2021-2022学年九年级数学北师大版上册1.2.2 矩形的判定 同步课件（20张PPT）

1.2.2 矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
问题1：矩形的定义是什么？
有一个角是直角
平行四边形
矩形
知识回顾
问题2：矩形有哪些性质？
特有性质: 1.四个内角都是直角
2.两条对角线互相平分且相等
3.是轴对称图形，有两条对称轴
一般性质:具有平行四边行的一切性质
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩
形的判定定理．（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
议一议
你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．
获取新知
矩形的判定
类比平行四边形的判定，你可以想到什么方法呢？
定义判定法
矩形的判定定理1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 90°
∴□ABCD是矩形
A
B
C
D
总结归纳
除了定义以外，判定矩形还有其它方法吗？
做一做
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此
你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
请证明该猜想的正确性！
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明： 在△ABC和△DCB中
AB = DC
BC = CB
AC = DB
∴ △ABC ≌ △DCB
∴∠ABC = ∠DCB
∵AB∥CD
∴∠ABC + ∠DCB = 180°
∴ ∠ABC =∠DCB= 90°
∴ □ ABCD是矩形
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
∴□ ABCD是矩形
A
B
C
D
总结归纳
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵△ABO是等边三角形
∴OA=OB=AB=4
∴OA=OC=OB=OD=4
∴AC=BD=2OA=2×4=8
∴□ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
在Rt△ABC中，由勾股定理得
例题讲解
（对角线相等的平行四边形是矩形）
（矩形的四个角都是直角）
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。
请证明你的结论，并与同伴交流．
获取新知
已知：如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明 ∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180° ∠B+∠C=180°
∴AD//BC ,AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理3：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∠A=∠B=∠C=90°
∴ 四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
使用的哪个判定定理？
例题讲解
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形
证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形
1. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB=CD, EF=GH.
（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 ，
根据的数学道理是______________________________ .
B
A
C
E
D
G
F
H
1
2
3
4
平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
随堂演练
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边
框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4）说明窗框合格，这时窗框是 ，根据的数学道理是
__________________________________
B
A
C
E
D
G
F
H
1
2
3
4
矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
×
×
×
×
√
√
√
√
2. 下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。
3. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.
求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AO＝OC，OD＝OB
∵AN＝CM，ON＝OB
∴ON＝OM＝OD＝OB
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD
∴平行四边形NDMB为矩形
4. 如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E，D.
求证：四边形AEBD是矩形．
证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，∴∠ABD＋∠ABE＝ (∠ABC＋∠ABP)＝90°，
即∠EBD＝90°.
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．
5. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解（1）设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ
∴24－x＝3x
解得x＝6
即经过6s，四边形PQCD是平行四边形
(2)设经过ys，四边形PQBA为矩形
即AP＝BQ
∴y＝26－3y
解得y＝6.5
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形
矩形的判定方法：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等
课堂小结