2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.6.1一元二次方程的实际应用（一）课件（17张PPT）

2.6.1 行程问题和几何问题
学习目标
1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点）
2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题．
很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决，前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、增长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一元二次方程解决行程问题和几何问题.
情景导入
一、动点问题
例1 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端与地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
（1）梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？
（2）此问题的已知量、未知量是什么？相等关系是什么？如何建立方程？
（3）方程的解是否都符合题意？
例题讲解
根据勾股定理得，(8-x)2+(6+x)2=102,
解得，x1=0,x2=2,
根据题意x1=0舍去，所以x=2.
答：当梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等.
解：设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等.由勾股定理可得开始时梯子底端与墙面的水平距离为6 m.
变式：如果梯子的长为13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，
那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
解：设梯子顶端下滑x m时，两距离相等.
则
解得
答：当梯子顶端下滑7 m时，两距离相等.
根据题意 舍去，所以 .
二、行程问题
东
北
A
B
C
D
F
E
例2 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B，在B的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 海里）
东
北
A
B
C
D
F
E
∵AB⊥BC, AB = BC =200n mile,
∴DF⊥BC, DF =100n mile.
解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF,
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF= AB，
东
北
A
B
C
D
F
E
设相遇是补给船航行了x n mile,那么
DE = x n mile , AE + BE = 2x n mile,
EF=AB +BF-(AB + BE) =(300 - 2x)n mile.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300 - 2x)2.
整理得： 3x2 - 1200x + 100000 = 0 ,
解方程得
三、图形面积问题
例3 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？
解:设所需时间为 t s,根据题意,得
2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64.
整理得 t2 - 6t + 8 = 0.
解方程,得 t1 = 2 , t2 = 4 .
答:在第2秒和第4秒是五边形面积是 64cm2.
A
B
C
D
Q
P
(6 - t)
2t
1.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，经过几秒后，△PCQ的面积和四边形APQB的面积相等？
随堂演练
解：设x s后，△PCQ的面积和四边形APQB的面积相等，
即S△PCQ＝S△ABC.
由题意得，AP＝BQ＝x cm，CP＝(6－x)cm，CQ＝(8－x)cm，
∴ (6－x)(8－x)＝ × ×6×8，
解得x1＝2或x2＝12(不合题意，舍去)．
则2 s后，△PCQ的面积和四边形APQB的面积相等．
2.如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．
解：设花圃四周绿地的宽为xm，
依题意，得：（8-2x）（6-2x）= ×8×6，
整理，得：x2-7x+6=0，
解得：x1=1，x2=6（不合题意，舍去）．
答：花圃四周绿地的宽为1m．
3.如图，在矩形ABCD中，DC=14cm，AD=6cm，动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿A→B方向向点B运动，动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停，设运动时间为t（s），求t为何值时，点P和点Q之间的距离是10cm．
解：过点P作PE⊥CD于点E，
则PE＝AD＝6cm，EQ＝|14﹣4t﹣t|cm，
如图所示．
依题意，得：62+|14﹣4t﹣t|2＝102，
整理，得： 25t2﹣140t+132＝0，
解得：t1＝ ，t2＝ ．
当t＝ 时，4t＝ ＞14，不合题意，舍去．
答：当t为 秒时，点P和点Q之间的距离是10cm．
4.某军舰以每小时20 km的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以每小时30 km的速度由南向北航行,它能侦察到周围50 n mile(包括50 n mile)范围内的目标.如图所示,当该军舰行至A处时,电子侦察船位于A处正南方向的B处,且AB=90 n mile.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.
解:航行途中侦察船能侦察到这艘军舰.设侦察船由B出发经过x小时能侦察到军舰,则(90-30x)2+(20x)2=502,整理,得13x2-54x+56=0,即(13x-28)(x-2)=0,
所以侦察船由B处出发最早经过2小时能侦察到这艘军舰.
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?
2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
课堂小结