2021-2022学年九年级数学北师大版上册1.1.2 菱形的判定---同步课件（18张PPT）

1.1.2 菱形的判定
菱形的定义是什么？性质有哪些？
一组邻边相等
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形
复习导入
2.性质：（1）边：①两组对边平行 ②四条边相等
（2）角：①两组对角分别相等 ②邻角互补
（3）对角线：①两条对角线互相垂直平分
②每一条对角线平分一组对角
（4）对称性：①中心对称图形,对角线的交点是对称中心
②轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点）
思考：联系上节课的内容，我们如何来判定一个四边形是菱形呢？
判定定理1（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵AB=BC，四边形ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD为菱形
获取新知
定义
思考：还有其他的判定方法吗？
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
试一试
有同学猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如何来证明该猜想的正确性呢？我们一起来试一试吧！
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC⊥BD
∴直线BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）
已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证： ?ABCD是菱形.
还有其它方法证明BA=BC吗？
证明三角形全等
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
例题讲解
证明：在△AOB中
∵AB= ，OA=2，OB=1
∴AB2= OA2+ OB2
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角
∴AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形)
做一做
在生活中有哪些得到菱形的方式呢？
将一张长方形的纸横向对折，再竖向对折，然后沿图中虚线剪下，打开即可.
你能说说这样做的道理吗？
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
议一议
思考：根据小刚的作法你有什么猜想？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
你能验证小刚的作法对吗？
获取新知
证明：∵AB=BC=CD=AD
∴AB=CD , BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD 中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD
∴四边形 ABCD是菱形
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
思维拓展
例题讲解
例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在
AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
A
C
B
E
D
F
1
1 如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,
求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE∥FC
∴∠1=∠2
∵EF垂直平分AC
∴AO = OC
又∵∠AOE =∠COF
∴△AOE ≌△COF
∴EO =FO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形
随堂演练
2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.
求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移得CF＝AD＝10cm，DF＝AC
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm
∴四边形ACFD是菱形
归纳对比
1.菱形的判定方法：
(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．
2、判定菱形的常见思路：
平行四边形
四边形
菱形
四条边都相等
判定条件
对角线互相垂直
一组邻边相等
课堂小结