
（Ⅱ）当x=0时，|f（x）|≤1显然成立，此时a∈R；
当x∈（0，2]时，|f（x）|≤1?-1≤ax2+x≤1?≤a≤
?-（）2-≤a≤（）2-恒成立，
∵x∈（0，2]，∴-（）2-有最大值-，（）2-有最小值-，
∴-≤a≤-．
（Ⅲ）∵a=，∴f（x）=x2+x，
∵P（m，n2）在函数f（x）的图象上，∴m2+m=n2，
变形得（m+2）2-4n2=4，
∴（m+2-2n）（m+2+2n）=4，且m∈Z，n∈Z，
∵（m+2-2n）+（m+2+2n）=2m+4为偶数，
∴m+2-2n与m+2+2n同为偶数，
∴或
解得：或
故答案为：m=n=0或者m=-4，n=0．
【点睛】
本题考查了不等式的证明、不等式恒成立转化为最值，属难题．人教版A版高中数学必修五第三章不等式达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．设满足约束条件，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，若恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知命题，命题，，则成立是成立的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设，若是的等比中项，则的最小值为（
）
A．8
B．
C．1
D．4
6．已知为等比数列,,,则（
）
A．
B．
C．
D．
7．设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，
（,）.若的最大值为40，则的最小值为
A．
B．
C．1
D．4
8．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
9．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x,y满足+x+y=，设△ABC、
△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S、S、S，记,,,
则·取最大值时，3x+y的值为(
)
A．
B．
C．1
D．2
二、填空题
11．若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
12．已知a>0，b>0，且a≠b，比较与a＋b的大小．
13．若直线（都是正实数）与圆相交于两点，当（是坐标原点）的面积最大时，的最大值为__________．
14．若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是
______.
15．若函数，若对任意不同的实数??，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
三、解答题
16．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
17．已知
，
，
.
（1）求
的最小值；
（2）求
的最小值.
18．设．
1若对任意恒成立，求实数m的取值范围；
2讨论关于x的不等式的解集．
19．已知不等式的解集为.
（1）若，求集合；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.
20．定义在R上的函数f（x）=ax2+x．
（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）]成立；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=，点p（m，n2）（m∈Z，n∈Z）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．
