2021-2022学年北师大九年级数学版上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系-- 课件（18张PPT）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
知识回顾
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
思考 ：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
解下述方程并完成填空：
(1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
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猜想x1+x2 x1 · x2与各系数之间的关系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元二次方程
两 根
x1+x2 x1 · x2
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
-4
1
2
3
-1
x1+x2=-3
x1 · x2=-4
x1+x2=5
x1 · x2=6
猜想
如果从因式分解的角度思考，假设方程
有两个根分别为x1，x2 ，则有恒等式：
证明：
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：（1）这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
例题讲解
（2）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac
= （- 3）2 – 4 × 2 × (-2)
= 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
例2 已知方程 的一个根是3，求它另一个根。
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=3 .
所以：x1 · x2=3x2=-7
即：x2=
答：方程的另一个根是
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是______，
m =________.
2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
x1+x2 = ______ , x1x2 = _______，
x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ________,
(x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______.
-3
（还有其他解法吗？）
x1+x2
2x1x2
4
1
14
12
随堂演练
3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积
解：（1）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ = b2 - 4ac = (-3)2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = .
（2）原方程化为一般式为 3x2-x-1=0
这里 a =3 , b = -1 , c = -1.
Δ = b2 - 4ac = (-1)2 – 4 ×3 × (-1) = 13 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = .
4.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
5.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0 两个根的；
（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个是x1 , x2，那么
6. 已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足|x1-x2|= 1 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∴m的取值范围为m＞0
(2)∵方程有实数根x1,x2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
解得m=8.
经检验m=8是原方程的解．
总结常见的求值:
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
课堂小结